pobierz

Aproksymacja całki i rozwiaza
˛ ń równań
różniczkowych wzgl˛edem ułamkowego
procesu Wienera
Bartosz Ziemkiewicz
Wydział Matematyki i Informatyki
UMK Toruń
Ułamkowy proces Wienera
Definicja 1. Ułamkowym procesem Wienera z wykładnikiem Hursta H nazywamy scentrowany proces gaussowski
{WtH }t∈R+ o ciagłych
˛
trajektoriach i funkcji kowariancji opisanej wzorem
Cov(WtH1 , WtH2 )
1 2H
2H
2H
,
= t1 + t2 − |t2 − t1 |
2
Bedziemy
˛
zakładać, że
1
2
< H < 1.
t1 , t2 ∈ R+ .
Ułamkowy proces Wienera - historia
1940 r. - Kołmogorow po raz pierwszy opisuje ten proces,
1968 r. - Mandelbrot i van Ness wprowadzaja˛ nazwe˛
ułamkowy proces Wienera i badaja˛ jego podstawowe własności,
lata 90-te XX wieku - ułamkowy proces Wienera zaczyna
budzić szersze zainteresowanie. Pojawiaja˛ sie˛ jego zastosowania w ekonomii, hydrologii, telekomunikacji.
Problemy
Aproksymacja trajektorii ułamkowego procesu Wienera
Istnienie i aproksymacja całki
Z
t
0
As dWsH ,
t ∈ R+
Istnienie i jednoznaczność rozwiaza
˛ ń równań postaci
Xt = X0 +
Z
t
0
σ(Xs )dWsH ,
t ∈ R+ .
Reprezentacja całkowa
H
W
Decreusefond i Üstünel (1999) pokazali, że w przypadku gdy
H > 1/2 ułamkowy proces Wienera można wyrazić za pomoca˛ nastepuj
˛ acej
˛ całki stochastycznej
WtH =
Z
t
z H (t, s)dWs ,
t ∈ R+ ,
0
gdzie W jest standardowym procesem Wienera, a z H jest
określona wzorem
H
z (t, s) =
(
cH
0
s1/2−H
Rt
s
uH−1/2 (u − s)H−3/2 du
dla t > s
dla t 6 s ,
Mocna aproksymacja
H
W
Fakt 1. Niech {W H,n } bedzie
˛
ciagiem
˛
procesów określonym
nastepuj
˛ aco
˛
WtH,n
=
[nt]
X
z
H
[nt]/n, k/n (Wk/n − W(k−1)/n )
k=1
dla t ∈ R+ , n ∈ N, gdzie W jest standardowym procesem
Wienera. Wówczas
H,n
P
H
sup W
− Wt −−−−→ 0
t6T
dla wszystkich T ∈ R+ .
t
Słaba aproksymacja
H
W
Fakt 2. Niech {Xn,k ; k, n ∈ N} bedzie
˛
tablica˛ różnic martyngałowych spełniajac
˛ a˛ warunki:
(i)
P[n·]
D
+ , R),
X
−
→
W
w
D(R
n,k
k=1
(ii) maxk∈N E(Xn,k )2 6 C/n dla pewnej stałej C > 0.
Niech
WtH,n
=
[nt]
X
z
H
[nt]/n, k/n Xn,k .
k=1
Wówczas
D
H,n
W
−
→
W H w D(R+ , R).
Całka wzgl˛edem
H
W
W H nie jest semimartyngałem, zatem nie możemy wyko-
rzystać klasycznej teorii Itô.
Wykorzystanie metod stochastycznego rachunku wariacyjnego (rachunku Malliavina). Całka jest wówczas odpowiednim operatorem dywergencyjnym. Możemy ja˛ uzyskać jako granice˛ w L2 sum Riemanna zdefiniowanych
przy użyciu tzw. produktu Wicka. (Alòs et al. (2000), Duncan et al. (2000), Decreusefond, Üstünel (1999)).
W przypadku gdy H > 12 całk˛e wzgledem
˛
W H można
zdefiniować wykorzystujac
˛ pojecie
˛
p-wariacji oraz całk˛e
Riemanna-Stieltiesa. (Lin (1995), Dai i Heyde (1996))
q -wariacja całkowa
Definicja 2. (Bertoin (1986)) Mówimy, że proces stochastyczny X ma skończona˛ q-wariacje˛ całkowa˛ na [0, T ], jeżeli
Veq (X)T = sup
π
X
n
i=1
E|Xti − Xti−1 |q
1/q
< +∞ ,
gdzie supremum przebiega po wszystkich podziałach π przefq oznaczać bedziemy
działu [0, T ]. Przez W
˛
klase˛ wszystkich
procesów spełniajacych
˛
warunki Veq (X)T < +∞, T ∈ R+ oraz
E|X0 |q < +∞.
Proces
H
B
Definicja 3. Przez B H oznaczać bedziemy
˛
dowolny scentrowany proces gaussowski spełniajacy
˛ warunek
E|BtH2 − BtH1 |2 6
gdzie f ∈
1/H
Lloc ,
tzn.
Przykłady
RT
0
Z
t2
t1
2H
|fs |1/H ds
,
t1 , t2 ∈ R+ ,
|fs |1/H ds < +∞ dla wszystkich T ∈ R+ .
Ułamkowy proces Wienera W H
Procesy postaci
YtH
=
Rt
1/H
H , gdzie f ∈ L
f
dW
s
s
loc
0
Podułamkowy i dwuułamkowy proces Wienera
Całka wzgl˛edem
H
B
fq , gdzie q < (1 − H)−1 . Wówczas
Twierdzenie 1. Niech A ∈ W
Rt
istnieje proces { 0 As dBsH }t∈R+ taki, że dla wszystkich 1 6 p < q
i dla dowolnego podziału π = {0 = t0 < t1 < . . . < tn = T },
T ∈ R+ mamy:
Z
t
X
H
H
H
A
sup (B
−
B
)
−
A
dB
t
s
i−1
t
t
s
i
i−1
t6T
0
ti−1 6t
p
(q−1)/(qH)
1/H
L[0,T ]
6 C(p, q, H) · ε(f, π)H−(q−1)/q · kf k
gdzie ε(f, π) = maxti ∈π
R ti
1/H ds.
|f
|
s
ti−1
· Veq (A)T ,
Nierówności całkowe
fq , gdzie q < (1 − H)−1 . Wtedy
Twierdzenie 2. Niech A ∈ W
dla wszystkich 1 6 p < q istnieje stała C(p, q, H) taka, że dla
każdego T ∈ R+
Z
T
0
H
As dBs 6 C(p, q, H) kf kL1/H Veq (A)T + kA0 kq ,
[0,T ]
p
Jeżeli dodatkowo 1/H 6 p < q , to
Vep
Z
·
0
As dBsH
T
R·
H ∈W
fp oraz
A
dB
s
s
0
6 C(p, q, H) kf kL1/H Veq (A)T + kA0 kq .
[0,T ]
Jednostajne oszacowanie całki wzgl˛edem
H
W
fq oraz E supt6T |At |q < +∞,
Twierdzenie 3. Niech A ∈ W
T ∈ R+ , gdzie 1/H < q < (1 − H)−1 . Dla wszystkich 1 6 p < q
istnieje stała C(p, q, H) > 0 taka, że dla każdego T ∈ R+
Z t
H
H
sup 6 C(p, q, H) T Veq (A)T + sup |At | .
A
dW
s
s
q
t6T
0
p
t6T
Aproksymacja całki
Niech {B H,n } bedzie
˛
ciagiem
˛
dyskretnych scentrowanych
H,n
procesów gaussowskich postaci BtH,n = Bk/n
dla t ∈ [ nk , k+1
n )
spełniajacych
˛
warunek
H,n 2
E|BtH,n
−
B
t1 | 6
2
Z
[nt2 ]/n
[nt1 ]/n
2H
|fs |1/H ds
dla t1 , t2 ∈ R+ , n ∈ N, gdzie f ∈ L1/H
loc .
Wówczas całk˛e wzgledem
˛
{B H,n } definiujemy nastepuj
˛ aco:
˛
Z
t
0
As dBsH,n
=
[nt]
X
k=1
H,n
Ak/n Bk/n
H,n
− B(k−1)/n ,
t ∈ R+ .
Aproksymacja całki
Twierdzenie 4. Niech supn (Veq (An )T + kAn0 kq ) < +∞, T ∈ R+ ,
gdzie q < (1 − H)−1 . Załóżmy dodatkowo, że B H,n − B H jest
procesem gaussowskim. Wówczas jeżeli dla każdego T ∈ R+
n
sup At − At q −−−−→ 0
n→+∞
t6T
to dla 1 6 p < q
i
H,n
H
sup Bt − Bt 1 −−−−→ 0 ,
n→+∞
t6T
Z t
Z t
n
H,n
H
−−−→ 0 ,
sup As dBs −
As dBs −
n→+∞
t6T
0
0
p
T ∈ R+ .
Słaba zbieżność całek
Twierdzenie 5. Niech supn (Veq (An )T + kAn0 kq ) < +∞, T ∈ R+ ,
Df
n
H,n
(A , B ) −−→
(A, B H ), to
Z ·
Z ·
Df
H,n
n
H,n
B ,
As dBs
−−−−→ B H ,
As dBsH .
gdzie q <
(1 − H)−1 .
Wówczas jeżeli
0
0
Jeżeli dodatkowo q > 1/H, to
Z ·
Z ·
D
As dBsH
B H,n ,
Ans dBsH,n −−−−→ B H ,
0
w D(R+ , R2 ).
0
Aproksymacja rozwiaza
˛ ń równań
Bedziemy
˛
f1/H
X∈W
badać istnienie
równań postaci
Xt = X0 +
Z
t
0
i
aproksymacje˛
σ(Xs )dBsH ,
t ∈ R+ ,
rozwiaza
˛ ń
(∗)
gdzie σ : R → R, a X0 jest zmienna losowa˛ spełniajac
˛ a˛ warunek E|X0 |1/H < +∞.
Słabe rozwiazania
˛
równań
Twierdzenie 6. Niech {B H,n } bedzie
˛
ciagiem
˛
dyskretnych
D
procesów gaussowskich takim, że B H,n −
→ B H w D(R+ , R).
˛
funkcja˛ α-hölderowska,
˛ (1 − H)/H <
Niech σ : R → R bedzie
˛
α < 1. Wówczas ciag
Xtn = X0 +
Z
t
0
n
σ(Xs−
)dBsH,n ,
t ∈ R+ ,
jest jednostajnie C -jedrny
˛
w D(R+ , R) a każdy jego punkt skupienia jest słabym rozwiazaniem
˛
równania (∗).
Przykład
Niech σ : R → R bedzie
˛
funkcja˛ rzeczywista,
˛ α-hölderowska˛
gdzie (1 − H)/H < α < 1. Rozważmy ułamkowy proces Wienera W H i jego aproksymacje˛ {W H,n }. Niech
X0n = X0
n
Xk/n
=
n
X(k−1)/n
+σ
n
X(k−1)/n
H,n
Wk/n
H,n
− W(k−1)/n ,
k ∈ N.
n dla t ∈ [ k , k+1 ) spełnia równanie:
Wtedy proces Xtn = Xk/n
n n
Xtn = X0 +
Z
t
0
n
σ(Xs−
)dWsH,n .
Korzystajac
˛ z twierdzenia 6. otrzymujemy, że istnieje słabe
rozwiazanie
˛
równania (∗).
Mocne rozwiazania
˛
równań
Twierdzenie 7. Niech σ : R −→ R bedzie
˛
funkcja˛ α-hölderowska,
˛ gdzie (1 − H)/H < α < 1. Załóżmy, że równanie (∗) ma
f1/H . Niech
własność jednoznaczności trajektorii w klasie W
Xtn = X0 +
Wówczas jeżeli
Z
t
0
n
σ(Xs−
)dBsH,n ,
H,n P
Bt −
→
t ∈ R+ , n ∈ N ,
BtH dla t ∈ R+ , to
P
sup |Xtn − Xt | −−−−→ 0 ,
T ∈ R+ ,
t6T
gdzie X jest jednoznacznym mocnym rozwiazaniem
˛
równaf1/H .
nia (∗) w klasie W