Osrodkowosc procesów, proces Wienera Osrodkowosc procesów

Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Procesy Stochastyczne, wykład , T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka
MAP1136
27 luty, 2012
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Ośrodkowość procesów
Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową.
Definicja. Ośrodkowość procesu
Proces (X (t))t∈T nazywamy ośrodkowym, jeśli istnieje zbiór
przeliczalny S ⊆ T oraz zbiór N, P(N) = 0, taki, że dla ω ∈
/N i
dla dowolnego t ∈ T zachodzi
\
X (I ∩ S, ω)
Xt (ω) ∈
I ;I 3t
gdzie I przebiega zbiór J odcinków relatywnie otwartych w T .
S nazywamy zbiorem ośrodkowości procesu (X (t))t∈T .
Równoważnie:
Proces (X (t))t∈T jest ośrodkowy ⇐⇒ dla dowolnego ω ∈
/N i
dowolnego u ∈
/ S istnieje ciąg S 3 sj −→ u taki, że
X (u, ω) = limj X (sj , ω).
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Ośrodkowość procesów
Wniosek. Proces o trajektoriach ciągłych (prawostronnie,
lewostronnie ciągłych) jest ośrodkowy.
Tw. 1.
Niech (X (t))t∈T będzie procesem ośrodkowym oraz S zbiorem
ośrodkowości procesu. Istnieje zbiór N, P(N) = 0 taki, że dla
dowolnego domkniętego zbioru K ⊆ R oraz dowolnego relatywnie
otwartego przedziału I ⊆ T zachodzi
{X (t) ∈ K , t ∈ I ∩ S} \ {X (t) ∈ K , t ∈ I } ⊆ N.
Stąd wynika, że zbiory {X (t) ∈ K , t ∈ I } są zdarzeniami (∈ Σ)
oraz
P(X (t) ∈ K , t ∈ I ) = P(X (t) ∈ K , t ∈ I ∩ S)
=
inf P(X (t) ∈ K , t ∈ I ∩ U).
U⊂I
gdzie U przebiega wszystkie przeliczalne podzbiory I ⊂ T .
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Ośrodkowość procesów
Wniosek. Dla ω ∈
/ N zachodzi
sup X (t, ω) = sup X (t, ω), inf X (t, ω) = inf X (t, ω);
I
I ∩S
I ∩S
I
lim sup X (t, ω) = lim sup X (t, ω), lim inf X (t, ω) = lim inf X (t, ω).
t→u
S3t→u
t→u
S3t→u
Stąd, powyższe wzory określają zmienne losowe.
Analogiczne wzory zachodzą dla granic jednostronnych.
Dowód Tw. 1. Z definicji ośrodkowości zachodzi
/ N.
X (u, ω) ∈ X (I ∩ S, ω), dla dowolnego u ∈ I ∈ J oraz ω ∈
Zatem
X (I , ω) = X (I ∩ S, ω), I ∈ J, ω ∈
/ N.
Pierwszy z wzorów wynika teraz z następującej równoważności:
{X (t) ∈ K , t ∈ T0 } ⇐⇒ X (T0 , ω) ⊆ K , K −domkn. ⊆ R, T0 ⊆ T .
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Ciągłość stochastyczna, środkowość procesów
Definicja. Ciągłość stochastyczna procesu
Proces (X (t))t∈T nazywamy ciągłym stochastycznie, gdy
odwzorowanie t −→ X (t) jest ciągłe w sensie zbieżności wg.
prawdopodobieństwa.
Tw. 2.
Jeśli (X (t))t∈T jest ciągły stochastycznie i ośrodkowy to dowolny
zbiór przeliczalny gęsty w T jest zbiorem ośrodkowości procesu.
Lemat.
Niech (X (t))t∈T będzie ciągły stochastycznie oraz niech S będzie
zbiorem przeliczalnym, gęstym w T . Istnieje rodzina {N u ; u ∈ T }
zbiorów zerowych, taka, że dla dowolnego u ∈ T oraz ω ∈
/ Nu
\
X (u, ω) ∈
X (I ∩ S, ω)
I 3u
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Ciągłość stochastyczna, ośrodkowość procesów
Dowód Lematu. Dla dowolnego u ∈ T i dowolnego {sj }, sj ∈ S,
sj −→ u zachodzi Xsj −→ Xu wg. prawdopodobieństwa. Istnieje
wiec podciąg {sk 0 } taki, że dla ω ∈
/ N u zachodzi Xsk 0 −→ Xu więc
X (u, ω) ∈
\
X (I ∩ S, ω).
I 3u
Dowód Tw. 2. Niech S0 - zbiór ośrodkowości procesu oraz N zbiór zerowy z definicji ośrodkowości. Jeśli S jest zbiorem
przeliczalnym gęstym w T , to na podstawie lematu
[
X (I ∩ S0 , ω) ⊆ X (I ∩ S, ω), dla ω ∈
/
Nu.
S0
Stąd X (u,Sω) ∈ X (I ∩ S, ω), dla dowolnego u ∈ I ∈ J i dowolnego
ω∈
/ N ∪ S0 N u .
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Stochastyczna równoważność i ośrodkowość
procesów
Definicja. Stochastyczna równoważność procesów
Procesy X i Y nazywamy stochastycznie równoważnymi jeśli dla
każdego t ∈ T zachodzi
P(X (t) = Y (t)) = 1.
Procesy stochastycznie równoważne mają te same rozkłady
skończenie wymiarowe więc ten sam rozkład procesu.
Tw. Stochastyczna równoważność z procesem ośrodkowym
Dla dowolnego procesu X istnieje stochastycznie równoważny
proces ośrodkowy Y o wartościach w R.
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Proces Wienera
R. Brown (1827) - chaotyczny ruch pyłku unoszącego się w cieczy;
A. Einstein (1827) - równanie dyfuzji;
N. Wiener (1918) - istnienie i podstawowe własności procesu
Wienera (ruchu Browna).
Postulaty procesy Wienera W (t)
(i) W (0) = 0,
(ii) W jest jednorodnym procesem o przyrostach niezależnych,
(iii) W (t + s) − W (s) ma rozkład normalny o średniej 0 i
wariancji t,
(iv) trajektorie procesu W są z prawdopodobieństwem 1
ciągłe.
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Proces Wienera, lematy pomocnicze
Lemat 1.
Niech Ja =
R∞
a
e −v
2 /2
dv . Dla a > 0 zachodzi:
a
1
2
2
e −a /2 ≤ Ja ≤ e −a /2 .
2
1+a
a
Stąd
Ja ∼
1 −a2 /2
e
.
a
Dowód.
Z
Ja =
a
∞
1
2
v e −v /2 dv =
v
Z
∞
(−1)
2
d(e −v /2 ) =
v
a
Z ∞ −v 2 /2
1 −a2 /2
e
dv
−
= e
.
2
a
v
a
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Proces Wienera, lematy pomocnicze
Ponieważ
R∞
a
e −v
2 /2
dv
v2
≤ Ja /a2 więc
Z ∞ −v 2 /2
e
dv
1
1 + a2
1 −a2 /2
e
= Ja +
≤
J
+
=
Ja ,
a
a
v2
a2
a2
a
Stąd otrzymujemy lewą część nierówności. Prawa wynika
bezpośrednio z pierwszego wzoru.
Lemat 2.
Niech ξ1 , . . . , ξn będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Połóżmy
U0 = Vn = 0, Uk = ξ1 + . . . + ξk , Vk = ξk+1 + . . . + ξn , k = 0, . . .
. . . , n − 1. Jeśli P(Vk ≥ b) ≥ p > 0 dla każdego k, b ≤ 0 ≤ a, to
p P(max Uk > a) ≤ P(Un > a + b).
k
Jeśli P(|Vk | ≤ b) ≥ q > 0 dla wszystkich k, b ≥ 0, to
P(max |Uk | > a + b) ≤ P(|Un | > a).
k
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Proces Wienera, lematy pomocnicze
Dowód Lematu 2. Oznaczmy A0 = {U0 > a}, Bk = {Vk ≤ b}
oraz
Ak = {U0 ≤ a, . . . , Uk−1 ≤ a, Uk > a}.
Dowód pierwszej nierówności:
X
X
P(Un > a + b) ≥
P(Ak ∩ Bk ) =
P(Ak ) P(Bk ) =
k
k
p
X
k
P(Ak ) = p P(max Uk > a).
k
Dla dowodu drugiej, niech A00 = {|U0 | > a + b}, Bk0 = {|Vk | ≤ b},
A0k = {|U0 | ≤ a + b, . . . , |Uk−1 | ≤ a + b, |Uk | > a + b}.
|U
A0k ∩ Bk0 ⊂ {|Un | > a}. Stąd P(|Un | > a) ≥
k | − |Vk | więc
Pn | ≥ |U
P
0
0
0
0
k P(Ak ∩ Bk ) =
k P(Ak ) P(Bk ) = q P(maxk |Uk | > a + b).
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Oszacowanie maksimum w procesie Wienera
Tw. 3. P(sup 0≤s≤t |Ws | > a) ≤ 2 P(|Wt | > a)
Niech W = (W (t))≥0 będzie procesem ośrodkowym spełniającym
postulaty (i)-(iii). Oznaczmy Mt = sup 0≤s≤t Ws ,
mt = inf 0≤s≤t Ws . Dla a ≥ 0 zachodzi
P(Mt > a) ≤ 2 P(Wt > a),
P(mt < −a) ≤ 2 P(Wt < −a),
P( sup |Ws | > a) ≤ 2 P(|Wt | > a).
0≤s≤t
Dowód. Udowodnimy pierwszą nierówność. Z ośrodkowości i
ciągłości stochastycznej wynika, że wystarczy pokazać nierówność
dla sups∈[0t]∩S Ws dla dowolnego zbioru S = {s1 , s2 , . . .},
przeliczalnego i gęstego w [0, t]. Niech s1 = 0, s2 = t oraz niech
0 = t0 < t1 < . . . < tn = t będzie układem n pierwszych wyrazów
tego zbioru, uporządkowanym rosnąco. Kładąc ξk = Wtk − Wtk−1
otrzymujemy Uk = ξ1 + . . . + ξk = Wtk , Vk = ξk+1 + . . . + ξn =
Wt − Wtk oraz P(Vk ≥ 0) ≥ 1/2.
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Oszacowanie maksimum w procesie Wienera
Stosując Lemat 2 dla b = 0 oraz p = 1/2 otrzymujemy
P( sup Wtk > a) ≤ 2 P(Wt > a).
0≤k≤n
Gdy n −→ ∞ otrzymujemy dowodzoną nierówność. Ponieważ
{ sup |Ws | > a} ⊆ { sup Ws > a} ∪ { inf Ws < −a}
0≤s≤t
0≤s≤t
0≤s≤t
więc pierwsze dwie nierówności pociągają za sobą trzecią. Druga
nierówność wynika z pierwszej i z symetrii Wt :
sup Ws = − inf (−Ws );
0≤s≤t
0≤s≤t
(−Ws )s≥0 ma taki sam rozkład jak (Ws )s≥0 .
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Ciągłość trajektorii procesu Wienera
Tw. 4. Ciągłość trajektorii procesu Wienera
Niech (Wt )t≥0 będzie ośrodkowym procesem spełniającym
postulaty (i)-(iii) procesu Wienera. Trajektorie procesu (Wt )t≥0 są
ciągłe z prawdopodobieństwem 1. Dokładniej, dla każdego
0 < p < 1/2 istnieje Np = Np (ω) takie, że gdy n ≥ Np to z prawd.
1 zachodzi
|Ws − Wt | < 4/np dla |s − t| < 1/n, s, t ∈ [0, n].
Dowód. Wystarczy udowodnić ostatnią nierówność. Niech
Yn = sup|s−t|<1/n |Ws − Wt |, s, t ∈ [0, n] oraz niech
Zk = supt∈Jk |Wt − W(k−1)/n |, Jk = [(k − 1)/n, k/n],
k = 1, . . . , n2 . Z nierówności trójkąta mamy Yn ≤ 3 maxk Zk .
Rzeczywiście, gdy |s − t| < 1/n, s ∈ Jk to |Ws − Wt | ≤
2 Zk + Zk+1 ≤ 3 maxk Zk . Zk mają jednakowe rozkłady, więc
Ośrodkowość procesów, proces Wienera
Ciągłość trajektorii procesu Wienera
[
pn = P(max Zk > ε) = P( {Zk > ε})
X
P(Zk > ε) = n2 P(Zk > ε).
k
Na mocy Tw. 3
r Z
2 ∞ −v 2 /2
P(Zk > ε) ≤ 2 P(|W1/n | > ε) = 2
e
dv ,
π ε√n
więc z Lematu 1 otrzymujemy
q
2
pn ≤ 2 n2 P(|W1/n | > ε) ∼ 2 π2 n3/2 e −nε /2 /ε .
P
Kładąc ε = εn = 1/np dla p < 1/2 otrzymujemy
pn < ∞. Z
lematu Borella - Cantelliego z prawdopodobieństwem 1 zachodzi
n > Np =⇒ maxk Zk ≤ 1/np czyli Yn ≤ 3/np .
Ośrodkowość procesów, proces Wienera