DYNAMIKA

DYNAMIKA
Dynamika jest działem mechaniki zajmującym się badaniem ruchu ciał z uwzględnieniem sił działających na ciało
i wywołujących ten ruch.
Dynamika opiera się na prawach Newtona, a w szczególności na drugim prawie (zwanym prawem dynamiki). Można
wykazać, że prawa Newtona są słuszne w układach odniesienia poruszających się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Są to tzw. układy odniesienia Galileusza lub układy inercjalne.
Ze względów dydaktycznych dynamikę podzielimy, podobnie jak kinematykę, na: dynamikę punktu materialnego,
dynamikę bryły. Z kolei dynamikę bryły dzielimy na: dynamikę ruchu płaskiego i dynamikę ruchu przestrzennego.
Prof. Edmund Wittbrodt
Dynamika punktu materialnego
Równaniem wyjściowym dla badania dynamiki punktu materialnego o stałej masie pod wpływem układu sił jest równanie
(por. p. 1.5)
ma = W
,
(4.1)
∑ Pi
(4.1a)
gdzie
W=
n
i =1
jest siłą wypadkową układu sił działających na punkt.
a)
P2
b)
P1
m
A
m
A
P3
n
W = ∑ Pi
i =1
Pn
Równanie (4.1) określa związek pomiędzy wektorem przyspieszenia
o masie m.
Siły działające na punkt materialny A:
a) układ sił, b) układ sił zredukowanych do siły wypadkowej
a
i siłą wypadkową
W
, działającą na punkt materialny
Prof. Edmund Wittbrodt
Równanie różniczkowe ruchu
Opis dynamiki punktu materialnego za pomocą wektora wodzącego
Dany jest punkt materialny A o masie m, którego położenie i przyspieszenie są:
układ sił o wypadkowej W [Wx , Wy , Wz ] .
rA [rx , ry , rz ] , a A [ax , a y , az ] .
Na punkt działa
aA
z
W
z1
A
m – masa
rA
rO
O
x
Podstawiając wektory
aA
O1
W
y1
rx
ry
zO
x1
oraz
rz
y
xO
Opis dynamiki punktu materialnego za pomocą wektora wodzącego
yO
do równania (4.1) mamy
m(&&
rx i + &&
ry j + &&
rz k ) = Wx i + Wy j + Wz k
(4.2a)
lub
mr&&x i + mr&&y j + mr&&z k = Wx i + W y j + Wz k
.
(4.2b)
Wektor lewej strony równania (4.2) jest równy wektorowi prawej strony, gdy odpowiednie składowe tych wektorów są
sobie równe. Zatem zamiast jednego równania wektorowego (4.2) możemy zapisać równoważny układ trzech równań:
mr&&x = Wx , mr&&y = Wy , mr&&z = Wz
(4.3)
Równania (4.3) nazywamy równaniami różniczkowymi ruchu (RRR) we współrzędnych wektorowych. Określają one
związek pomiędzy wektorem położenia punktu materialnego rA [rx , ry , rz ] , a siłą wypadkową W .
Prof. Edmund Wittbrodt
Opis dynamiki punktu materialnego we współrzędnych prostokątnych
Równania różniczkowe ruchu punktu materialnego A(x, y, z)we współrzędnych prostokątnych otrzymujemy analogicznie jak
we współrzędnych wektorowych. W tym przypadku początek wektora (punkt O1) znajduje się w początku układu
odniesienia, skąd: rx ≡ x, ry ≡ y, rz ≡ z. Zatem równania te mają postać:
mx&& = Wx ,
my&& = Wy ,
(4.6)
mz&& = Wz .
&&
zk
Wz k
aA
m
z
W
Wy j
A
&&
yj
Wx i
&&
xi
z
O
x
y
y
x
Opis dynamiki punktu materialnego we współrzędnych prostokątnych
Prof. Edmund Wittbrodt
Opis dynamiki punktu materialnego we współrzędnych naturalnych
Niech punkt materialny A o masie m opisany jest za pomocą równania drogi przebytej po torze
s = s (t ) ,
oraz równania toru o promieniu krzywizny
ρ
(rys. 4.3). Przyspieszenie punktu możemy przedstawić za pomocą wektora
a A [an , at ] = an en + at et ,
gdzie:
an =
s&2
ρ
,
at = &&
s,
en , et −
zaś:
wersory osi normalnej i stycznej toru.
m
A
O
Wt et
s(t)
at et
Wn en
t
W
tor
anen
a
n
Ponadto na punkt ten działa układ sił o wypadkowej
W = Wn en + Wt et
Opis dynamiki punktu materialnego za pomocą współrzędnych naturalnych
W
równej
.
Prof. Edmund Wittbrodt
Podstawiając wyrażenia na przyspieszenie
m(
s&2
ρ
a
oraz siłę
W
do (4.1), otrzymamy
en + &&
set ) = Wn en + Wt et
(4.4a)
lub
m
s&2
ρ
en + ms&& et = Wn en + Wt et
.
(4.4b)
Wektory lewej i prawej strony są sobie równe wtedy, gdy:
m
s&2
ρ
= Wn ,
ms&& = Wt .
(4.5)
Równania (4.5) nazywamy równaniami różniczkowymi ruchu punktu materialnego we współrzędnych naturalnych.
Prof. Edmund Wittbrodt
Opis dynamiki punktu materialnego we współrzędnych biegunowych
W tym przypadku siłę
W,
działającą na punkt materialny o masie m, rozkładamy na dwie składowe
W = Wr er + Wϕ eϕ .
(4.7)
φ
aA
r
aϕ eϕ
W
Wϕ eϕ
ar er
Wr er
y
A
ρ(t)
Opis dynamiki punktu materialnego we współrzędnych biegunowych
m
tor punktu
φ(t)
O
x
Podstawiając wyrażenie na przyspieszenie punktu we współrzędnych biegunowych (3.26) oraz (4.7) do (4.1) otrzymamy
równania różniczkowe ruchu punktu materialnego w postaci wektorowej
& & )eϕ = Wr er + Wϕ eϕ
m( ρ&& − ρϕ& 2 )er + m( ρϕ&& + 2 ρϕ
lub w postaci układu równań:
m( ρ&& − ρϕ& 2 ) = Wr ,
& & ) = Wϕ .
m( ρϕ&& + 2 ρϕ
(4.8)
(4.9)
Równania (4.9) określają związek pomiędzy położeniem punktu materialnego o masie m a siłami działającymi na ten punkt
we współrzędnych biegunowych.
Prof. Edmund Wittbrodt
Typy zagadnień w dynamice
Zagadnienia dynamiki, które symbolicznie przedstawiono na rysunku, opisywane za pomocą różniczkowych równań ruchu
przedstawionych w p. 4.1.1, dzielimy na dwa podstawowe typy:
1) znając ruch punktu materialnego o danej masie znaleźć siły,
2) znając siły działające na punkt materialny o danej masie określić jego ruch.
Siły
W
Punkt
materialny
m
Ruch
r, r,& r&&
Przyczyny (siły) i skutki (ruch) w dynamice punktu materialnego
Obliczanie sił działających na punkt materialny o masie m, gdy dane są równania ruchu, polega na dwukrotnym
zróżniczkowaniu tych równań (obliczeniu przyspieszeń), a następnie po podstawieniu pochodnych do różniczkowych
równań ruchu, otrzymujemy poszukiwane siły.
Określenie ruchu punktu o masie m przy danych siłach, wymaga znajomości zmienności sił. Możemy wyróżnić kilka
przypadków, które we współrzędnych prostokątnych mają postać:
1) W = const,
2) W = W(t),
3) W = W(x, y, z),
4)
W = W ( x&, y& , z& ) ,
5)
W = W (t , x, y, z , x& , y& , z&) .
Prof. Edmund Wittbrodt
Biorąc, np. siłę dla przypadku ostatniego, najbardziej złożonego, RRR (4.6) przyjmują postać:
mx&& = Wy (t , x, y, z, x&, y& , z& ) ,
my&& = Wy (t , x, y, z, x& , y& , z&) ,
(4.10)
mz&& = Wy (t , x, y, z , x& , y& , z&) .
Rozwiązanie układu równań (4.10) zależy od postaci funkcji Wx , Wy , Wz . Znalezienie rozwiązania nie zawsze jest możliwe.
Jeżeli ono istnieje, to otrzymujemy je w postaci rodziny funkcji z dowolnymi stałymi całkowania, których jest sześć (3
równania różniczkowe 2–go rzędu):
x = x(t , c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 ) ,
y = y (t , c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 ) ,
(4.11)
z = z (t , c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 ) .
Dla określenia stałych całkowania należy podać warunki początkowe. Najczęściej określają one położenie i prędkość punktu
w chwili początkowej, co zapisujemy:
dla t = t0 x(t0 ) = x0 , x&(t0 ) = x&0 ,
y (t0 ) = y0 , y& (t0 ) = y&0 ,
(4.12)
z (t0 ) = z0 , z& (t0 ) = z&0 .
Podstawiając warunki początkowe (4.12) do (4.11) otrzymujemy układ 6 równań, z którego obliczamy stałe całkowania w
zależności od zadanych warunków początkowych. Po ich podstawieniu do (4.11) otrzymujemy ostateczne rozwiązania w
postaci funkcji:
x = x(t , x0 , y0 , z0 , x&0 , y&0 , z&0 ) ,
y = y (t , x0 , y0 , z0 , x&0 , y&0 , z&0 ) ,
(4.13)
z = z (t , x0 , y0 , z0 , x&0 , y&0 , z&0 ) .
Równania te opisują ruch punktu materialnego pod wpływem zadanych sił, przy określonych warunkach początkowych.
Prof. Edmund Wittbrodt