Rachunek prawdopodobienstwa i statystyka Z1 1. A, B, C s ˛a

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Z1
1. A, B, C sa˛ zdarzeniami z tej samej przestrzeni probabilistycznej. Wyrazić poniższe zdarzenia za pomoca˛
A, B i C:
(a) Zajdzie tylko zdarzenie A;
(b) Zajda˛ zdarzenia A i C, ale nie zajdzie B;
(c) Zajdzie co najwyżej jedno ze zdarzeń A, B, C;
(d) Zajdzie co najmniej jedno ze zdarzeń A, B, C;
2. A i B sa˛ zdarzeniami z tej samej przestrzeni probabilistycznej takimi, że
1
1
2
P (A0 ) = , P (A ∩ B) = , P (A ∪ B) = .
3
4
3
Obliczyć P (B 0 ) oraz P (A ∩ B 0 ).
3. Urna zawiera 3 kule czerwone i 4 białe. Losujemy 3 kule (bez zwracania). Obliczyć prawdopodobieństwo,
że:
(a) Wszystkie wylosowane kule b˛eda˛ czerwone;
(b) Wylosowane zostana˛ 2 kule czerwone i 1 biała;
(c) Wszystkie wylosowane kule b˛eda˛ w tym samym kolorze.
4. W koszu z przecenionymi butami znajduje si˛e 2n butów. n klientów wyciagn˛
˛ eło na chybił trafił po 2 buty.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że każdy klient wylosuje:
(a) but lewy i but prawy;
(b) par˛e butów.
5. Rzucamy pi˛eć razy symetryczna˛ kostka˛ do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w pi˛eciu rzutach najwi˛eksza zaobserwowana liczba oczek b˛edzie:
(a) nie wi˛eksza niz 4;
(b) równa 4.
6. Ustawiamy w pewnej kolejności n różnych przedmiotów, gdzie n > 2. Nast˛epnie mieszamy je ze soba˛
i ustawiamy ponownie w przypadkowy sposób. Zakładajac,
˛ że wszystkie ustawienia sa˛ jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden z tych przedmiotów stoi na poprzednio
zajmowanym miejscu.
7. Pani Helena i pan Henryk przyjda,˛ niezależnie od siebie, do kawiarni "Melpomena"w ciagu
˛ najbliższej
godziny. Pani Helena sp˛edzi tam 12 minut, a pan Henryk – 24 minuty.
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że pani Helena i pan Henryk spotkaja˛ si˛e?
(b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że pan Henryk przyjdzie po 10 minutach od chwili przyjścia pani
Heleny.
8. Wybieramy losowo punkt A kwadratu [−1; 1] × [−1; 1]. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że:
(a) Suma odległości punktu A od osi układu współrz˛ednych jest wi˛eksza od 0.5 ;
1
(b) Mniejsza ze współrz˛ednych nie przekracza .
3
9. Na odcinku [0; 1] umieszczono losowo punkty L i M . Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzeń:
(a) Środek odcinka LM należy do przedziału [0; 1/3];
(b) Z L jest bliżej do M niż do zera.