Matematyka wyższa, ćwiczenia, zestaw 06 6.1. Niech funkcja f(x

Matematyka wyższa, ćwiczenia, zestaw 06
6.1. Niech funkcja f (x) będzie funkcją periodyczną, o okresie równym 2π, zadaną wzorem


1 dla x ∈ (2πk, 2πk + π),



f (x) =
−1 dla x ∈ (2πk + π, 2πk + 2π),




0 dla x = πk,
gdzie k jest liczbą całkowitą. Proszę wyznaczyć postać rozwinięcia funkcji f (x) w szereg
Fouriera.
6.2. Niech u(x, y) = x + y, v(x, y) = xy, niech g(u, v) = sin u2 + v 2 i niech wreszcie
f (x, y) = g(u(x, y), v(x, y)).
Proszę obliczyć
∂f (x, y) ∂x y
oraz
∂f (x, y) .
∂y x
6.3. Niech u(x, y) = x2 + y, v(x, y) = x − y 2 , niech g(u, v) = ln (1 + euv ) i niech wreszcie
f (x, y) = g(u(x, y), v(x, y)).
Proszę obliczyć
∂f (x, y) ∂x y
oraz
∂f (x, y) .
∂y x
6.4. Proszę obliczyć ∇f (to jest gradient funkcji f ) dla
(a) f (x, y) = arctan xy ,
p
(b) f (x, y, z) = x2 + y 2 + r2 ,
√
2
2
2
(c) f (x, y, z) = √ 2 1 2 2 e− x +y +r
x +y +r
p
Wskazówka: warto oznaczyć r = x2 + y 2 + r2 i stosować twierdzenie o różniczkowaniu
funkcji złożonej.
Leszek Hadasz
[email protected]