PROCESY STOCHASTYCZNE

PROCESY STOCHASTYCZNE - Lista 6
Wydział Matematyki, kier. matematyka, studia magisterskie, I rok.
Zad.1 Rozważając proces Mt = Nt − t, gdzie N = (Nt )t≥0 jest procesem Poissona pokaż, że
założenie ciągłości w twierdzeniu Lévy’ego jest istotne, tzn. Mt , Mt2 − t są martyngałami,
ale M nie jest procesem Wienera.
Zad.2 Niech X1 i X2 będą niezależnymi kwadratowymi procesami Bessela wymiaru δ1 > 0 i δ2 > 0
startującymi z punktów x1 i x2 odpowiednio. Uzasadnij, że X1 + X2 jest kwadratowym
procesem Bessela wymiaru δ1 + δ2 startującym z x1 + x2 .
Zad.3 Niech b : R → R będzie ograniczoną funkcją klasy C 1 (R) i niech B(x) będzie funkcją
pierwotną b. Uzasadnij, że proces
Z t
Wt −
b(Ws )ds
0
jest procesem Wienera na zmodyfikowanej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, Q), gdzie
dQ|Ft = Zt dP|Ft dla
Z
exp 21 B(Wt )
1 t 2
0
(b
(W
)
+
b
(W
))ds
exp
−
Zt =
s
s
2 0
exp 12 B(W0 )
Zad.4 Niech b : R → R będzie ograniczoną funkcją klasy C 1 (R). Uzasadnij, że jeżeli X jest
rowiązaniem stochastycznego równania rózniczkowego
dXt = dWt + b(Xt )dt,
X0 = 0
to zachodzi
Z
exp 21 B(Wt )
1 t 2
0
dPb F =
exp
−
(b
(W
)
+
b
(W
))ds
dP ,
s
s
1
t
2 0
exp 2 B(W0 )
Ft
gdzie Pb oznacza rozkład Xt , zaś P jest miarą Wienera (P = P0 ).
Zad.5 Niech T < ∞ i W = (Wt ) będzie procesem Wienera na (Ω, F, P) oraz
Z t
Z
Z t
1 t 2
Zt = exp
b(s, Ws )dWs −
b (s, Ws )ds , W̃t = Wt −
b(s, Ws )ds
2 0
0
0
dla ciągłej funkcji b : [0, ∞) × R → R. Uzasadnij, że jeżeli EZT = 1, to istnieje miara
probabilistyczna QT taka, że (W̃t )0≤t≤T jest procesem Wienera na (Ω, F, QT ) oraz
dWt = dW̃t + b(t, Wt )dt.
Zad.6 Niech W = (Wt ) będzie procesem Wienera na (Ω, F, P). Znajdź miarę na (Ω, F1W ), dla
której proces
(Wt + t4 )0≤t≤1
jest procesem Wienera.
Zad. 8. Niech W = (Wt ) będzie procesem Wienera. Znajdź procesy F = (Fs )s≤T , dla których
Z T
X = EX +
Fs dWs
0
w przypadku, gdy X = WT , X =
RT
0
Ws ds, X = WT2 , X = WT3 .
Zad. 9. Ustalmy T < ∞. Niech W = (Wt ) będzie procesem Wienera na przestrzeni (Ω, F, (Ft ), P),
gdzie (Ft ) jest filtracją generowaną przez W . Niech X będzie całkowalną z kwadratem
zmienną losową FT mierzalną. Uzasadnij, że
Mt = E[X|Ft ],
t ≤ T,
jest całkowalnym z kwadraten Ft -martyngałem i wyznacz proces F = (Fs )s≤T taki, że
Z t
Mt = M0 +
Fs dWs , t ≤ T .
0
w przypadkach, gdy X = WT2 i X = WT3