3 Własno´sci prawdopodobienstwa 4 Prawdopodobienstwo

3
Własności prawdopodobieństwa
1. Dla zdarzeń A, B ⊆ Ω spełnione sa̧ warunki P (A′ ) = 23 , P (B ′ ) = 29 , P (A ∪ B) = 45 . Oblicz P (A ∩ B).
2. A i B sa̧ takim zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω , że P (A \ B) = P (B \ A) = 1/7 i P (A′ ∪ B ′ ) = 1 . Oblicz
P (A′ ∩ B ′ ).
3. O zdarzeniach losowych A i B wiadomo, że P (A ∪ B) = 0, 9, P (A ∩ B) = 0, 3 i P (A ∪ B ′ ) = 0, 5. Oblicz P (A′ ∪ B)
4. Wiadomo, że zdarzenia A i B sa̧ niezależne oraz P (A \ B) = 1 − 6, P (B \ A) = 1 − 4. Oblicy P (A ∪ B).
5. Wykaż, że jeżeli A, B sa̧ podzbiorami Ω oraz P (A) < 4/7, P (A ∩ B) > 3/8, to P (A ∩ B′) < 15.
6. Zdarzenia losowe A ,B sa̧ zawarte w Ω oraz P (A ∩ B ′ ) = 0, 7. Wykaż, że P (A′ ∩ B) ≤ 0, 3.
4
Prawdopodobieństwo całkowite i warunkowe, niezależność zdarzeń
1. Dwóch strzelców strzela do celu. Jeden trafia z prawdopodobieństwem 0,6, a drugi trafia z prawdopodobieństwem
0,8. Oblicz prawdopodobieństo, że jeśli wykonaja̧ po jednym strzale, to cel zostanie trafiony dokładnie 1 raz.
2. Widomo, że:
- w grupie C1 jest 15 studentów i wszyscy zdawali maturȩ rozszerzona̧ z matematyki;
- w grupie C2 jest 20 studentów w tym 15-tu zdawało maturȩ rozszerzona̧ z matematyki;
- w każdej z grup C3-C6 jest po 15 studentów, spośród których 5-ciu zdawało maturȩ rozszerzona̧ z mat.
Wybrano losowo jedna̧ grupȩ, a nastȩpnie z tej grupy wybrano w sposób losowy jednego studenta.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że student ten zdawała maturȩ rozszerzona̧ z matematyki?
b) Wybrany student zdawał maturȩ rozszerzona̧. Jakie jest prawd., że został on wybrany z grupy i) C1 ii) C3?
3. W dwóch urnach znajduja̧ siȩ kule białe i czarne, przy czym w pierwszej jest 6 kul białych i 4 czarne, a w drugiej
urnie 5 białych i 5 czarnych. Rzucamy raz symetryczna̧ kostka̧ do gry. Jeżeli wyrzucimy co najmniej 4 oczka to
losujemy 2 kule z pierwszej urny, a jeżeli wyrzucimy co najwyżej 3 oczka to losujemy 2 kule z drugiej urny.
a) Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych.
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że na kostce wylosowano 3 oczka, jeżeli wiadomo, że wylosowano dwie kule
różnych kolorów?
4. Wśród dziesiȩciu losów loteryjnych znajduje siȩ jeden los z główna̧ wygrana̧ oraz dwa losy uprawniaja̧ce do
wylosowania nastȩpnego losu. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania głównej wygranej przy zakupie jednego losu.
5. Z trzech urn, w których jest po 2 kule białe i 3 czarne, wyjmujemy po jednej kuli i wkładamy do czwartej urny,
w której była jedna kula biała. Losujemy teraz jedna̧ kulȩ z czwartej urny. Oblicz prawdopodobieństwo, że z
czwartej urny wyjmiemy biała̧ kulȩ.
6. Zbiór zadań egzaminacyjnych składa siȩ z trzech zestawów: 15 zadań z analizy, 5 z algebra, n zadań z prawdopodobieństwa.
a) Ze zbioru zadań usuniȩto jedno zadanie, a nastȩpnie z pozostałych wylosowano jedno zadanie. Oblicz n, jeśli
wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania tematu z prawdopodobieństwa wynosi 1/6.
b) Ze zbioru zadań usuniȩto jeden zestaw (analizȩ, algebrȩ lub prawd.) a nastȩpnie z pozostałych wylosowano
jedno zadanie. Oblicz n, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania zadania z prawd. wynosi 1/4.
c) Dla jakiego n prawdopodobieństwo wylosowania zadania z prawdopodobieństwa bȩdzie wieksze, przy pierwszym
sposobie losowania zadania.
7. Urzȩdnik bankowy wie, że 12% kredytobiorców hipotecznych traci pracȩ i przestaje spłacać pożyczkȩ w cia̧gu 5
lat. Wie też, że 20% kredytobiorców hipotecznych traci pracȩ w cia̧gu 5 lat. Przy założeniu, że kredytobiorca
hipoteczny stracił pracȩ, jakie jest prawdopodobieństwo, iż przestanie spłacać pożyczkȩ?
8. W urnie jest 6 kul białych i 4 czarne. Wyjȩto losowo 2 kule i określono zdarzenia: A — wylosowano co najwyżej 1
kulȩ biała̧, B — wylosowano co najwyżej jedna̧ kulȩ czarna̧. Sprawdzić, czy te zdarzenia sa̧ niezależne.
9. Rzucamy dwa razy kostka̧ do gry. Niech A oznacza zdarzenie w którym suma wyrzuconych oczek jest wiȩksza od
7, a B zdarzenie w którym iloczyn wyrzuconych oczek jest mniejszy od 48. Obliczyć P (A) i P (B). Sprawdzić czy
zdarzenia A i B sa̧ niezależne, Obliczyć P (A|B) i P (B|A).