docAlgebra liniowa - Polsko-Japońska Akademia Technik
download 
Reklamacja Transkrypt
Algebra liniowa - Polsko-Japońska Akademia Technik
Algebra Algebra linowa w pigułce Aleksander Denisiuk [email protected] Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra – p. 1 Algebra linowa w pigułce Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna ˛ jest pod adresem http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/ Algebra – p. 2 Układ równań linowych ( x + 2y = 6, 3x − y = 4 Algebra – p. 3 Układ równań linowych ( x + 2y = 6, 3x − y = 4 ( y = 2, ⇒ x=2 (1) Algebra – p. 3 Drugi układ ( x + 2y = 6, 3x + 6y = 4 Algebra – p. 4 Drugi układ ( x + 2y = 6, 3x + 6y = 4 ⇒ 0 = 14 ? (2) Algebra – p. 4 Trzeci układ ( x + 2y = 6, 3x + 6y = 18 Algebra – p. 5 Trzeci układ ( x + 2y = 6, 3x + 6y = 18 ⇒0=0 ? (3) Algebra – p. 5 Układ (2) jest sprzecznym ( x + 2y = 6, 3x + 6y = 4 • brak rozwiaza ˛ ń Algebra – p. 6 Układ (3) nie jest układem ( x + 2y = 6, 3x + 6y = 18 Algebra – p. 7 Układ (3) nie jest układem ( x + 2y = 6, 3x + 6y = 18 ⇐⇒ x + 2y = 6 Algebra – p. 7 Układ (3) nie jest układem ( x + 2y = 6, 3x + 6y = 18 ⇐⇒ x + 2y = 6 • wiele rozwiaza ˛ ń: ◦ x = 2, y = 2 ◦ x = 4, y = 1 ◦ x = 6, y = 0 ◦ x = 1 , y = 11 2 4 Algebra – p. 7 Układ (3) nie jest układem ( x + 2y = 6, 3x + 6y = 18 ⇐⇒ x + 2y = 6 • wiele rozwiaza ˛ ń: ◦ x = 2, y = 2 ◦ x = 4, y = 1 ◦ x = 6, y = 0 ◦ x = 1 , y = 11 2 4 • x = 1, y = 1 nie jest rozwiazaniem ˛ Algebra – p. 7 Układ (3) nie jest układem ( x + 2y = 6, 3x + 6y = 18 ⇐⇒ x + 2y = 6 • wiele rozwiaza ˛ ń: ◦ x = 2, y = 2 ◦ x = 4, y = 1 ◦ x = 6, y = 0 ◦ x = 1 , y = 11 2 4 • x = 1, y = 1 nie jest rozwiazaniem ˛ • Rozwiazanie ˛ ogólne x = a, y = 21 (6 − a) Algebra – p. 7 Podsumowanie • Układ może: ◦ mieć jedyne rozwiazanie ˛ ◦ nie mieć rozwiaza ˛ ń ◦ mieć nieskończenie wiele rozwiaza ˛ ń • Układ nie może mieć dokładnie 2 rozwiaza ˛ ń Algebra – p. 8 Wieksza ˛ ilość niewiadomych x + 4y − 2z + 3t = 9, 2x − y − z − t = 4, 5x + 7y + z − 2t = 7, 3x − 2y − 8z + 5t = 21. • 2R1 + 3R2 − R3 ⇒ sprzeczność Algebra – p. 9 Wieksza ˛ ilość niewiadomych x + 4y − 2z + 3t = 9, 2x − y − z − t = 4, 5x + 7y + z − 2t = 7, 3x − 2y − 8z + 5t = 23. • 2R1 + 3R2 − R3 ⇒ trzy równania, cztery niewiadome, układ nieokreślony Algebra – p. 10 Wieksza ˛ ilość niewiadomych ( x + y + z + t = 1, 2x + 2y + 2z + 2t = 0. • Równań wiecej, ˛ niż niewiadomych, układ sprzeczny Algebra – p. 11 3x − y= 4 Poglad ˛ geometryczny. Układ (1) x+ 2y = 6 Algebra – p. 12 Poglad ˛ geometryczny. Układ (2) x+ 3x + 6y = 2y = 6 4 Algebra – p. 13 Poglad ˛ geometryczny. Układ (3) x+ 3x + 2y = 6y = 6 18 Algebra – p. 14 Ogólne podejście geometryczne • Dwie płaszczyzny (dwa układy współrz˛ednych): (x, y) oraz (X, Y ). • Każdemu punktowi (x, y) przyporzadkujemy ˛ punkt (X, Y ), taki że ( x + 2y = X, 3x − y = Y. • Żeby rozwiazać ˛ układ (1), trzeba znaleźć taki punkt (x, y), że dla odpowiedniej pary (X, Y ) spełniona była równość (X, Y ) = (6, 4). Algebra – p. 15 Przekształcenie (x, y) 7→ (X, Y ) (x, y) (0, 0) (0, 1) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (1, 2) (2, 0) (2, 1) (2, 2) (X, Y ) (0, 0) (2, −1) (4, −2) (1, 3) (3, 2) (5, 1) (2, 6) (4, 5) (6, 4) Algebra – p. 16 Geometria przekształcenia (x, y) 7→ (X, Y ) Algebra – p. 17 Analiza układu (1) • Obrazem kwadratów sa˛ równoległoboki. • Każdy punkt na płaszczyźnie (X, Y ) jest obrazem pewnego punktu (x, y) ⇒ dla każdych (X, Y ) układ bedzie ˛ miał rozwiazanie. ˛ • Różne (x, y) przechodza˛ do różnych (X, Y ) ⇒ rozwiazanie ˛ jest jednoznaczne. Algebra – p. 18 Geometria przekształcenia dla równań (2) i (3) ( x + 2y = X, 3x + 6y = Y. Algebra – p. 19 Analiza układów (2) i (3) • Obrazem całej płaszczyzny jest prosta. • (6, 4) nie leży na tej prostej ⇒ układ (2) nie ma rozwiaza ˛ ń. • (6, 18) leży na prostej ⇒ układ (3) ma rozwiazania. ˛ • Cała prosta x + 2y = 6 zostaje spłaszczona do punktu ˛ ń. (6, 18) ⇒ układ (3) ma nieskończenie wiele rozwiaza Algebra – p. 20 Analiza ogólnego układu ( ax + by = X cx + dy = Y • Właściwości układu zależa˛ od właściwości przekształcenia (x, y) 7→ (ax + by, cx + dy) ax + by + cz = X dx + ey + f z = Y gx + hy + kz = Z • (x, y, z) 7→ (ax + by + cz, dx + ey + f z, gx + hy + kz) Algebra – p. 21 Jezyk ˛ teorii mnogości ( ax + by = X, cx + dy = Y. • Układ ma rozwiazanie ˛ ⇐⇒ (X, Y ) należy do obrazu przekształcenia T (x, y) 7→ (ax + by, cx + dy) (X, Y ) ∈ Im(T ) Algebra – p. 22 Jaki może być obraz T ? • Płaszczyzna — układ (1) • Prosta — układy (2) oraz (3) Algebra – p. 23 Jaki może być obraz T ? • Płaszczyzna — układ (1) • Prosta — układy (2) oraz (3) • Punkt — układ trywialny : ( 0x + 0y = X, 0x + 0y = Y. Algebra – p. 23 Obraz przekształcenia a przestrszeń rozwiaza ˛ ń Obraz płaszczyzna prosta punkt Przestrzeń rozwiaza ˛ ń punkt prosta płaszczyzna Algebra – p. 24 W R3 Obraz R3 płaszczyzna prosta punkt Przestrzeń rozwiaza ˛ ń punkt prosta płaszczyzna R3 • W Rn : suma wymiaru obrazu przekształcenia i wymiaru przestrzeni rozwiaza ˛ ń układu równa jest n Algebra – p. 25 Macierze • Niech dane bedzie ˛ przekształcenie T (x, y) = (X, Y ), gdzie ( ax + by = X, cx + dy = Y. • Macierz przekształcenia: • Wektory-kolumny: ! x , y ! a b c d ! X . Y Algebra – p. 26 Układ w postaci macierzowej ! a b c d · x y ! = ! X , gdzie Y • iloczynem macierzy ax + by cx + dy ! a b c d i kolumny ! x jest kolumna y ! • dwie kolumny sa˛ równe, jeżeli równe˛ sa˛ ich odpowiedne elementy Algebra – p. 27 Układ trzech równań o trzech niewiadomych a b c x X d e f · y = Y g h k z Z Algebra – p. 28 Mnożenie przekształceń • Niech dane bedzie ˛ drugie przekształcenie, U (X, Y ) = (X, Y), gdzie A B C D ! · X Y ! = X Y ( AX + BY = X, CX + DY = Y. czyli ! • Iloczynem przekształceń T i U jest przekształcenie złożone U T (x, y) = U (X, Y ) = (X, Y) Algebra – p. 29 Macierz iloczynu przekształceń • X = AX + BY = A(ax + by) + B(cx + dy) = (Aa + Bc)x + (Ab + Bd)y • Y = CX + DY = C(ax + by) + D(cx + dy) = (Ca + Dc)x + (Cb + Dd)y ! ! ! Aa + Bc Ab + Bd x X • · = Y Ca + Dc Cb + Dd y ! ! ! ! A B a b x X • · = C D c d y Y Algebra – p. 30 Definicja iloczynu macierzy A B C D ! · ! a b c d = ! Aa + Bc Ab + Bd Ca + Dc Cb + Dd Algebra – p. 31 Przykład • Niech G bedzie ˛ symetria˛ wzgledem ˛ osi Ox • Niech H obrotem dookoła środka współrz˛ednych o kat ˛ 90◦ zgodnie ze wskazuwka˛ zegara. ! 1 0 . 0 −1 ! 0 1 • H(x, y) = (y, −x), macierz H = . −1 0 ! ! ! 1 0 0 1 0 1 • Macierz GH = · = 0 −1 −1 0 1 0 • G(x, y) = (x, −y), macierz G = Algebra – p. 32 Obrót • Niech Rθ bedzie ˛ obrotem o kat ˛ θ. • Macierz Rθ = ! cos θ − sin θ . sin θ cos θ • Niech Rϕ bedzie ˛ obrotem o kat ˛ ϕ. • Macierz Rϕ = ! cos ϕ − sin ϕ . sin ϕ cos ϕ • Iloczyn obrotów Rθ Rϕ = Rθ+ϕ • Macierz Rθ+ϕ = cos(θ + ϕ) − sin(θ + ϕ) sin(θ + ϕ) cos(θ + ϕ) ! Algebra – p. 33 Obrót • Iloczyn macierzy Rθ Rϕ = cos θ − sin θ sin θ cos θ ! · cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ ! = ! cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ − cos θ sin ϕ − sin θ cos ϕ sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ − sin θ cos ϕ + cos θ cos ϕ ! cos(θ + ϕ) − sin(θ + ϕ) . sin(θ + ϕ) cos(θ + ϕ) = • Wniosek: ◦ cos(θ + ϕ) = cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ, ◦ sin(θ + ϕ) = sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ. Algebra – p. 34 Wektory n-wymiarowe • Zmiana oznazceń • x y ! x • y z x1 x2 ! x1 x2 x3 x1 .. . xn x1 .. . xn Algebra – p. 35 Dodawanie wektorów x y ! + ! z t ! = ! x+z z+t ! ! x1 y1 x1 + y1 + = x2 y2 x2 + y2 x1 y1 x1 + y1 .. .. .. . + . = . xn yn xn + yn Algebra – p. 36 Mnożenie wektorów przez α ∈R x α y ! = ! αx αy ! ! x1 αx1 = x2 αx2 x1 αx1 α ... = ... α xn αxn Algebra – p. 37 Macierze n-wymiarowe a b c d ! ! a11 a12 a21 a22 a11 · · · .. .. . . an1 · · · a1n .. . ann Algebra – p. 38 Mnożenie macierzy przez wektor ! a b c d a11 a21 a11 .. . x y ! ! ax + by = cx + dy ! ! ! a12 x1 a11 x1 + a12 x2 = a22 x2 a21 x1 + a22 x2 · · · a1n x1 a11 x1 + · · · + a1n xn .. .. = .. .. . . . . an1 · · · ann xn an1 x1 + · · · + ann xn Algebra – p. 39 Wygodne oznaczenie dla sumy • x1 + · · · + xn = n P xi i=1 Algebra – p. 40 Wygodne oznaczenie dla sumy • x1 + · · · + xn = n P xi i=1 • a11 x1 + · · · + a1n xn = n P a1i xi i=1 Algebra – p. 40 Wygodne oznaczenie dla sumy • x1 + · · · + xn = n P xi i=1 • a11 x1 + · · · + a1n xn = n P a1i xi i=1 a11 · · · .. .. • . . an1 · · · n P i=1 a1i xi a1n x1 .. .. = .. . . . n P ann xn ani xi i=1 Algebra – p. 40 Abstrakcyjna przestrzeń wektorowa • Zbiór X, na którym określone sa˛ dwa dzalania ◦ dodawanie +:X×X→X (X, Y ) 7→ X + Y ◦ mnożenie przez liczbe˛ rzeczywista˛ (skalowanie) ·:R×X→X (α, X) 7→ α · X(= αX) ◦ nawyza sie˛ przestrzenia˛ wektorowa˛ (liniowa), ˛ jeżeli spełnione sa˛ warunki: Algebra – p. 41 Przestrzeń wektorowa. Dodawanie • Dodawanie wektorów jest łaczne: ˛ ◦ ∀X, Y, Z ∈ X zachodzi (X + Y ) + Z = X + (Y + Z) • Dodawanie wektorów jest przemienne: ◦ ∀X, Y ∈ X jest X + Y = Y + X • Dodawanie wektorów ma element neutralny: ◦ ∃0 ∈ X, nazywany wektorem zerowym, że X + 0 = X dla dowolnego X ∈ X. • Dodawanie wektorów pozwala na odejmowanie: ◦ ∀X ∈ X istnieje element X ′ ∈ X, nazywany wektorem przeciwnym do X , taki, że X + X ′ = 0 (wygodne oznaczenie: X ′ = −X ). Algebra – p. 42 Przestrzeń wektorowa. Skalowanie • Skalowanie jest rozdzielne wzgledem ˛ dodawania wektorów: ◦ ∀λ ∈ R X, Y ∈ X zachodzi α(X + Y ) = αX + αY • Skalowanie jest rozdzielne wzgledem ˛ dodawania liczb: ◦ ∀α, β ∈ R X ∈ X jest (α + β)X = αX + βX • Skalowanie jest zgodne z mnożeniem liczb: ◦ ∀α, β ∈ R X ∈ X jest α(βX) = (αβ)X • ∀X ∈ X jest 1 · X = X . Algebra – p. 43 Przestrzeń wektorowa. Przykłady • Rn • Wielomiany R[x] • Wielomiany dwóch zmiennych R[x, y] • Szeregi potegowe ˛ R[[x]] 2 ◦ a0 + a1 x + a2 x + · · · = ∞ P a i xi i=0 Algebra – p. 44 Przekształcenia liniowe • Przekształcenie L : X → X, X 7→ L(X) = LX nazywa sie˛ liniowym, jeżeli: ◦ ∀X, Y ∈ X spełniono jest L(X + Y ) = LX + LY ◦ ∀α ∈ R, ∀X ∈ X spełniono jest L(αX) = αLX Algebra – p. 45 Google • Uporzadkować ˛ strony (wyniki wyszukiwania) • Ważność strony P jest W (P ) • Niech strona Pj ma li odnośników • Jeżeli Pj ma link na Pi , strona Pj przekazuje W (Pj )/lj swojej ważności na Pi • Ważność Pi wyniesie X W (Pj ) W (Pi ) = , lj Pj ∈Bi gdzie Bi jest zbiorem stron z odnośnikami do Pi Algebra – p. 46 Google — podejście algebraiczne • Macierz hiperlinków H: hij = 1 lj , 0 ◦ ◦ ◦ • jeżeli pj ∈ Bi w pozostałych przypadkach hij > 0 P i hij = 1 H jest macierza˛ stochastyczna˛ w1 . Wektor ważności W = .. wn Algebra – p. 47 Google — Równanie ważności • Wi = P Pj ∈Bi Wj lj = n P hij Wj j=1 • Równanie ważności W = HW • W jest wektorem stacjonarnym przekształcenia H • Dla stochastycznej macierzy istnieje jednoznacznie określony wektor stacjonarny o dodatnich współrz˛ednych Algebra – p. 48 Google — przykład 0 1 2 1 2 0 H= 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0 1 2 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 3 0 0 1 3 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 1 3 1 3 1 1 3 Algebra – p. 49 Google — ważności wyników 0,0600 0,0675 0,0300 0,0675 W = 0,0975 0,2025 0,1800 0,2950 Algebra – p. 50 Literatura Literatura [1] I AN S TEWART: Concepts of Modern Mathematics, Penguin Books, 1975. [2] DAVID AUSTIN : How Google Finds Your Needle in the Web’s Haystack, AMS Feature Column, December 2006, http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-pagerank . Algebra – p. 51
