Równania różniczkowe rzędu pierwszego Zadania

1. Równania różniczkowe
Chemia, II semestr
1
Równania różniczkowe rzędu pierwszego
Z
Z
dy
f (x)
• Równanie o zmiennych rozdzielonych:
=
. Rozwiązaniem jest
g(y) dy = f (x) dx + C
dx
g(y)
y
dy
• Równanie jednorodne (względem x i y) :
=f
. Równanie to można za pomocą podstawdx
x
y
ienia u(x) =
sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych (wtedy y = ux, y 0 = u0 x + u).
x
dy
• Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego:
= p(x)y + q(x). Rozwiązujemy najpierw równanie
dx
dy
liniowe jednorodne czyli
+ p(x)y = 0 – jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Rozwiązanie
dx
R
otrzymujemy w postaci y(x) = Ce p(x)dx = Cy1 (x), z pewną ustaloną funkcją y1 (x). Następnie
uzmienniamy stałą C, tzn. zakładamy, że rozwiązaniem równania niejednorodnego jest funkcja postaci:
y(x) = C(x)y1 (x), z pewną nową funkcją niewiadomą C(x). Podstawiamy y(x) do rozwiązywanego
równania i znajdujemy funkcję C(x).
dy
= p(x)y + q(x)y α (gdzie α 6= 0, 1, bo dla α = 0 mamy
dx
równanie liniowe, a dla α = 1 — równanie o zmiennych rozdzielonych.) Za pomocą podstawienia
z(x) = y 1−α sprowadzamy to równanie do równania liniowego.
• Równanie różniczkowe Bernoulliego:
∂Q
∂P
=
.
• Równanie różniczkowe zupełne: równanie postaci P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 , gdzie
∂y
∂x
∂F
∂F
dx +
dy
pewnej funkcji F (x, y),
Wtedy lewa strona równania jest różniczką zupełną
dF =
∂x
∂y
∂F
∂F
czyli równanie przybiera postać dF = 0, gdzie
= P (x, y) i
= Q(x, y), a więc jego
∂x
∂y
rozwiązaniem jest rodzina wszystkich krzywych F (x, y) = C.
• Jeżeli P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 nie jest równaniem zupełnym, ale po pomnożeniu przez µ(x, y)
powstałe równanie µ(x, y)P (x, y)dx+µ(x, y)Q(x, y)dy = 0 jest równaniem zupełnym, to funkcję µ(x, y)
nazywamy czynnikiem całkującym lub mnożnikiem całkującym dla tego równania.
1 ∂P
∂Q
Jeśli funkcja
−
zależy tylko od zmiennej x (nie zależy od y), to równanie ma czynnik
Q ∂y
∂x
R
1
Q
∂P ∂Q
∂y − ∂x dx
.
całkujący µ, będący funkcją zmiennej x. Wtedy µ(x) = e
1 ∂Q ∂P
Jeśli funkcja
−
zależy tylko od zmiennej y (nie zależy od x), to równanie ma czynnik
P ∂x
∂y
R 1
P
całkujący µ, będący funkcją zmiennej y. Wtedy µ(y) = e
∂Q ∂P
∂x − ∂y
dy
Zadania
1. Rozwiązać równania o zmiennych rozdzielonych:
a)
dy
= e2x+y
dx
d) x2 (y + 1)3 dx = (1 + x)3 y 3 dy
b) xy 0 + y = y 2
e)
dy
= xy 2 + x
dx
p
c) 2x 1 − y 2 dx + y dy = 0
f ) (y 2 + xy 2 )dx + (x2 − x2 y)dy = 0
1. Równania różniczkowe
Chemia, II semestr
2
2. Rozwiązać równania jednorodne względem x i y :
a)
dy
x2 + y 2
=
dx
xy
b)
dy
x+y
=
dx
3x − y
c) y 2 + x2 y 0 = xyy 0
e) y − xy 0 = x + yy 0
d) (y 2 − 3x2 )dy + 2xy dx = 0
f ) (x2 + 2xy − y 2 ) + (y 2 + 2xy − x2 )y 0 = 0
3. Rozwiązać równania liniowe:
a)
dy
− y tg x = 2 sin x
dx
b) y 0 +
d) y 0 − 2xy = 2x3
y
= x2
x
c) y 0 + 2xy = e−x
2
e) y 0 + y cos x = sin x cos x
f ) y 0 − ex y = e2x
a) xy 0 + xy 2 − y = 0
b) y 0 + xy = xy −3
c)
√
dy
y
3 x
d)
+ = 2
dx x
y
y0
√
2
e) √ + 4x y = 2xe−x
y
f ) y 0 − 9x2 y = (x5 + x2 )y 3
g) y 0 +
1 − 2x
y = 1,
x2
y(1) = 1+e
4. Rozwiązać równania Bernoulliego:
dy
2
x
+ y=√
dx 3
y
2
2
g) y 0 − 9x2 y = 3(x5 − x2 )y 3
5. Rozwiązać równania zupełne:
a) (4x3 + 2xy 2 + 1)dx + (2x2 y − 1)dy = 0
c)
ex (y 3
+
xy 3
+ 1)dx +
3y 2 (xex
2
b) xy 2 dx + (x2 y + y 3 − 4y)dy = 0
− 6)dy = 0
d)
1
y2
−
x (x − y)2
dx +
x2
1
−
2
(x − y)
y
dy = 0
2
e) (y 2 exy + 4x3 )dx + (2xyexy − 3y 2 )dy = 0
6. Znaleźć mnożniki całkujące i rozwiązać równania:
a) (x + y)dx − x dy = 0
b) y(1 + xy)dx − x dy = 0
d) y 2 dx + (xy − 1)dy = 0
e) (1 − 3x2 sin y)dx − x ctg y dy = 0
c) (sin x + ey )dx + cos x dy = 0
Równania różniczkowe wyższych rzędów
• Równania różniczkowe II rzędu sprowadzalne do I rzędu:
– Równanie postaci y 00 = f (x, y 0 ) (a więc nie występuje y) : stosujemy podstawienie z = y 0
(wtedy y 00 = z 0 )
– Równanie postaci y 00 = f (y, y 0 ) (a więc nie występuje x) : stosujemy podstawienie y 0 = u(y)
(wtedy y 00 = u0 (y) · u(y))
Z
– Gdy znamy jedno z rozwiązań y1 (x), wtedy stosujemy podstawienie y(x) = y1 (x) u(x) dx
1. Równania różniczkowe
Chemia, II semestr
3
• Równanie y (n) +an−1 y (n−1) +. . .+a1 y 0 +a0 y = f (x) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym
rzędu n o stałych współczynnikach. (Współczynnik przy y (n) wynosi tu jeden - można tak
przyjąć bez zmniejszania ogólności, bo jeśli by tak nie było, to po podzieleniu całego równania przez
ten współczynnik otrzymalibyśmy taką właśnie postać).
Jeżeli f (x) ≡ 0 to równanie to nazywamy
liniowym jednorodnym, w przeciwnym przypadku – niejednorodnym.
Najpierw rozwiązujemy zawsze odpowiednie równanie jednorodne. Rozwiązanie równania zależy od pierwiastków tzw. równania charakterystycznego: rn + an−1 rn−1 + . . . + a1 r + a0 = 0,
– Każdemu jednokrotnemu pierwiastkowi rzeczywistemu r0 odpowiada funkcja y0 (x) = er0 x
– Każdemu k -krotnemu pierwiastkowi rzeczywistemu r0 odpowiada k funkcji:
y1 (x) = er0 x ,
y2 (x) = xer0 x ,
y3 (x) = x2 er0 x
...
yk (x) = xk−1 er0 x .
– Każdej parze jednokrotnych pierwiastków zespolonych α + βi oraz α − βi odpowiadają dwie
funkcje:
y(x) = eαx cos βx
oraz
z(x) = eαx sin βx.
– Każdej parze k -krotnych pierwiastków zespolonych α + βi oraz α − βi odpowiada 2k funkcji:
y1 (x) = eαx cos βx,
y2 (x) = xeαx cos βx,
...,
yk (x) = xk−1 eαx cos βx,
αx
αx
z1 (x) = e sin βx,
z2 (x) = xe sin βx,
...,
zk (x) = xk−1 eαx sin βx.
Rozwiązaniem równania liniowego jednorodnego n-tego rzędu o stałych współczynnikach jest kombinacja
liniowa funkcji y1 , y2 , . . . , yn odpowiadających wszystkim kolejnym pierwiastkom równania charakterystycznego, tzn. funkcja y = C1 y1 + ... + Cn yn .
Równanie niejednorodne rozwiązujemy metodą uzmienniania stałych lub metodą przewidywań.
Metoda uzmienniania stałych polega na zastąpieniu stałych Ci w rozwiązaniu ogólnym równania
jednorodnego funkcjami Ci (x), których pochodne wyznaczamy z układu:
 0
=
0
+
C20 (x) y2 (x)
+ ... +
Cn0 (x) yn (x)
C1 (x) y1 (x)


 C 0 (x) y 0 (x)
0
0
0 (x) y 0 (x)
+
C
(x)
y
(x)
+
.
.
.
+
C
=
0
n
n
1
1
2
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..


 0
(n−1)
(n−1)
(n−1)
0
0
C1 (x) y1
(x) + C2 (x) y2
(x) + . . . + Cn (x) yn
(x) = f (x)
Metodę przewidywań możemy stosować wtedy, gdy funkcja f (x) jest postaci Wm (x)eax sin bx
lub Wm (x)eax cos bx (Wm (x) jest wielomianem m-tego stopnia) albo jest sumą funkcji tego typu.
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest zawsze sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i pewnego rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Metoda przewidywań pozwala na
znalezienie tego właśnie rozwiązania szczególnego. Jeżeli f (x) jest sumą funkcji to dla każdego składnika
oddzielnie szukamy rozwiązania szczególnego.
Najogólniej mówiąc, rozwiązanie szczególne jest postaci podobnej do postaci funkcji f (x) a konkretnie:
– jeżeli f (x) jest wielomianem stopnia m i liczba 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania jednorodnego, to szukamy rozwiązania szczególnego w postaci wielomianu
takiego samego stopnia, czyli Pm (x). Jeżeli natomiast liczba 0 jest k -krotnym pierwiastkiem tego
wielomianu, to należy przewidywane rozwiązanie pomnożyć przez xk , czyli xk Pm (x).
– jeżeli f (x) jest iloczynem wielomianu stopnia m i funkcji wykładniczej eax , to szukamy rozwiązania w takiej samej postaci, przy zachowaniu stopnia wielomianu i liczby a, uwzględniając następujący warunek: jeśli a jest k -krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to należy
przewidywane rozwiązanie pomnożyć przez xk .
– jeżeli f (x) jest iloczynem stałej C, funkcji wykładniczej eax i jednej z funkcji: sin bx lub
cos bx, to szukamy rozwiązania postaci eax (A cos bx + B sin bx), gdzie A i B są stałymi i, tak
jak poprzednio, należy uwzględnić warunek: jeśli a + bi jest k -krotnym zespolonym pierwiastkiem
równania charakterystycznego, to przewidywane rozwiązanie należy pomnożyć przez xk
– w pozostałych możliwych przypadkach postaci funkcji f (x) metoda przewidywań jest dość uciążliwa
rachunkowo.
Współczynniki nieznanych wielomianów znajdujemy metodą współczynników nieoznaczonych.
1. Równania różniczkowe
Chemia, II semestr
4
Zadania
1. Rozwiązać równania różniczkowe drugiego rzędu postaci F (x, y 0 , y 00 ) = 0 :
a) (1 + x)y 00 = y 0
0
y
00
0
=0
d) xy − y ln
x
b) y 00 = −y 0 tg x + sin 2x
c) y 00 (x2 + 1) = 2xy 0 ,
e) (x + 1)y 00 + x(y 0 )2 = y 0 ,
y(0) = 2,
y(0) = 1,
y 0 (0) = 3
y 0 (0) = 2
2. Rozwiązać równania różniczkowe drugiego rzędu postaci F (y, y 0 , y 00 ) = 0 :
a) 2y 00 = ey
y(0) = 0,
y 0 (0) = 1
b) 3y 0 y 00 = 2y
d) y(1 − ln y)y 00 + (1 + ln y)(y 0 )2 = 0
g) yy 00 + y 0 2 = 1 y(0) = 1,
y 0 (0) =
e) y 00 +
√
2
y(0) = y 0 (0) = 1
2
(y 0 )2 = 0
1−y
c) y 00 = (y 0 )3 ln y
f ) yy 00 − (y 0 )2 = y 2 y 0
h) 2yy 00 − 3(y 0 )2 = 4y 2
3. Rozwiązać równania rzędu drugiego, wiedząc, że y1 (x) jest jednym z rozwiązań:
a) y 00 +
1 0
9
y − 2y = 0
x
x
y1 (x) = x3
c) (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + 2y = 0
y1 (x) = x
b) x2 y 00 + 2xy 0 − 6y = 0
y1 (x) = x2
d) y 00 − y 0 tg x + 2y = 0
y1 (x) = sin x
4. Rozwiązać równania liniowe o stałych współczynnikach, jednorodne:
a) y 00 − 5y 0 − 6y = 0
b) y 00 + 4y 0 + 4y = 0
c) y 00 + 4y 0 + 5y = 0
d) y 000 − 6y 00 + 12y 0 − 8y = 0
e) y (IV) + 10y 00 + 9y = 0
f ) y (IV) − y = 0
g) y (IV) + y = 0
h) y (IV) − y 0 = 0
i) y (IV) + y 00 = 0
j) y (IV) + 4y 00 = 0
k) y (IV) + 2y 00 + y = 0
l) y (IV) + 2y 00 − 8y 0 + 5y = 0
n) y (IV) + 5y 00 + 6y = 0
o) y (V) + 2y 000 + y 0 = 0
m) y (IV) + 2y 000 − 11y 00 − 12y 0 + 36y = 0
5. Rozwiązać równania liniowe o stałych współczynnikach, niejednorodne:
a) y 00 + 3y 0 + 2y = 4;
b) y 00 − y 0 = 3x2 ;
c) y 00 + 2y 0 + y = x2 e−x ;
d) y 00 − 6y 0 + 9y = 3x − 8ex ;
e) y (IV) − 2y 000 + y 00 = x + xex ;
f ) y 00 − 2y 0 + 10y = 37 cos 3x;
g) y 00 + y = sin2 x;
h) y 00 − 3y 0 + 2y =
j) y 00 + y = tg x + xex ;
k) y 00 + 4y =
e3x
;
1 + e2x
i) y 00 − 2y 0 + y =
ex
;
x2
1
+ 4x2 + 4e2x + 4 sin 2x.
sin2 x
6. Znając układ fundamentalny rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego, napisać odpowiadające mu równanie:
a) y1 (x) = e−x
y2 (x) = ex
b) y1 (x) = 1
y2 (x) = x
c) y1 (x) = 1
y2 (x) = ex
d) y1 (x) = e−x sin x
y2 (x) = e−x cos x