Analiza matematyczna (Efektywność Energetyczna) Lista nr 5
Transkrypt
Analiza matematyczna (Efektywność Energetyczna) Lista nr 5
Analiza matematyczna (Efektywność Energetyczna) Lista nr 5. Pochodne - obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej. 1. Na podstawie definicji znaleźć pochodne funkcji: a. f (x) = x3 w punkcie x0 ; b. f (x) = x5 w punkcie x0 6= 0; Obliczyć wyznaczone pochodne w punktach x0 = 1 i x0 = 4. 2. Obliczyć pochodne podanych funkcji f korzystając z reguł różniczkowania: b. f (x) = 73 x3 − 52 x2 + 6x + 7, a. f (x) = 2x5 − 3x3 + 4x − 6, c. f (x) = ax2 + bx + c, a, b, c - stałe, e. f (x) = √ 7 x5 −x , x3 f. f (x) = x2 +4x+4 i. f (x) = ex (sin x − cos x + 2), k. f (x) = 3x arc sin x, tg √x, x m. f (x) = arc cos x , 1−x2 , h. f (x) = ex (x2 − 2x + 2), g. f (x) = x ln x − x, m. f (x) = 3 x2 d. f (x) = xn + nx3 + 3n, n ∈ N - stała j. f (x) = x3 ctg x, l. f (x) = (1 + x2 ) arc tg x, l. f (x) = arc tg x , 1+x2 l. f (x) = 2−x2 . 2x3 +x+3 3. Obliczyć pochodne podanych funkcji f korzystając z reguł różniczkowania: √ √ √ a. f (x) = x2 + x + 1, b. f (x) = sin x, c. f (x) = x + 1, q p 2 d. f (x) = 2x2−x e. f (x) = ex (sin x − cos x + 2). 3 +x+3 , 4. Obliczyć pochodne podanych funkcji f korzystając z reguł różniczkowania: a. f (x) = ln (x2 + x + 1), 2−x2 d. f (x) = ln 2x3 +x+3 , b. f (x) = ln (sin x), c. f (x) = ln (x + 1), e. f (x) = ln [ex (sin x − cos x + 2)]. 5. Obliczyć pochodne podanych funkcji f korzystając z reguł różniczkowania: a. f (x) = earc sin x , b. f (x) = (x2 + 1)10 , c. f (x) = sin(3x), c. f (x) = e−x , d. f (x) = sin (x2 + 5x + 1), e. f (x) = cos4 x, √ f. f (x) = tg x2 + 1, g. f (x) = arc sin x1 , h. f (x) = arc tg x, i. f (x) = (arc sin x)2 , j. f (x) = cos(ln x), l. f (x) = 41 tg4 x − 12 tg2 x − ln(cos x), k. f (x) = √ x , 1+x2 ł. f (x) = e3x sin(3x), 1 √ m. f (x) = arc sin 1 − x. 6. Niech y = f (x) będzie funkcją o wartościach dodatnich w przedziale (a, b) (ograniczonym lub nie). Wyrażenie y0 0 (∗) (ln y) = , y d ) nazywamy pochodną logarytmiczną funkcji f . Wykorzystując (gdzie ’ oznacza różniczkowanie dx wzór (*) zróżniczkować podane funkcje: √ a. y = (1 + sin x) x 2 x , b. y = (1 + x2 )ln (1+x ) , c. y = (sin x)cos x , d. y = x(e ) . 7. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej x0 , jeżeli a. f (x) = sin x, x0 = π4 , b. f (x) = x2 + 1, x0 = 1, c. f (x) = ln(1 + x), x0 = 0. 8. Obliczyć pochodne f 0 , f 00 , f 000 dla podanych funkcji: a. f (x) = x ln x, b. f (x) = (x2 + x + 1) cos x. 9. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń: a. sin 29o , b. ln 0.9993, c. arc cos 0.499, d. 1 , 3.98 2 e. e−0.07 .