Część XI

–
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki
dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Biotechnologia
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany
przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Funkcje cyklometryczne
11. Funkcje cyklometryczne
Jeśli dziedzina funkcji trygonometrycznej zostanie zawężona do przedziału, w którym funkcja jest
różnowartościowa, to wtedy można określić funkcję odwrotną do niej.
Funkcje cyklometryczne są funkcjami odwrotnymi do funkcji trygonometrycznych. Są to funkcje
y = arc sin x, y = arc cos x, y = arc tg x, y = arc ctg x.
Z definicji funkcji odwrotnej wynikają następujące zależności:
Jeżeli y ∈ [− 12 π, 12 π] oraz x ∈ [−1, 1], to
y = arc sin x ⇐⇒ x = sin y.
Jeżeli y ∈ [0, π] oraz x ∈ [−1, 1], to
y = arc cos x ⇐⇒ x = cos y.
Jeżeli y ∈ (− 12 π, 12 π) oraz x ∈ R, to
y = arc tg x ⇐⇒ x = tg y.
Jeżeli y ∈ (0, π) oraz x ∈ R, to
y = arc ctg x ⇐⇒ x = ctg y.
WŁASNOŚCI:
f (x) = arc sin x
•
•
•
•
Dziedzina: [−1, 1];
Zbiór wartości: [− 21 π, 12 π];
Monotoniczność: funkcja rosnąca;
Funkcja nieparzysta.
y
?
f (x) = arc cos x
• Dziedzina: [−1, 1];
• Zbiór wartości: [0, π];
• Monotoniczność: funkcja malejąca.
f(x)=arccosx
1
2
?
0
-1
1
x
f (x) =arctgx
•
•
•
•
Dziedzina: R;
Zbiór wartości: (− 12 π, 12 π);
Monotoniczność: funkcja rosnąca;
Funkcja nieparzysta.
y
f (x) = arc ctg x
?
f(x)=arcctgx
1
2
?
0
x
• Dziedzina: R;
• Zbiór wartości: (0, π);
• Monotoniczność: funkcja malejąca.
57
Funkcje cyklometryczne
11.1. Przykładowe zadania
1. Obliczyć arc sin 12 .
Rozwiązanie:
Należy znaleźć kąt α ∈ [− 12 π, 12 π] taki, że sin α = 12 .
Istnieje nieskończenie wiele kątów spełniających równanie sin α = 12 , są to: x = 16 π + 2kπ ∨ x =
5
1
6 π + 2kπ, k ∈ Z, ale tylko jeden z nich należy do powyższego przedziału. Jest to kąt 6 π.
Stąd arc sin 21 = 16 π.
Odpowiedź: 16 π.
√
2. Obliczyć arc tg(− 3).
Rozwiązanie:
√
Należy znaleźć kąt α ∈ (− 12 π, 12 π) taki, że tg α = − 3.
√
Istnieje nieskończenie wiele kątów spełniających równanie tg α = − 3, są to: x = − 13 π +kπ, k ∈ Z,
ale tylko jeden z nich należy do powyższego przedziału. Jest to kąt − 13 π.
√
Stąd arc tg(− 3 ) = − 13 π.
Odpowiedź: − 13 π.
(
)
√
3. Obliczyć cos 3arcctg 3 + 2 arc cos 12 .
Rozwiązanie:
√
√
arc ctg 3 = 16 π, gdyż ctg 16 π = 3 ∧ 16 π ∈ (0, π).
arc cos 12 = 13 π, gdyż cos 13 π = 12 ∧ 13 π ∈ [0, π].
Zatem sin(3 · 16 π + 2 · 13 π) = sin( 12 π + 23 π) = sin( 76 π) = sin(π + 16 π) = − sin 16 π = − 12 .
Odpowiedź: − 12 .
(
4. Obliczyć ctg
3
2
arc ctg
( −√3 )
3
− 3 arc cos
√
3
2
)
.
Rozwiązanie:
√
arc ctg(√−3 3 ) = 23 π
arc cos 23 = 16 π
Zatem mamy ctg( 32 · 23 π − 3 · 16 π) = ctg(π − 12 π) = ctg 12 π = 0.
Odpowiedź: 0.
(
)
5. Obliczyć sin arc sin 45 + arc sin 13 .
Rozwiązanie:
Niech arc sin 45 = x, arc sin 13 = y. Wtedy x, y ∈ (0, 21 π) oraz
sin x = 45 , sin y = 13 .
√
Z jedynki trygonometrycznej wynika, że cos x = 35 , cos y = 23 2.
Korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów mamy
sin(arc sin 45 + arc sin 13 ) = sin(arc
sin 45 ) · cos(arc
sin 13 ) + sin(arc sin 31 ) · cos(arc sin 45 ) =
√
√
√
8 2
3+8 2
1
4 2
3
1 3
3 · cos x = 5 · 3 2 + 3 · 5 = 15 + 15 =
15 .
Odpowiedź:
58
√
3+8 2
15 .
4
5
· cos y +
Funkcje cyklometryczne
√
6. Obliczyć 2 arc sin(−
3
2 )
+ arc ctg(−1) + arc cos √12 + 12 arc cos(−1).
Rozwiązanie:
( √ )
arc sin − 23 = − 13 π
arc ctg(−1) = − 14 π
arc cos √12 = 14 π
1
2 arc cos(−1) = π
Zatem 2(− 13 π) + (− 14 π) + 14 π + 12 π = − 61 π.
Odpowiedź: 56 π.
11.2. Zadania
Obliczyć:
(
1. arc cos −
√
√ )
2
2 .
2. arc sin 23 .
√
3. arc tg 3.
(
12. arc tg tg 78 π .
8. arc ctg(− √13 ).
13. sin 2 arc cos 35 .
3−1
√
3− 3
9. arc tg
4. arc sin 1.
(
)
(√
10. arc ctg
(
6. arc tg(−1).
)
(
)
14. arc ctg ctg 32 π .
.
(√
5. arc cos(−1).
)
7. arc ctg(−1).
√ )
24+2
√ 3 .
2(1+ 2)
(
)
(
)
15. cos arc cos 32 + arc cos 34 .
16. sin arc sin 35 + arc cos 15
17 .
)
11. arc tg tg 17 π .
17. Udowodnić, że arc sin x + arc cos x = 12 π.
18. Udowodnić, że arc tg x + arc ctg x = 12 π.
Sporządzić wykresy funkcji:
19. f (x) = arc tg(x − 1) + π2 .
23. f (x) = | π1 arc ctg x − 1|.
20. f (x) = − arc sin x2 .
24. f (x) = arc cos(−x) + π2 .
21. f (x) = 2 arc ctg x + π.
25. f (x) = − arc ctg |x| + π.
22. f (x) = 1 − arc cos(x + 1).
Znaleźć dziedzinę funkcji:
26. f (x) = arc sin 2x + 1.
(
27. f (x) = arc cos
x
x−1
)
30. f (x) = arc cos(log2 x).
− π4 .
28. f (x) = √
1
.
arc ctg(x− π4 )
√
31. f (x) =
32. f (x) =
arc sin x1 .
1
arc tg x
+ arc sin(x2 ).
29. f (x) = log arc sin(3x).
59