O czym mówią współczynniki funkcji liniowej?

O
c z y m
m ó w i ą
w s p ó ł c z y n n i k i
f u n k c j i
l i n i o w e j ?
Elżbieta Friedrich
mailto:[email protected]
nauczyciel matematyki i informatyki
Gimnazjum nr 5 w Tychach
Temat: O czym mówią współczynniki funkcji liniowej?
Czas zajęć: 45 minut.
Miejsce zajęć: pracownia komputerowa.
Cele: doskonalenie umiejętności wyciągania wniosków na podstawie obserwacji oraz uzasadniania ich
poprawności, utrwalenie wiadomości o funkcjach liniowych i odkrycie pewnych nowych
własności tych funkcji, doskonalenie umiejętności sporządzania wykresów funkcji liniowych.
Metody:
rozmowa z uczniem,
praca indywidualna uczniów lub w 2-3 osobowych grupach (w zależności od liczby stanowisk
komputerowych),
poszukująca,
praktycznego działania.
Środki i pomoce dydaktyczne: stanowiska komputerowe, program komputerowy do rysowania
wykresów funkcji liniowych, plansza z przykładowymi wykresami funkcji rosnącej, malejącej
i stałej, karty pracy ucznia, karty z wykresami funkcji, arkusze z zadaniem domowym.
Uwagi: uczeń na wcześniejszych lekcjach poznał następujące tematy: miejsce zerowe funkcji, funkcja
rosnąca, malejąca, stała, definicja i wykres funkcji liniowej.
I. Przypomnienie podstawowych wiadomości dotyczących funkcji liniowej.
Uczniowie odpowiadają na pytania, nauczyciel przedstawia wykresy na wcześniej przygotowanych
planszach (załącznik 1):
1. Czy funkcja, której wykres został przedstawiony na wykresie jest funkcją rosnącą, malejącą
czy stałą? Dlaczego?
2. Jakie funkcje (rosnące, malejące czy stałe) znajdują się na pozostałych wykresach?
3. Co to jest miejsce zerowe funkcji? Odczytaj miejsca zerowe funkcji przedstawionych
na wykresach.
4. Jaką funkcję nazywamy funkcją liniową? Podaj przykłady dwóch takich funkcji.
5. Co jest wykresem funkcji liniowej?
6. Czy każda prosta w układzie współrzędnych jest wykresem pewnej funkcji liniowej? Dlaczego
prosta równoległa do osi OY nie jest wykresem żadnej funkcji liniowej?
II. Zapoznanie uczniów z programem służącym do sporządzania wykresów funkcji liniowych.
Nauczyciel opisuje możliwości programu do rysowania wykresów funkcji liniowych. Uczniowie
próbują sporządzić wykresy kilku funkcji, zapoznają się też z opcją umożliwiającą pozostawianie
prostych na ekranie.
III. Praca samodzielna uczniów pod kontrolą nauczyciela.
Uczniowie samodzielnie dobierając przykłady sporządzają wykresy odpowiednich funkcji i starają się
wypełnić karty pracy (załącznik 2). Po wpisaniu wszystkich wniosków oddają swoje prace
nauczycielowi, który po lekcji sprawdza i ocenia odpowiedzi oraz poprawia ewentualne błędy czy
nieścisłości. Na kolejnej lekcji prace zostają oddane uczniom i wklejone do zeszytu jako notatka pod
tematem lekcji.
IV. Ćwiczenia utrwalające wiadomości o współczynnikach funkcji liniowej.
Uczniowie otrzymują wydruki z wykresami (załącznik 3) i starają się uzyskać podobne rysunki
na ekranach swoich komputerów.
V. Zadanie domowe
Treści zadań uczniowie otrzymują na kartkach (załącznik 4).
–1–
O
c z y m
m ó w i ą
w s p ó ł c z y n n i k i
f u n k c j i
l i n i o w e j ?
––––––––––––––––––––––––––––––– ZAŁĄCZNIK 1 –––––––––––––––––––––––––––––––
y
y
y
1
1
1
0 1
x
0 1
x
0
1
x
––––––––––––––––––––––––––––––– ZAŁĄCZNIK 2 –––––––––––––––––––––––––––––––
Twoim zadaniem jest odkrycie jak współczynniki a i b funkcji liniowej o wzorze y = ax + b
decydują o własnościach tej funkcji, zatem większość odpowiedzi powinna dotyczyć właśnie tych
współczynników. Nim zapiszesz wniosek na karcie odpowiedzi – przetestuj go sporządzając
w programie odpowiednią ilość wykresów.
1. Co możesz powiedzieć o wykresach funkcji liniowych o wzorze y = ax (tzn. gdy
współczynnik b = 0)?
Zwróć uwagę na to przez jakie punkty przechodzą wykresy takich funkcji oraz w jakich
ćwiartkach się znajdują.
Co powiesz o położeniu wykresu funkcji y = ax w układzie współrzędnych, gdy a > 0 ?
Wniosek: .............................................................................................................................
..............................................................................................................................................
Co powiesz o położeniu wykresu funkcji y = ax w układzie współrzędnych, gdy a < 0 ?
Wniosek: .............................................................................................................................
..............................................................................................................................................
Co powiesz o położeniu wykresu funkcji y = ax w układzie współrzędnych, gdy a = 0 ?
Wniosek: .............................................................................................................................
..............................................................................................................................................
Wniosek: Wykresy wszystkich funkcji y = ax przechodzą przez punkt o współrzędnych
.........................................
2. Kiedy funkcja liniowa o wzorze y = ax jest funkcją rosnącą, kiedy malejącą a kiedy stałą?
Czy wartość współczynnika b wpływa na kąt nachylenia wykresu funkcji y = ax + b
do osi OX?
Wniosek: .............................................................................................................................
..............................................................................................................................................
Kiedy funkcja liniowa y = ax + b jest funkcją rosnącą, malejącą, stałą?
Wniosek: .............................................................................................................................
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
3. Jak wykorzystując wykres funkcji y = ax narysować wykres funkcji y = ax + b ?
Wniosek: .............................................................................................................................
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
4. W którym punkcie wykres funkcji y = ax + b przecina oś OY?
Wniosek: .............................................................................................................................
5. Kiedy funkcja liniowa o wzorze y = ax + b ma dokładnie jedno miejsce zerowe, kiedy ma ich
nieskończenie wiele a kiedy nie ma ich wcale?
–2–
O
6.
7.
8.
9.
c z y m
m ó w i ą
w s p ó ł c z y n n i k i
f u n k c j i
l i n i o w e j ?
Możesz też zadać sobie pytanie: kiedy wykres funkcji przecina oś OX tylko raz, kiedy pokrywa
się z osią OX, a kiedy nie ma z nią w ogóle punktów wspólnych?
Wniosek: .............................................................................................................................
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
Kiedy wykres funkcji liniowej y = ax + b jest równoległy do osi OX?
Wniosek: .............................................................................................................................
Czy wykres funkcji liniowej może być równoległy do osi OY? Dlaczego?
Wniosek: .............................................................................................................................
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
Kiedy wykresy funkcji liniowych są równoległe? Sprawdź, który współczynnik o tym
decyduje.
Wniosek: .............................................................................................................................
..............................................................................................................................................
Jakim wzorem określona jest funkcja liniowa, której wykres zawiera dwusieczne kątów
ćwiartek I i III?
Wniosek: .............................................................................................................................
Jakim wzorem określona jest funkcja liniowa, której wykres zawiera dwusieczne kątów
ćwiartek II i IV?
Wniosek: .............................................................................................................................
Kiedy funkcja liniowa przyjmuje tylko wartości dodatnie a kiedy tylko wartości ujemne?
Wniosek: .............................................................................................................................
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
––––––––––––––––––––––––––––––– ZAŁĄCZNIK 3 –––––––––––––––––––––––––––––––
Ustaw w programie jednostkę na 60 (Zmiana | Jednostki).. Spróbuj w okienku programu uzyskać
następujące rysunki odpowiednio włączając lub wyłączając opcję pozostawiania prostych (Ekran |
Pozostawiaj Proste). Czy wszystkie wykresy są możliwe do uzyskania?
–3–
O
c z y m
m ó w i ą
w s p ó ł c z y n n i k i
f u n k c j i
l i n i o w e j ?
––––––––––––––––––––––––––––––– ZAŁĄCZNIK 4 –––––––––––––––––––––––––––––––
Uzupełnij:
1. Wykres funkcji y = ax + b jest równoległy do wykresu funkcji y = 2 x + 7 wtedy, gdy
…………………….
2. Wykres każdej funkcji liniowej określonej wzorem y = ax , przechodzi przez punkt
o współrzędnych ............................................
3. Wykres funkcji y = −2 x przechodzi przez ćwiartki .....................................
4. Wykres funkcji y = 3 x − 1 przechodzi przez ćwiartki ...............................
5. Funkcja y = 2 x − 100 jest funkcją ....................................................... (rosnącą, malejącą, stałą).
6. Funkcja y = − x jest funkcją ....................................................... (rosnącą, malejącą, stałą).
7. Funkcja y = 2 jest funkcją ....................................................... (rosnącą, malejącą, stałą).
8. Wykres funkcji ...................................... jest prostopadły do wykresu funkcji y = x .
9. Wykres funkcji ...................................... nie jest równoległy do wykresu funkcji y = 2 x − 1 .
10. Wykres funkcji ................................. jest równoległy do osi OX i przecina oś OY w punkcie (0, 2).
11. Funkcja y = −5 x + 1 .................................................................................... (wpisz ile miejsc
zerowych ma ta funkcja).
12. Funkcja y = 1 ..........................................................................………………........ (wpisz ile miejsc
zerowych ma ta funkcja).
13. Funkcja y = 0 ........................................................................………………......... (wpisz ile miejsc
zerowych ma ta funkcja).
1
14. Wykresy funkcji y = x − 4 i y = 0,5 x + 5 mają ...........................................................................
2
(wpisz ile punktów wspólnych mają te wykresy).
15. Wykresy funkcji y = −0,5 x + 5 i y = 8 x + 5 mają ..........................................................................
(wpisz ile punktów wspólnych mają te wykresy).
16. Funkcja y = 4 przyjmuje tylko wartości ………………………….. (ujemne, dodatnie).
–4–