Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Budownictwo, semestr II
Lista IV.
rok ak. 2008/2009
Matematyka
Równania różniczkowe rzędu pierwszego.
y 0 + p(x)y = q(x)
♦ Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
4.1. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne:
dy
dy 1
(a)
+ y = cos x;
(b) x
− y = x2 ln x;
dx x
dx
dy
(d) cos xy 0 + sin xy = 1;
(e) x2
− 4xy = x7 sin x;
dx
2
(g) y 0 + 2xy = e−x ;
(h) xy 0 − 2y = x3 cos x;
xy + ex − xy = 0;
dy
(m)
− y = e2x ;
dx
(p) y 0 − y tg x = 8 sin3 x;
dy
− y = (3x2 + 8x + 3)e2x ;
(s)
dx
(v) y 0 + 2y = 4 sin x + 2 cos x;
(j)
(c) y 0 + y · ctg x = 2 cos x;
(f )
y 0 + y = sin x;
(i)
xy 0 − 2y = 4x4 ;
(k)
(2x + 1)y 0 = 4x + 2y;
(l) y 0 − 2xy = x;
dy
1
(n)
+ 2xy = 2x3 ;
(o) y 0 +
y = 9x2 ;
dx
x ln x
dy
dx
+ 2x = 4et ;
(r)
+ y = e−2x ;
(q) t
dt
dx
dy
(t)
+ y = 2x2 − 2x + 1; (u) y 0 − 2y = 4e2x ;
dx
dy
(w)
− 3y = x3 + x2 − 1; (x) y 0 − 5y = −2e4x .
dx
4.2. Rozwiązać następujące zagadnienia początkowe:
dy 2
dy
π
(a)
+ y = 4x, y(1) = 2;
(b) sin x
− y cos x = sin 2x, y
= 2;
dx x
dx
2
dx
2
+
x = 5, x(0) = 4; (d) (y − ex )dx + dy = 0, y(0) = 1;
(c)
dt
4−t
(e) y 0 − y = 1, y(3) = 3;
(f ) y 0 = (y + 1) · sin x, y(x0 ) = y0 ;
π
3
0
0
= 0.
(g) xy + y = x + 1, y(1) = 0; (h) y sin x cos x = y + sin x, y
4
♦ Równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu pierwszego(∗)
4.3.
4.4.
(∗)
Wyznaczyć rozwiązania podanych równań rzędu drugiego:
(a) x2 y 00 − (y 0 )2 = 0;
(b) xy 00 − y 0 = x2 ex ;
(c) 2xy 0 y 00 = (y 0 )2 − 1;
(d) y 00 x = 2y 0 + 4x5 .
(∗)
Rozwiązać podane równania różniczkowe:
(a) y 3 y 00 + 1 = 0;
4.5.
(∗)
(c) (y − 1)y 00 = 2(y 0 )2 ;
(d) y 00 + 6y(y 0)3 = 0.
Rozwiązać podane zagadnienia początkowe:
(b) 2y 00 = 3y 2 , y(−2) = 1, y 0 (−2) = 1; (d) xy 00 = 2(x + y 0 ), y(1) = 0, y 0 (1) = −1.
studia niestacjonarne
5
(∗)
Dla osób chętnych