http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html

http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html
1
Opis przedmiotu
Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych
pojęć dotyczących zbiorów, relacji i funkcji oraz umiejętności
związanych z operowaniem liczbami zespolonymi, macierzami i
wyznacznikami.
2
Program wykładu
1. Liczby zespolone: definicja, interpretacja geometryczna i trygonometryczna, własności, wzór de Moivre’a, pierwiastki, zasadnicze twierdzenie algebry.
2. Macierze i wyznaczniki: działania na macierzach, definicja i
własności wyznaczników, rozwinięcie Laplace’a, macierz odwrotna, rząd macierzy.
3. Układy równań liniowych: metoda eliminacji Gaussa, twierdzenie Kroneckera – Capelliego, wzory Cramera.
3
4. Elementy logiki: zdania proste i zdania złożone, wartość logiczna zdania, tautologie, metoda zero-jedynkowa, funkcje zdaniowe
i kwantyfikatory, prawa rachunku kwantyfikatorów, metody dowodzenia twierdzeń.
5. Zbiory i odwzorowania: działania na zbiorach, iloczyn kartezjański, funkcje różnowartościowe, ”na” i wzajemnie jednoznaczne, składanie funkcji, funkcja odwrotna, obraz i przeciwobraz
zbioru poprzez funkcję.
6. Relacje: własności relacji binarnych, funkcje jako relacje, grafy
i macierze relacji binarnych, relacje częściowego porządku, elementy ekstremalne, porządek liniowy, relacje równoważności, zasada abstrakcji, zbiór ilorazowy, konstrukcje zbiorów liczbowych.
4
Literatura
B. Gleichgewicht, Algebra, OW GiS.
T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1, 2, OW GiS.
J. Kraszewski, Wstęp do matematyki, WNT.
H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN.
K. Ross, Ch. Wright, Matematyka dyskretna, PWN.
5
Wymagania egzaminacyjne:
egzamin pisemny z wykładu.
zaliczenie ćwiczeń na ocenę,
Arkusz egzaminacyjny składa się z 20 pytań i poleceń, w tym 15
podstawowych, ocenianych w skali: 0, 1
2 , 1, oraz 5 trudniejszych,
1 , 2. Czas trwania egzaminu: 75 miocenianych w skali: 0, 1
,
1,
1
2
2
nut. Odpowiedzi na pytania podstawowe nie trzeba uzasadniać,
na pytania trudniejsze należy udzielić odpowiedzi z uzasadnieniem. Łącznie można otrzymać od 0 do 25 punktów. Ocena z
egzaminu zależy od liczby uzyskanych punktów: 12 – 3, 15 – 3+,
17 – 4, 20 – 4+, 22 – 5.
Przykładowe pytania i polecenia znajdują się na stronie www.
Zestaw ten w ciągu semestru może zostać poprawiony i uzupełniony.
6
Liczby zespolone
7
Definicja: C = R × R = {(a, b); a, b ∈ R}.
Działania w C:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Para (a, 0) odpowiada liczbie rzeczywistej a:
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), (a, 0) · (c, 0) = (ac, 0).
Przyjmując i = (0, 1) mamy:
a + bi = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b),
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.
8
Liczbę zespoloną z można jednoznacznie przedstawić w postaci
z = a + bi,
gdzie a, b ∈ R.
Na płaszczyźnie Gaussa liczbie z odpowiada punkt o współrzędnych (a, b).
Działania wykonujemy jak na wyrażeniach algebraicznych, pamiętając o tym, że
i2 = −1.
Dodawanie: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Mnożenie:
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc)i.
9
Własności działań na liczbach zespolonych
1. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
2. z1 + z2 = z2 + z1
3. z + 0 = z, zero: 0 = 0 + 0 · i
4. z + (−z) = 0, gdzie −z = (−a) + (−b)i dla z = a + bi, a, b ∈ R
10
5. (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3)
6. z1 · z2 = z2 · z1
7. z · 1 = z, jedynka: 1 = 1 + 0 · i
8. z · z −1 = 1, gdzie z −1 =
a, b ∈ R, z 6= 0
a
−b
+ 2
· i dla z = a + bi,
a2 + b2
a + b2
9. (z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3
11
Odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych
Odejmowanie: z1 − z2 = z1 + (−z2),
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.
z1
Dzielenie:
= z1 · z2−1,
z2
a + bi
(a + bi)(c − di)
(a + bi)(c − di)
=
=
.
2
2
c + di
(c + di)(c − di)
c +d
Mamy:
1
= z −1.
z
1 + 2i
(1 + 2i)(2 + 3i)
2 + 3i + 4i + 6i2
=
=
=
Przykład:
2
2
2 − 3i
(2 − 3i)(2 + 3i)
2 +3
−4 + 7i
4
7
=
=−
+
· i.
13
13
13
12
Potęgowanie liczb zespolonych
Dla liczby zespolonej z i liczby naturalnej n > 0 przyjmujemy:
z n = |z · z ·{z. . . · z} .
n
Ponadto, jeśli z 6= 0, to przyjmujemy z 0 = 1 oraz
z −n = (z −1)n = |z −1 · z −1{z· . . . · z −1} .
n
Zauważmy, że (z −1)n = (z n)−1.
Dla liczb całkowitych m, n zachodzą wzory:
m
z
z m+n = z mz n, z m−n = n , z mn = (z m)n.
z
13
Postać algebraiczna liczby zespolonej: z = a + bi, a, b ∈ R,
część rzeczywista: Re z = a,
część urojona: Im z = b,
liczba sprzężona: z = a − bi.
√
Przykład. Dla z = 2 − 3i mamy:
√
√
Re z = 2, Im z = − 3, z = 2 + 3i.
14
Własności sprzężenia liczby zespolonej
1. z1 + z2 = z1 + z2
2. z1 − z2 = z1 − z2
3. z1 · z2 = z1 · z2
4.
z1
z2
!
=
z1
z2
5. (z) = z
6. z = z ⇔ z ∈ R
15
Moduł i argument liczby zespolonej
Definicja. Modułem liczby zespolonej z = a + bi (gdzie a, b ∈ R)
nazywamy liczbę rzeczywistą
|z| =
Przykład: |3 + 4i| =
q
q
a2 + b2.
32 + 4 2 =
√
25 = 5.
Na płaszczyźnie Gaussa moduł liczby z jest równy jej odległości
od liczby 0. Odległość liczb z1 i z2 jest równa |z1 − z2|.
16
Własności modułu:
1. | − z| = |z|, |z| = |z|
2. z · z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = |z|2
3. |z1 · z2| = |z1| · |z2|
z |z |
4. 1 = 1
z2
|z2|
5. |z1 + z2| 6 |z1| + |z2|
17
Definicja. Argumentem liczby zespolonej z = a + bi 6= 0 (gdzie
a, b ∈ R) nazywamy liczbę rzeczywistą ϕ spełniającą warunki

a


,
cos
ϕ
=

r
b


 sin ϕ = ,
r
gdzie r = |z| =
q
a2 + b2.
Argument liczby zespolonej jest określony z dokładnością do wielokrotności 2π, tzn. jeśli ϕ jest argumentem liczby z, to ϕ + 2kπ
(dla k ∈ Z) też jest argumentem liczby z.
Jako argument liczby 0 możemy przyjąć dowolną liczbę rzeczywistą ϕ.
18
Na płaszczyźnie Gaussa argument liczby z to miara kąta zorientowanego, jaki tworzy dodatnia półoś rzeczywista z półprostą o
początku 0, przechodzącą przez z.
Liczba z ma jednoznacznie określony argument z przedziału [0, 2π).
Argument ten nazywamy argumentem głównym.
Oznaczenie argumentu (głównego): ϕ = arg z.
Uwaga. Czasami wygodniej jest wybrać argument z przedziału
(−π, π].
19
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Dla r = |z| mamy a = r cos ϕ, b = r sin ϕ, więc
z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
gdzie r, ϕ ∈ R, r > 0.
Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej:
r(cos ϕ + i sin ϕ) · s(cos ψ + i sin ψ) = rs(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ))
r
r(cos ϕ + i sin ϕ)
= (cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ))
s(cos ψ + i sin ψ)
s
20
Wzór de Moivre’a
(cos ϕ + i sin ϕ)n = (cos nϕ + i sin nϕ)
Przykład:
(1 + i)100 =
√
π
π 100
=
2(cos + i sin )
4
4
= 250(cos 25π + i sin 25π) = −250.
21
Pierwiastek liczby zespolonej
Pierwiastkiem stopnia n liczby z ∈ C nazywamy liczbę w ∈ C taką,
że wn = z.
Przykłady.
1) Liczba i jest pierwiastkiem kwadratowym (tzn. stopnia 2)
liczby −1, liczba −i też!
2) Liczby 2, −2, 2i i −2i są pierwiastkami stopnia 4 liczby 16.
3) Liczba 1 + i jest pierwiastkiem stopnia 100 liczby −250.
22