α α α α

Trygonometria – zadania ćwiczeniowe
1.
Stosunek długości odcinków
równy:
a) sin
b)
cos c)
y
na rysunku obok jest
z
tg
d) ctg
1
2. Wiadomo, że s i n  . Wówczas cos(90 – ) wynosi:
3
a)
2
3
b)
2 2
3
2
3
c)
d)
3.
O kącie ostrym  wiadomo, że tg = ctg. Zatem  ma miarę:
a) mniejszą niż 20
b)
30
c)
45
d)
60
4.
Wykorzystując dane na rysunku obok możemy stwierdzid, że:
3
1
a) s in 
b) cos 
c) tg = 3
d) ctg = 3
3
10
1
3
5. Wiadomo, że  jest kątem ostrym i ctg = 4. Wówczas wartośd wyrażenia (tg + ctg)2
jest równa:
1
1
1
a) 1
b)
18
c)
4
d)
16
16
16
4
6.
Wartośd wyrażenia cos240 + cos250 + cos260 jest równa:
a) 1,25
b)
1
c)
1,75
d)
7. Wartośd wyrażenia tg30 tg40 tg50 jest równa:
3
3
a) 1
b)
c)
3
d)
0,75
1
2
8. Oblicz obwód czworokąta ABCD, wykorzystując dane na rysunku poniżej:
9.
Sprawdź, czy dla  (0, 90) podana równośd jest tożsamością trygonometryczną:
tg   sin   ctg   sin 
2
2
2
2
10.
Oblicz obwód trójkąta ABC z dokładnością do 0,1 cm. Skorzystaj z odpowiednich
danych umieszczonych na rysunku poniżej i w tabeli.

32
70
sin
0,530
0,940
tg
0,625
2,747
ctg
1,600
0,364
cos
0,848
0,342
11.
Wiedząc, że cos = 0,6 i  (0, 90), oblicz pozostałe wartości funkcji
trygonometrycznych kąta .
12.
Dane jest wyrażenie: sin + sin tg2, gdzie  (0, 90).
a) Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego  dane wyrażenie równa się
b) Oblicz wartośd tego wyrażenia dla  = 60.
13.
tg
.
cos
Oblicz przybliżoną miarę zaznaczonego na rysunku kąta  .
14. Wysokośd opuszczona z wierzchołka A trójkąta ABC ma długośd 12 cm i dzieli kąt BAC na
kąty o miarach 45o i 60o. Oblicz pole i obwód trójkąta ABC.
15. Prostokąt ma boki długości 13 cm i 7 cm. Jaka jest miara kąta ostrego utworzonego przez
jego przekątne?
16. Przekątne rombu mają długości 6 cm i 10 cm. Znajdź miary kątów tego rombu.
17. Oblicz obwód trójkąta prostokątnego, w którym jeden z jego kątów ostrych ma miarę
30o, a przyprostokątna leżąca przy tym kącie ma długośd 2.
18. Oblicz obwód trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna ma długośd 10, a
jeden z jego kątów ostrych ma miarę 60o.
19. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na cięciwie, której długośd jest równa połowie
długości promienia.
20. Oblicz długośd cięciwy okręgu o promieniu 1, na której oparty jest kąt środkowy o
mierze 110o.
21. W trójkącie równoramiennym długośd podstawy wynosi 2 dm, a kąt przy podstawie ma
miarę 30o. Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do
długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
22. Krótsza podstawa trapezu ma długośd 8 cm i równa jest wysokości tego trapezu. Kąty
przy krótszej podstawie mają miary 135o i 120o. Oblicz obwód tego trapezu.
23. Wysokośd opuszczona z wierzchołka A trójkąta ABC ma długośd 12 cm i dzieli kąt BAC na
kąty o miarach 45o i 60o. Oblicz pole trójkąta ABC.
24. Wyraź w radianach: 20o, 105o, 315o
1
8
25. Wyraź w stopniach:  rad ,  rad ,5 rad .
12
9
26. Rozwiąż równania:
1

1
a)tg (2 x   )   3 , b) cos 2 x   0 .
c) ctg ( x  )  3 , d) 2 sin 2 x  sin x  0 e)
2

1
cos(3x  )  
6
2
f)
2
2
x
3
3 cos(   ) 
3
2
2
27. Rozwiąż nierównośd:
a) sin x  2
2
b) cos x  
c) tg (2 x   )   3
3
2
5
3
2
2
28. Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości (podaj konieczne założenia):
d) 1  3ctgx   3  1 e) cos x 
b) 2 sin 2 x  1  ctg 2 x  1
2
a) cos 4   sin 4   cos 2   sin 2 
c)
1  ctg x
sin 
1  cos 
2


1  cos 
sin 
sin 
29. Oblicz bez użycia tablic:
a)
sin 120  tg 300 
ctg1200   cos(180  )

cos 315
b) sin 600


tg 405  sin(210 )
c) 4 cos1260  sin 630  2ctg 810
 11 
 5 
 5 
 8 
d) sin 
 cos   + tg   ctg   .
 4 
 4 
 3 
 3 
30. Sporządź wykres funkcji: y  3 cos(2 x) . Podaj dziedzinę i zbiór wartości oraz okres
zasadniczy tej funkcji.
31. Sporządź wykres funkcji: y  1 cos( x   ) . Podaj dziedzinę i zbiór wartości oraz okres
2
3
zasadniczy tej funkcji.
32. Wiedząc, że ctg   2 i 180    270 , oblicz sin  , cos  , tg  .
33. Oblicz cos  , tg , ctg  wiedząc, że sin   2 i 90    180 .
7
34.Przedstaw w najprostszej postaci wyrażenie, a następnie oblicz jego wartośd dla   30  :
sin(180    )  cos(90    )
tg (270    )  ctg (90    )
35. Narysuj wykres funkcji f(x) = sin |x|, gdzie x  
a) rozwiąż nierównośd f(x) <
3 3
, a następnie:
,
2 2
3;
2
b) podaj przedziały, w których funkcja f jest rosnąca.
36. Narysuj wykres funkcji f(x) = cos x, gdzie x    , 2 , a następnie:
2
a) podaj miejsca zerowe funkcji f;
b) rozwiąż nierównośd f(x) >
3
.
2