Równania Kołmogorowa, półgrupowa teoria proc. Markowa Procesy

Równania Kołmogorowa, półgrupowa teoria proc. Markowa
Procesy Stochastyczne, wykład 8, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka
MAP1136
2 kwiecień, 2012
Równania Kołmogorowa, teoria półgrupowa
Równania Kołmogorowa
Niech Pt (x, E ) będzie prawdopodobieństwem przejścia dla ruchu
Browna. Pt (x, E ) ma funkcje gęstości
f (t, x, y ) = √
−(y −x)2
1
e 2t , t > 0.
2πt
Funkcja f , dla każdego ustalonego x jest rozwiązaniem
fundamentalnym klasycznego równania przewodnictwa ciepła
∂f
1 ∂2f
=
.
∂t
2 ∂y 2
Miary o f-cjach gęstości f są zbieżne słabo do δx , gdy t → 0+
Typowy przykład ”równania prospektywnego” (”forward
equation”): dla ustalonego stanu początkowego x, gęstość zm.
losowej Xt (jako f-cja y ) spełnia pewne paraboliczne r.r. Ogólniej:
szukamy r.r. spełnianego przez f-cję gęstości prawd. przejścia
Pt (x, ·), dla ust. stanu początkowego x.
Równania Kołmogorowa, teoria półgrupowa
Równania Kołmogorowa cd.
”Równanie retrospektywne”: ustalając ”stan końcowy” tzn. y
badamy f jako funkcję stanu początkowego x i czasu. Ogólniej:
badamy działanie f na pewnej f-cji ξ i rozpatrujemy jako funkcję
stanu początkowego x:
Z
ψ(t, x) = ξ(y )f (t, x, y )dy ,
ψ spełnia równanie przewodnictwa i war. początkowy ψ(0, x) =
ξ(x): Podejście prospektywne (”forward approach”) stosowane
wcześniej przez fizyków, pojawiło sie w pracach Einsteina i
Smoluchowskiego. Bardziej skomplikowane technicznie; niezbędne
mocne założenia gwarantujące istnienie f-cji gęstości prawd.
przejścia procesu Markowa. Podejście retrospektywne (”backward
approach”): Kołmogorow 1931, Feller 1936. Metoda bardziej
ogólna, stoi u podstaw tzw. półgrupowej teorii procesów Markowa.
Równania Kołmogorowa, teoria półgrupowa
Równania Kołmogorowa cd.
Zakładamy, że dla każdego x oraz dowolnego otoczenia U punktu
x prawd. przejścia Pt (x, dy ) spełnia
(L) limt→0+ 1t Pt (x, U c ) = 0, U 3 x,
R
(K1 ) limt→0+ 1t U (y − x)Pt (x, dy ) = a(x), U 3 x,
R
(K2 ) limt→0+ 1t U (y − x)2 Pt (x, dy ) = b(x), U 3 x.
(L) - warunek Lindeberga - gwarantuje ciągłość trajektorii procesu.
(K1 ), (K2 ) - warunki Kołmogorowa. (K1 ) - średnia prędkość
cząstki; (K2 ) - średnia wariancja.
R
Równanie dyfuzji (retrospektywne); ψ(t, x) = ξ(x)Pt (x, dy )
Niech Pt (x, dy ) spełnia (L), (K1 ), (K2 ) oraz ψ ma ograniczone i
jednost. ciągłe pochodne rzędu 2. Wtedy dla t > 0 zachodzi
∂ψ
∂ψ b(x) ∂ 2 ψ
= a(x)
+
∂t
∂x
2 ∂x 2
oraz limt→0+ ψ(t, x) = ξ(x), dla każdego x.
Równania Kołmogorowa, teoria półgrupowa
Równanie retrospektywne cd.
Dowód. Z równ. Chapmana-Kołmogorowa, dla h > 0:
Z Z
Z
ψ(t + h, x) =
Ph (x, dy )Pt (y , dz)ξ(z) = Ph (x, dy )ψ(t, y ) ,
=
Z
1
ψ(t + h, x) − ψ(t, x)
=
Ph (x, dy )[ψ(t, y ) − ψ(t, x)]
h
h
Z
1 x−ε
Ph (x, dy )[ψ(t, y ) − ψ(t, x)] + o(1) ,
h x−ε
dla dow. ε > 0. Z wzoru Taylora (ψ ∈ C 2 ) otrzymujemy
ψ(t, y ) = ψ(t, x)+(y −x)ψx (t, x)+(y −x)2 ψxx (t, x)/2+r (t, y )(y −x)2 ,
gdzie r (t, y ) → 0, gdy y → x. Podstawiamy wyrażenie na ψ(t, y )
do prawej strony wzoru. Wyraz z błędem daje nam całkę ogr. przez
1
max |r (t, y )|
h
y ∈[x−ε,x+ε]
Z
x−ε
x−ε
Ph (x, dy )(y −x)2 →
max
y ∈[x−ε,x+ε]
|r (t, y )|b(x).
Równania Kołmogorowa, teoria półgrupowa
Równanie retrospektywne cd.
Powyższe wyrażenie jest dowolnie małe, gdy ε dost. małe.
Ostatecznie otrzymujemy
lim
h→0+
ψ(t + h, x) − ψ(t, x)
b(x)
= a(x)ψx (t, x) +
ψxx (t, x).
h
2
Przypadek h < 0:
ψ(t + h, x) − ψ(t, x)
1
=
h
h
Z
P|h| (x, dy )[ψ(t + h, x) − ψ(t + h, y )] .
Korzystając z łącznej ciągłości ψx (t, x) i ψxx (t, x) wględem t i x
oraz z faktu, że r (t, y ) → 0, gdy y → x, jednostajnie względem t
przebiegającego przedziały skończone, otrzymujemy, że iloraz
różnicowy jest zbieżny do tego samego wyrażenia co poprzednio.
Równania Kołmogorowa, teoria półgrupowa
Równanie prospektywne (”forward equation”)
Dalej zakładamy (L), (K1 ) i (K2 ). Dodatkowo: prawd. przejścia
Pt (x, dy ) musi posiadać dwukrotnie różniczkowalną w sposób
ciągły gęstość f (t, x, y ). Ponadto, a(x) i b(x), muszą być też
różniczkowalne; b(x) - dwukrotnie. Otrzymujemy wtedy
Równanie dyfuzji (prospektywne)
Niech Pt (x, dy ) spełnia (L), (K1 ), (K2 ) oraz f ma ograniczone i
jednost. ciągłe pochodne rzędu 2. Wtedy dla t > 0 zachodzi
∂f
1 ∂ 2 (b(x)f (x)) ∂(a(x)f (x))
=
−
∂t
2
∂x 2
∂x
Zadanie odwrotne: Mając dane funkcje a(x) i b(x) znaleźć
rozwiązanie powyższych równań i odtworzyć z nich Pt (x, dy ).
Pierwsze rozwiązania w 1920 dla szczególnych przypadków
opisanych przez równanie prospektywne. Ogólne podejście: Feller 1952-1956, doprowadziło do pełnej klasyfikacji liniowych dyfuzji.
(K. Itô, H. P. McKean, Diffusion processes and their sample paths).
Równania Kołmogorowa, teoria półgrupowa
Półgrupowa teoria procesów Markowa
Dla f borelowskiej ograniczonej definiujemy
Z
Tt f (x) = f (y )Pt (x, dy )
R
Tt jest kontrakcją: kTt f k∞ ≤ kf k∞ Pt (x, dy ) = kf k∞ czyli
kTt k∞ ≤ 1. Rodzina (Tt )t>0 tworzy półgrupę:
Z
Z Z
Ts (Tt f )(z) =
(Tt f )(y )Ps (z, dy ) =
f (x)Pt (y , dx)Ps (z, dy )
Z
Ch.−K .
=
f (x)Pt+s (z, dx) = (Ts+t t)(z)
Definicja. Pt (x, ·) - fellerowskie prawd. przejścia: Tt f ∈ C (S)
dla wszystkich f ∈ C (S). Pt (x, ·) stochastycznie cg. (jednost.
stochast. cg.), gdy Pt (x, (x − ε, x + ε)) → 1, dla dow. ε > 0 (→ 1
jednost. wzgl. x)
Równania Kołmogorowa, teoria półgrupowa
Półgrupowa teoria procesów Markowa cd.
Zachodzi
Lemat (Ćwiczenia)
Pt (x, ·) jest stochastycznie ciągła (jednost. stochast. cg.) gdy Tt
ma własność: limt→0+ Tt f (x) = f (x) dla f ∈ C (S)
(limt→0+ ||Tt f − f ||∞ = 0 dla f ∈ UC (S)).
Gdy S jest przestrzenią zwartą to C (S) = UC (S) i Tt jest mocno
ciągłą rodziną kontrakcji na (C (S), k·k∞ ).
Dokładnie tak jak w przypadku skończenie wymiarowym tak i tutaj
można pokazać, że
Lemat (Ćwiczenia)
Tt jest mocno ciągła dla każdego t > 0, gdy tylko jest mocno
ciągła w 0.
Równania Kołmogorowa, teoria półgrupowa
Półgrupowa teoria procesów Markowa cd.
Zachodzi następujące twierdzenie
Twierdzenie
Stochastycznie ciągła fellerowska rodzina prawdopodobieństw
przejścia na zwartej przestrzeni fazowej S jest automatycznie
jednostajnie stochastycznie ciągła.
Prosta R nie jest zwarta, kompaktyfikujemy ją przez dodanie {∞}.
Dodatkowo definiujemy Pt (∞, {∞}) = 1 dla dowolnego t ≥ 0.
Trzeba sprawdzić, że fellerowskość jest zachowana przy tym
rozszerzeniu oraz, że rozszerzenie jest stochastycznie ciągłe.
Można pokazać, że prawdopodobieństwa przejścia ruchu Browna
spełniają te warunki.
Naszym zadaniem będzie teraz pokazanie, że rodzina Tt jest w
pewnym sensie eksponentą.
W dalszym ciągu będziemy rozważali mocno ciągłą półgrupę
kontrakcji Tt na pewnej przestrzeni Banacha X.
Równania Kołmogorowa, teoria półgrupowa