8.1. Definicje funkcji trygonometrycznych

8. 1. DEFINICJE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
Definicje funkcji trygonometrycznych kata ostrego
a – przyprostokątna naprzeciw α
b- przyprostokątna przy α
c - przeciwprostokątna
c
a
·
α
b
sin α - czytaj: sinus α
cos α - czytaj: kosinus α
tgα - czytaj: tangens α
ctgα - czytaj: kotangens α
sin α =
przyprostokatna _ naprzeciw_ α a
=
przeciwprostokatna
c
cosα =
przyprostokatna_ przy_α b
=
przeciwprostokatna
c
tgα =
przyprostokatna _ naprzeciw _ α a
=
przyprostokatna _ przy _ α
b
ctgα =
przyprostokatna _ przy _ α
b
=
przyprostokatna _ naprzeciw _ α a
Twierdzenie Pitagorasa
Suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
a2 + b2 = c2
Przykład 8.1.1. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkącie
prostokątnym o przyprostokątnych 4 i 2.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania
β
c
a
·
α
b
Dane:
a=2
b=4
Szukane:
sin α , cos α , tgα , ctgα
sin β , cos β , tgβ , ctgβ
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa
obliczamy przeciwprostokątną c.
a2 + b2 = c2
22 + 42 = c 2
4 + 16 = c 2
c 2 = 20
c = 20 = 4 ⋅ 5 = 2 5
a
2
=
=
c 2 5
b
4
cos α = =
=
c 2 5
a 2 1
tgα = = =
b 4 2
b 4
ctgα = = = 2
a 2
1
b
4
=
=
c 2 5
a
2
cos β = =
=
c 2 5
b 4
tgβ = = = 2
a 2
a 2 1
ctgβ = = =
b 4 2
2
sin α =
sin β =
5
2
5
=
=
1⋅ 5
5⋅ 5
2⋅ 5
5⋅ 5
=
5
5
=
2 5
5
Korzystając w definicji funkcji
trygonometrycznych kąta α, obliczamy
sin α , cos α , tgα , ctgα
Pamiętamy o usunięciu niewymierności z
mianownika przy wyraŜeniach
1
5
5
1
5
=
=
2⋅ 5
5⋅ 5
1⋅ 5
5⋅ 5
=
2 5
5
=
5
5
,
2
Korzystając w definicji funkcji
trygonometrycznych kąta β, obliczamy
sin β , cos β , tgβ , ctgβ
ZauwaŜmy , Ŝe
b – przyprostokątna naprzeciw β
a - przyprostokątna przy β
c - przeciwprostokątna
5
Związki między funkcjami trygonometrycznymi kątów ostrych w trójkącie
prostokątnym
Dla kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym zachodzą związki:
sin α = cos(90° − α )
cos α = sin (90° − α )
tgα = ctg (90° − α )
ctgα = tg (90° − α )
Przykład 8.1.2. Oblicz wartość wyraŜenia: sin 17° − cos 73°
Rozwiązanie
sin 17° = sin (90° − 73°) = cos 73°
Korzystając ze wzoru
Komentarz
sin 17° − cos 73° = cos 73° − cos 73° = 0
Obliczmy wartość wyraŜenia
sin α = cos(90° − α ) zamieniamy
sin 17° na kosinus.
sin 17° − cos 73°
Przykład 8.1.3.Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta 45˚.
Rozwiązanie
Komentarz
Kąt 45˚ tworzy przekątna kwadratu z jego
bokiem.
a
Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty
prostokątne.
d
45˚
·
a
a2 + a2 = d 2
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa
wyprowadzamy wzór na przekątną kwadratu
2a 2 = d 2
d = 2a 2 = a 2
a
a
1
1⋅ 2
2
=
=
=
=
d a 2
2
2
2⋅ 2
a
a
1
1⋅ 2
2
cos 45° = =
=
=
=
d a 2
2
2
2⋅ 2
a
tg 45° = = 1
a
a
ctg 45° = = 1
a
sin 45° =
Korzystając z definicji funkcji
trygonometrycznych, obliczamy
sin 45°, cos 45°, tg 45°, ctg 45°
Pamiętamy o usunięciu niewymierności z
mianownika przy wyraŜeniach
1
2
,
Przykład 8.1.4.Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta 60˚.
Rozwiązanie
a
Komentarz
Kąt 60˚ jest kątem wewnętrznym w
trójkącie równobocznym.
Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty
prostokątne.
h
60°
a
2
2
a
h +   = a2
2
2
h2 +
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa
wyprowadzamy wzór na wysokość trójkąta
równobocznego.
a2
= a2
4
h2 = a2 −
a2
4
3 2
a
4
a 3
h=
2
h2 =
a 3
h
3
sin 60° = = 2 =
a
a
2
a
a 1 1
cos 60° = 2 = ⋅ =
a 2 a 2
a 3
h
a 3 2
tg 60° = = 2 =
⋅ = 3
a
a
2 a
2
2
a
a 2
1
1⋅ 3
3
ctg 60° = 2 = ⋅
=
=
=
3
a 3 2 a 3
3
3⋅ 3
2
Korzystając z definicji funkcji
trygonometrycznych, obliczamy
sin 60°, cos 60°, tg 60°, ctg 60°
Pamiętamy o usunięciu niewymierności z
mianownika przy wyraŜeniach
1
3
,
Przykład 8.1.5.Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta 30˚.
Rozwiązanie
Komentarz
sin 30° = sin (90° − 60°) = cos 60° =
cos 30° = cos(90° − 60°) = sin 60° =
Korzystając ze wzorów
1
2
sin α = cos(90° − α )
cos α = sin (90° − α )
tgα = ctg (90° − α )
ctgα = tg (90° − α )
3
2
tg 30° = tg (90° − 60°) = ctg 60° =
3
3
ctg 30° = ctg (90° − 60°) = tg 60° = 3
zamieniamy funkcje trygonometryczne kąta
30˚na funkcje trygonometryczne kąta 60˚.
.
Wartości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów
x
sin x
cos x
tg x
ctg x
30°
1
2
3
2
3
3
45°
2
2
2
2
3
60°
3
2
1
2
1
3
1
3
3
Przykład 8.1.6. WykaŜ, Ŝe prawdziwa jest równość:
Rozwiązanie
3 sin 30o + 2 sin 60o
o
o
=
3
tg 30 + cos 60
tg 45o
Komentarz
Do równości podstawiamy wartości funkcji
3 2 3
+
2
2 =3
2 3 3
+
6
6
1
3
+ 2⋅
2
2 =3
1
3
1
+
3 / ⋅ 2 2 / ⋅3
3⋅
3+ 2 3
2
=3
2 3 +3
6
6
=3
2
3+ 2 3
6
⋅
=3
2
3+ 2 3
3=3
trygonometrycznych:
1
2
3
tg 30° =
3
sin 30° =
3
2
1
cos 60° =
tg 45° = 1 .
2
sin 60° =
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 8.1.1. (3pkt.) Na podstawie rysunku wyznacz wartości funkcji
trygonometrycznych kątów α i β
α
10
8
β
•
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie długości drugiej przyprostokątnej
2
Podanie wartości
sin α , cos α , tgα , ctgα
1
3
Podane wartości
sin β , cos β , tgβ , ctgβ
1
1
Ćwiczenie 8.1.2. (4pkt.) Na podstawie rysunku wyznacz wartości funkcji
trygonometrycznych kątów α i β
D
4
5
α
β
•
A
B
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
2
C
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie długości boków AB i AC
1
2
Podanie długości boku CD
1
3
Podanie wartości
sin β , cos β , tgβ , ctgβ
1
4
Podanie wartości
sin α , cos α , tgα , ctgα
1
Ćwiczenie 8.1.3. (3pkt.)Oblicz wartość liczbową wyraŜenia:
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
2
3
1 + 2 sin 60° 1 − sin 30°
+
.
4 cos 45°
2 cos 45°
Odpowiedź
1 + 2 sin 60°
4 cos 45°
1 − sin 30°
Podanie wartości liczbowej wyraŜenia
2 cos 45°
1 + 2 sin 60° 1 − sin 30°
Podanie wartości wyraŜenia
+
4 cos 45°
2 cos 45°
Podanie wartości liczbowej wyraŜenia
z usuniętą niewymiernością z mianownika.
Liczba punktów
1
1
1