wykład 2

Równoważne układy sił
Równoważnymi układami sił nazywamy takie układy, których skutki działania na ten sam obiekt są jednakowe. Jeżeli układ
sił da się zastąpić jedną siłą, to siłę tą nazywamy siłą wypadkową.
Wypadkowa zbieżnego układu sił
W = P1 + P2
Jeżeli:
P1
P1 [ P1x , P1 y , P1z ]
P2 [ P2 x , P2 y , P2 z ]
≡
O
P1
P1
A
≡
O
O
to
W [W x ,W y ,W z ]
gdzie:
W x = P1x + P2 x
W = P1 + P2
B
W y = P1 y + P2 y
P2
P2
P2
W z = P1z + P2 z
Prof. Edmund Wittbrodt
Wypadkowa dwóch sił równoległych
Przypadek 1
W = P1 + P2
PYTANIE:
gdzie siłę wypadkową umieścić?
jaka jest linia działania siły?
A
P
B
A
≡
P1
−P
B
≡
P1
P2
P2
k2
k1
≡
O
A
( )
O
≡
B
A
W1 = P1 + P
k1
W1
k1
( )
W2 = P2 + −P
k2
B
≡
W2
k2
O
≡
A
B
W = W1 + W2 = P1 + P2
Prof. Edmund Wittbrodt
Przypadek 2
P2
P2
≡
A
B
P1
O
A
P
B
k1
P1
−P
≡
k2
W2
( )
W2 = P2 + −P
O
O
W1
≡
k1
A
( )
W1 = P1 + P
B
≡
B
A
≡
k1
k2
k2
W = W1 + W2 = P1 + P2
O
≡
A
B
Prof. Edmund Wittbrodt
Przypadek 3
−P
P′
A
B
−P ′
P
Układ ten nie daje się sprowadzić do wypadkowej. Nazywamy go parą sił.
Prof. Edmund Wittbrodt
Parę sił charakteryzuje moment pary sił, który obliczamy
M O = M O ( P ) + M O ( − P ) = r2 × P + r1 × ( − P ) = ( r2 − r1 ) × P = r × P ,
(1.19)
MO
B
α
r2
P
r = AB
O
h
−P
r1
A
gdzie:
r1 = OA , r2 = OB , r = AB .
Wektor momentu
MO
pary sił ma kierunek prostopadły do płaszczyzny działania pary sił, a jego wartość jest równa
M O = AB P sin α = P AB sin α = Ph .
(1.20)
W rozważaniach praktycznych, gdy wszystkie siły działają w jednej płaszczyźnie, a tylko wektor momentu prostopadle do
tej płaszczyzny, będziemy często stosować pojęcie pary sił, nazywając ją potocznie momentem MO oznaczanym na rysunku
w płaszczyźnie działania sił łukiem zakończonym strzałką, zgodnie z kierunkiem działania momentu.
MO
MO
Jeżeli moment „kręci” przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, to uważamy go za dodatni, jeżeli zgodnie – za ujemny.
Prof. Edmund Wittbrodt
Własności pary sił (PS):
1) rzut PS na dowolną oś jest równy zero
W = P + (− P ) = 0
wypadkowa pary sił jest zerowa
P
−P
x
Px
P + ( − P ) = Px − Px = 0
Px
2) moment PS nie zależy od punktu, względem którego go liczymy i równy jest iloczynowi siły przez odległość między
siłami.
Istotnie, podstawiając r2 = r1 + AB do (1.19) mamy
M O = (r1 + AB) × P − r1 × P = r1 × P + AB × P − r1 × P = AB × P
- wektor prostopadły do płaszczyzny działania sił
P
h
- wektor swobodny
−P
skąd – na podstawie (1.20) – otrzymujemy
MO = Ph.
(1.21)
Prof. Edmund Wittbrodt
3) jedną PS możemy zastąpić inną, pod warunkiem, że ich momenty będą równe co do wartości i znaku.
P1
−P2
r1
r2
≡
−P1
r2 = r1
P2
P1
P2
Zatem, parę sił można zastąpić inną parą sił o momencie M=Pr.
−P2
P2
r2
P2 = P
r
P
−P
r
r2
≡
≡
−P1
r1
P1
P1 = P
r
r1
Prof. Edmund Wittbrodt
4) PS można dowolnie przesuwać w płaszczyźnie jej działania i równolegle względem tej płaszczyzny (moment pary sił
jest wektorem swobodnym). Własność ta wynika z własności 2.
5) dowolną liczbę PS, działających w jednej płaszczyźnie, możemy zastąpić jedną PS, przy czym moment pary
wypadkowej musi być równy sumie momentów poszczególnych PS.
Przykładowo, jeżeli na ciało działa n par sił, których siły są równe
wypadkową parę sił, której siła ma wartość W, a ramię r.
r1
P1 , P2 , ..., Pn ,
a ich ramiona
rn
Pn
−Pn
r
≡
r2
Kolejne pary sił zastępujemy:
to możemy dobrać
−P1
P1
P2
r1 , r2 , ..., rn ,
−W
W
−P2
P1r1 = P1′r
P2 r2 = P2′r
…………..
Pn rn = Pn′r ,
a po zsumowaniu otrzymujemy:
n
n
∑ Pri i = (∑ Pi′)r = Wr ,
i =1
i =1
gdzie
W =
n
n
i =1
i =1
r
∑ Pi′ = ∑ Pi ri .
Prof. Edmund Wittbrodt
Przesuwanie siły w kierunku prostopadłym do linii jej działania
Układ złożony z siły przyłożonej w punkcie A zastępujemy układem równoważnym, złożonym z takiej samej siły
przyłożonej w punkcie B i jedną PS o momencie M = Pc .
P
P
A
c
B
≡
A
−P
B
P
≡
A
M = P ⋅c
B
P
Przesuwanie siły prostopadle do linii jej
działania jest możliwe, ale ..... wymaga
dodania dodatkowego momentu!!!
Prof. Edmund Wittbrodt
Redukcja dowolnego układu sił do jednej siły i jednej pary sił
Dowolny układ sił możemy zastąpić równoważnym układem sił. Warunkiem jest, aby siła i moment wypadkowy
(sumaryczny) układu równoważnego i wyjściowego były sobie równe.
Każdy układ sił można zredukować do układu złożonego z jednej tylko siły, zwanej siłą główną, i jednego momentu,
zwanego momentem głównym.
Siłę główną dowolnego układu sił obliczamy z zależności
n
W = ∑ Pi ,
i =1
zaś moment główny
Mi
z
i
n
m
i =1
j =1
M 0 = ∑ ri × Pi + ∑ M j .
Pi
gdzie: n – liczba sił, m – liczba momentów (par sił)
ri
MO
W
O
y
x
Siły Pi oraz momenty M i działające na bryłę i odpowiadająca im siła główna W i moment główny M 0
Prof. Edmund Wittbrodt
Dla zbieżnego układu sił słuszne jest następujące twierdzenie, zwane twierdzeniem Varignona.
Twierdzenie
Moment zbieżnego układu sił, względem dowolnego punktu O jest równy sumie momentów poszczególnych
składowych względem tego punktu.
P1
P2
W
A
r
Pn
O
Dowód:
M O = r × P1 + r × P2 + ... + r × Pn ,
czyli
n
M O = r × (∑ Pi ) = r × W .
i =1
(1.18)
Prof. Edmund Wittbrodt
Stopnie swobody, więzy i ich reakcje
Liczbą stopni swobody punktu (bryły, układu punktów lub brył) nazywamy liczbę niezależnych współrzędnych,
opisujących jednoznacznie położenie punktu (bryły, układu punktów lub brył) w przestrzeni.
Weźmy pod uwagę punkt zmuszony do pozostawania na pewnym torze. Jego położenie będzie określone jednoznacznie
przez jedną współrzędną, np. długość łuku tego toru od położenia początkowego do rozpatrywanego (por. rys.). 0 takim
punkcie mówimy, że ma jeden stopień swobody.
A
O
Położenie
w chwili t
s
Położenie początkowe
Położenie punktu poruszającego się po zadanym torze
Prof. Edmund Wittbrodt
Z kolei punkt zmuszony do pozostawania na płaszczyźnie π (lub xy) ma dwa stopnie swobody. Wreszcie punkt mogący się
poruszać swobodnie w przestrzeni ma trzy stopnie swobody.
z
y
π
A
A
yA
zA
y
xA
x
xA
x
yA
Położenie punktu w płaszczyźnie
Położenie punktu w przestrzeni
Odbierając punktowi 1 stopieni swobody zmuszamy go do pozostawania na płaszczyźnie, a odbierając mu 2 stopnie
swobody zmuszamy go do pozostawania na linii. Punkt, któremu odbierzemy 3 stopnie swobody, będzie punktem
nieswobodnym i nie będzie mógł wykonywać żadnych ruchów.
Prof. Edmund Wittbrodt
Podobnie możemy mówić o stopniach swobody układu punktów. Gdy układ składa się z n punktów, zaś w jest liczbą
niezależnych równań opisujących ograniczenia swobody układu (równań więzów), to liczbę stopni swobody układu
obliczamy
s = 3n – w.
(1.22)
Przykładowo:
a)
b)
c)
d)
e)
jeden punkt swobodny (n = 1, w = 0) ma s = 3⋅1 – 0 = 3 stopnie swobody
l punktów swobodnych (n = l, w = 0) ma s = 3l – 0 = 3l stopni swobody
jeden punkt pozostający na płaszczyźnie (n = 1, w = 1; z = z(x, y)) ma s = 3⋅1 – 1 = 2 stopnie swobody
jeden punkt pozostający na linii (n = 1, w= 2; y = y(x), z = z(x)) ma s = 3⋅1 – 2 = 1 stopień swobody
dwa punkty pozostające w stałej odległości od siebie (n = 2, w = 1; (xb – xa)2 + (yb – ya)2 + (zb – za)2 = r2 )
ma s = 3⋅2 – 1 = 5 stopni swobody.
z
B
r
A
ψ
ϕ
y
zA
x
xA
yA
Położenie dwóch punktów pozostających w stałej odległości r
Prof. Edmund Wittbrodt
Położenie bryły w przestrzeni określają jej trzy punkty nie leżące na jednej prostej. A więc n = 3, w = 3 (stałe odległości
między tymi punktami), skąd s = 3⋅3 – 3 = 6. Bryła w przestrzeni ma 6 stopni swobody.
ϕz
z
ϕx
ϕy
A
zA
y
xA
x
yA
Położenie bryły w przestrzeni
Bryła zmuszona do pozostawania na płaszczyźnie (n = 3, w = 4; stałe 3 odległości między punktami oraz jeden punkt nie
może się oderwać od płaszczyzny) ma s = 3⋅3 – 4 = 5 stopni swobody.
z
ϕz
y
A
x
yA
xA
ϕy
ϕx
Położenie bryły z punktem pozostającym w styku z płaszczyzną xy
Prof. Edmund Wittbrodt
Bryła, której jeden punkt został unieruchomiony (n = 3, w = 6; stałe trzy odległości między punktami oraz 3 odebrane
stopnie swobody jednemu punktowi), ma s = 3⋅3 – 6 = 3 stopnie swobody.
z
ϕz
A
ϕx
ϕy
y
x
Położenie bryły z punktem A nieruchomym
Ograniczając swobodę ciała (nakładając na to ciało więzy), możemy spowodować pojawienie się dodatkowych sił, tzw. sił
reakcji, które uniemożliwiają ruch ciała w określonym kierunku. Kierunki reakcji są zgodne z kierunkami odebranych
stopni swobody.
Prof. Edmund Wittbrodt
Zmuszając punkt do pozostawania na linii, uniemożliwiamy mu ruch w kierunku osi y i z, leżących w płaszczyźnie
prostopadłej do toru. Mogą się zatem pojawić dwie siły reakcji (lub dwie składowe jednej siły reakcji), działające w
kierunku osi y i z.
z
Rz
y
Ry
A
x
Siły reakcji działające na punkt poruszający się po zadanym torze
Zmuszając punkt do pozostawania na płaszczyźnie xy, uniemożliwiamy mu ruch w kierunku osi z. Pojawi się zatem siła o
kierunku zgodnym z kierunkiem osi z.
z
Rz
A
y
x
Siła reakcji działająca na punkt pozostający na płaszczyźnie xy
Na punkt swobodny nie działają żadne dodatkowe siły, gdyż nie odbieramy mu żadnych stopni swobody.
Prof. Edmund Wittbrodt
Jeżeli jeden punkt bryły zmuszamy do pozostawania na płaszczyźnie, a więc gdy ma ona 5 stopni swobody, odbieramy jej
jeden stopień swobody (możliwość ruchu w kierunku prostopadłym do płaszczyzny). W tym też punkcie pojawi się
dodatkowa siła reakcji.
z
Rz
y
x
A
Siła reakcji działająca na bryłę, której punkt A pozostaje na płaszczyźnie xy
Natomiast, jeżeli jeden punkt bryły unieruchomimy, odbieramy jej 3 stopnie swobody. Ponieważ unieruchomiony punkt nie
może się poruszać w kierunku osi x, y, z, pojawią się w tym punkcie 3 dodatkowe siły reakcji Rx , Ry , Rz .
z
Rz
Ry
A
x
y
Rx
Siła reakcji działająca na bryłę, której jeden punkt jest unieruchomiony
Na bryłę swobodną, mającą 6 stopni swobody, nie działają żadne dodatkowe siły.
Prof. Edmund Wittbrodt
Klasyfikacja więzów i ich reakcji
Odebrano 3 stopnie swobobody
debrano 2 stopnie swobody
debrano 1 stopień swobody
postać I
postać II
postać III
z
Oznaczenia:
Kierunki reakcji
y
Kierunki możliwego
ruchu
x
z
z
y
y
x
x
y
y
y
x
z
z
z
x
x
Prof. Edmund Wittbrodt
Odebrano 5 stopni swobody
Odebrano 4 stopnie swobody
z
z
y
y
x
x
z
z
y
x
z
y
y
y
x
x
Prof. Edmund Wittbrodt
Ponieważ w dalszym ciągu zajmować się będziemy głównie zagadnieniami płaskimi, będziemy mieli zwykle do czynienia
z wybranymi, możliwymi dla zagadnień płaskich, więzami. Więzy te dzielimy na trzy grupy:
1. Więzy o jednej niewiadomej
b)
a)
c)
d)
cięgno
powierzchnia
gładka
przegub
pryzma
.
powierzchnia
gładka
łożysko ślizgowe
(bez tarcia)
Przykłady więzów o jednej niewiadomej: a) podparcie na idealnie gładkiej powierzchni, b) podparcie w łożysku ruchomym, c) podparcie na
ostrzu lub ostrej krawędzi, d) zawieszenie na wiotkim cięgnie
2. Więzy o dwóch niewiadomych
a)
b)
powierzchnia
chropowata
przegub
Przykłady więzów o dwóch niewiadomych: a) podparcie na powierzchni chropowatej, b) podparcie w łożysku stałym
Prof. Edmund Wittbrodt
3. Więzy o trzech niewiadomych (utwierdzenie sztywne, podpora wspornikowa)
Przykłady więzów o trzech niewiadomych
Więzy ponadto dzielimy na:
1) idealne
2) rzeczywiste.
Więzami idealnymi są takie więzy, w których praca sił reakcji jest równa zeru. W praktyce oznacza to, że pomijamy w nich
siły tarcia.
Prof. Edmund Wittbrodt
Układy statycznie wyznaczalne i inne
Układ, w którym ogólna liczba nałożonych więzi w (niewiadomych sił reakcji) jest równa liczbie możliwych do napisania
równań r nazywamy układem statycznie wyznaczalnym (izostatycznym, sztywny). W układzie takim liczba stopni
swobody s=r-w jest zerowa (s=0).
Oznaczono: s – liczba stopni swobody
r – liczba równań do dyspozycji
w – liczba nieznanych sił reakcji więzi
Liczbę równań do dyspozycji obliczamy:
r = 3 ⋅ n - układ płaski
r = 6 ⋅ n - układ przestrzenny
gdzie: n - liczba brył (ciał)
R2
R3
Układ statycznie wyznaczalny
R1
w = r, tj.
s=0
Prof. Edmund Wittbrodt
Jeżeli rozpatrywany układ ma więcej niewiadomych niż równań, to niewiadomych tych nie da się wyznaczyć metodami
mechaniki ogólnej. Układ taki nazywać będziemy układem statycznie niewyznaczalnym (hiperstatycznym,
przesztywniony). Niewiadome w takich układach mogą być wyznaczone tylko przy założeniu odkształcalności.
Zagadnieniami tymi zajmuje się „wytrzymałość materiałów”.
Układ statycznie niewyznaczalny
R2
R1
R4
R3
w > r, tj.
s<0
Jeżeli liczba niewiadomych w układzie jest mniejsza niż liczba równań, to układ taki nazywamy układem chwiejnym
(hipostatycznym, niedosztywniony). Układami chwiejnymi są wszelkiego rodzaju mechanizmy. Takimi układami zajmuje
się „teoria maszyn i mechanizmów”.
R2
R1
w < r, tj.
s>0
W mechanice ogólnej zajmować się będziemy układami statycznie wyznaczalnymi.
Prof. Edmund Wittbrodt
Określanie statycznej wyznaczalności układu
c = 4 – liczba ciał
ciało 1
ciało 2
p = 6 – liczba
wi – liczba odebranych stopni swobody
(reakcji więzów) w i-tym podparciu
ciało 3
ciało 4
rc – liczba stopni swobody ciała
swobodnego dla układu płaskiego
(rc=6 – dla układu przestrzennego)
podparcie 1
w1=3
podparcie 2
w2=2
podparcie 3
w3=1
podparcie 4
w4=2
podparcie 5
w5=2
podparcie 6
w6=1
r = c rc = 4 3 = 12
r > w – układ chwiejny
6
w = ∑ wi = 3 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 = 11
i =1
s= r - w = 12 – 11 = 1 – w układzie pozostaje wolny jeden stopień swobody
Ponieważ
s > 0 , to układ jest chwiejny (mechanizm).
Prof. Edmund Wittbrodt
Siły i ich źródła
Siły działające na układ możemy podzielić w zależności od przyjętego kryterium. Przykładowo ze względu na naturę
fizyczną możemy wyróżnić siły:
• grawitacyjne (prawo powszechnego ciążenia, przyciąganie mas)
• magnetyczne, i inne.
Ze względu na ich położenie względem rozpatrywanego układu:
• wewnętrzne
• zewnętrzne.
Ze względu na sposób ich oddziaływania na układ:
• czynne
• bierne (reakcje podpór)
• opory ruchu (tarcie, opór toczenia, tarcie cięgien).
Ze względu na ich rozłożenie w przestrzeni:
• przestrzenne [N/m3]
• powierzchniowe [N/m2]
• liniowe [N/m]
• punktowe [N].
Prof. Edmund Wittbrodt
Siły wewnętrzne i zewnętrzne
Rozważmy kilka ciał pozostających pod działaniem sił. Taki układ ciał nazywamy układem mechanicznym. Siły, które
działają na układ mechaniczny dzielimy na siły wewnętrzne i siły zewnętrzne.
Siły wewnętrzne są to siły pochodzące od ciał należących do rozważanego układu.
Siły zewnętrzne są to siły pochodzące od ciał nie należących do rozważanego układu.
− czynne (starające się ciało wprawić w ruch)
− bierne lub inaczej reakcje (przeciwdziałające ewentualnemu ruchowi).
Prof. Edmund Wittbrodt
1
1
Z
Q1
Q1
P21
2
P21
P12
W
rozważany układ
Q2
Z
P32
3
3
P23
Q3
P03
Z
P23
Q3
rozważany układ
1
Q1
P03
P21
P30
2
P12
Z
W
Q2
P32
Siły wewnętrzne występują zawsze jako dwójki zerowe.
Ponieważ skutek działania takich sił jest zerowy można je
pominąć w dalszych rozważaniach.
Prof. Edmund Wittbrodt