1 Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank

Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca
Costly State Verification as a part of Bank-Borrower relation
Andrzej Paliński
Streszczenie
Celem niniejszego artykułu jest przedstawienie waŜniejszych modeli finansowych, które
próbują wyjaśnić, dlaczego standardowa umowa kredytowa jest tak powszechnie spotykanym
kontraktem dłuŜnym. Prezentowane modele wykazują drogą formalnego dowodu, Ŝe kredyt
jest optymalną umową dłuŜną w warunkach kosztownej weryfikacji przez kredytodawcę
rzeczywistych wyników przedsięwzięcia inwestycyjnego.
Szczegółowej analizie poddano cztery modele opisujące relację kredytodawcakredytobiorca: model pełnej symetrii informacyjnej, model kosztownej weryfikacji w
warunkach asymetrii informacji, model kosztownego wymuszenia płatności oraz model
heterogenicznych ocen zwrotu z przedsięwzięcia.
Okazuje się, Ŝe standardowa umowa kredytowa jest efektywna zarówno ex ante, jak i
ex post w warunkach asymetrii informacji, kosztownej weryfikacji wyników przedsięwzięcia
oraz kosztownego wymuszenia sądowego, jednakŜe muszą być spełnione określone warunki,
aby była to optymalna umowa dłuŜna.
Słowa kluczowe: kontrakt kredytowy, kosztowna weryfikacja
Abstract
The aim of this paper is the introduction of more important financial models which try to
explain why the standard debt contract is so common indebted agreement. The presented
models show in way of formal proof that credit is an optimum indebted contract in conditions
of creditor’s costly verification of real results of an investment.
The detailed analysis was introduced to four models of lender-borrower relation: the
model of full informative symmetry, model of costly state verification with asymmetric
information, the model of expensive enforcement of the payment as well as model of
heterogeneous beliefs about project return.
1
It turns out, that the standard debt contract is effective the both ex ante, and ex post in
conditions of asymmetric information, the costly verification of project results, as well as the
expensive judicial enforcement, but the definite conditions have to be fulfilled in this
agreement to be the optimal debt contract.
Keywords: debt contract; costly state verification
JEL: D82; G33
1. Wstęp
W mikroekonomicznej teorii bankowości relacja kredytodawca-kredytobiorca (lenderborrower relationship) stanowi jeden z kilku głównych obszarów badawczych oprócz m.in.:
pośrednictwa finansowego, równowagi i racjonowania na rynku kredytowym, zarządzania
ryzykiem bankowym, czy regulacji i nadzoru bankowego (Freixas, Rochet 1997).
Teoria relacji kredytodawca-kredytobiorca obejmuje z kolei takie zagadnienia jak:
1. modele kosztownej weryfikacji,
2. umowy jedno- lub wielookresowe,
3. umowy niepełne,
4. modele selekcji heterogenicznych dłuŜników.
Modele kosztownej weryfikacji (Costly State Verification – CSV) zapoczątkowane
przez Towsenda (1979) są zastosowaniem teorii kontraktu dla umów kredytowych w
warunkach niedoskonałego rynku i asymetrii informacji. Teoria kontraktu obejmuje
zagadnienia kosztów transakcji (ich konsekwencją są modele CSV) oraz teorii umów
niepełnych (incomplete contracts). Z kolei zagadnienia kontraktowania wynikają z
ogólniejszej teorii przedstawicielstwa (lub inaczej teorii agencji – agency theory).
Relacja przedstawicielstwa (agency relationship) powstaje wówczas, gdy jeden
podmiot – mocodawca (principal) zleca do wykonania pewne działanie drugiemu podmiotowi
– przedstawicielowi (agent), przekazując mu równocześnie uprawnienia decyzyjne niezbędne
do wykonania tego działania. Powstaje więc rozdział pomiędzy podejmowaniem decyzji a ich
kontrolowaniem. Strony kierują się przy tym własnym interesem, co powoduje, Ŝe ich cele nie
są w pełni zbieŜne.
Problem przedstawicielstwa, czyli występowanie konfliktów wynikających z relacji
pryncypał-agent, związany jest z występowaniem asymetrii informacji pomiędzy
2
przedstawicielem a mocodawcą. Drugą przyczyną powstawania problemu przedstawicielstwa,
związaną pośrednio z asymetrią informacji, jest konieczność ponoszenia kosztów związanych
z przygotowaniem, monitorowaniem i realizacją kontraktów pomiędzy stronami relacji
przedstawicielstwa.
Asymetria informacji moŜe dotyczyć (por. Mesjasz 1999, Stradomski 2004, Varian
2002):
•
Ukrytego działania przedstawiciela (hidden action) – przedstawiciel podejmuje działania
(wysiłek), które ze względu na koszty uzyskania informacji nie mogą być obserwowane
przez mocodawcę (np. poziom starań przy realizacji przedsięwzięcia inwestycyjnego). W
związku z tym mocodawca nie potrafi określić związku pomiędzy wysiłkiem
przedstawiciela a wynikiem. W tym przypadku w problemie przedstawicielstwa
występuje pokusa naduŜycia (moral hazard) utoŜsamiana wręcz w literaturze z pojęciem
ukrytego działania.
•
Ukrytej informacji (hidden information), czy teŜ ukrytej wiedzy (hidden knowledge)
posiadanej przez przedstawiciela – przedstawiciel posiada wiedzę o zmiennych
środowiskowych niedostępną dla mocodawcy. Zmienne opisujące środowisko mogą mieć
przy tym charakter losowy, niezaleŜny od wpływu przedstawiciela (np. stopa zwrotu z
projektu inwestycyjnego). W problemie przedstawicielstwa w sytuacji ukrytej informacji
pojawia się negatywna selekcja (adverse selection) prowadząca np. do podejmowania zbyt
ryzykownych projektów, których niepowodzenie w przypadku ograniczonej
odpowiedzialności dłuŜnika przerzuca zbyt duŜą część ryzyka na wierzyciela. Powstaje
zatem konieczność określenia właściwych bodźców, aby przedstawiciel nie mógł odnosić
korzyści z nierzetelnego ujawniania lub wykorzystania swych prywatnych informacji.
W zaleŜności od siły przetargowej obydwu stron mocodawca i przedstawiciel starają
się uzgodnić kontrakt spełniający następujące warunki (Mesjasz 2000, Watson 2005):
•
warunek racjonalności podmiotu (individual rationality constraint – IR), albo teŜ warunek
uczestnictwa (participation condition – PC), oznaczający, Ŝe podmiot nie moŜe
podejmować działań zmniejszających własne korzyści, co przejawia się w tym, Ŝe kaŜda
ze stron posiada pewną graniczną wartość uŜyteczności – poziom rezerwacji (reservation
utility), lub inaczej indywidualny poziom uŜyteczności (individual rationality level), albo
po prostu poziom odniesienia będący uŜytecznością podjęcia zupełnie innego działania,
•
warunek zachowania zgodności bodźców (incentive compatibility constraint – IC), albo
inaczej warunek motywacyjny (incentive condition), według którego przedstawiciel
3
powinien być motywowany w taki sposób, aby działał zgodnie z interesem mocodawcy
nawet wtedy, gdy ten nie moŜe obserwować działania agenta.
2. Optymalny kontrakt w warunkach symetrycznej informacji
Standardowa umowa kredytowa jest kontraktem (standard debt contract – SDC), w którym
dłuŜnik zobowiązuje się spłacić określoną w umowie stałą kwotę R1, a niemoŜność jej spłaty
pozwala bankowi przejąć całe przepływy pienięŜne wygenerowane przez przedsięwzięcie.
RozwaŜmy gospodarkę o dwóch okresach t = 0, 1, w której wytwarzane jest jedno
dobro (Freixas, Rochet 1997). W okresie t = 0 kredytobiorca moŜe uzyskać kredyt, który w
całości zainwestuje w technologię wytwarzającą w okresie t = 1 wielkość dobra będącą
zmienną losową Y = f(L). Zakładamy, Ŝe kredytobiorca w okresie t = 0 nie posiada własnych
środków finansowych i całość środków L musi poŜyczyć od kredytodawcy. Preferencje
kredytobiorcy uB i kredytodawcy uL scharakteryzowane funkcjami uŜyteczności von
Neumana-Morgensterna są klasy C2, wklęsłe i ściśle rosnące. Wymuszenie realizacji
kontraktu (enforcement) jest w pełni skuteczne i pozbawione kosztu.
W sytuacji pełnej symetrii informacyjnej kredytodawca i kredytobiorca obserwują
realizację przedsięwzięcia ex post. MoŜliwe jest zatem podpisanie umowy określającej ex
ante podział pomiędzy strony kontraktu wielkości dobra y będącego realizacją zmiennej
losowej Y w okresie t = 1.
Charakterystykę optymalnej umowy kredytowej R(·) moŜna znaleźć jako rozwiązanie
następującego zadania optymalizacji
max E[u B (Y − R(Y )]
(1)
R (⋅)
przy warunkach
E[u L ( R(Y ))] ≥ u L0 ,
(IR)
(1.1)
0 ≤ R( y) ≤ y .
(LL)
(1.2)
Rozwiązanie powyŜszego programu jest określone przez graniczną wartości
uŜyteczności kredytodawcy u L0 z względu na monotoniczność warunku indywidualnej
racjonalności (IR). Przy tak skonstruowanym zadaniu cała siła przetargowa zostaje
4
umieszczona po stronie kredytobiorcy, dla którego funkcja uŜyteczności jest malejąca
względem R(·). Oczekiwana uŜyteczność kredytodawcy, która jest rosnąca względem R(·),
jest zatem sprowadzana do wartości granicznej u L0 , co odpowiada w pełni konkurencyjnemu
rynkowi finansowemu.
JeŜeli pominiemy warunek ograniczonej odpowiedzialności kredytobiorcy (LL –
limited liability) funkcja Lagrange’a przyjmuje następującą postać dla kaŜdego y będącego
realizacją zmiennej losowej Y.
L( R ( y ), y, λ ) = u B ( y − R ( y ) + λ [u L ( R ( y ) − u L0 ] .
(2)
Warunek konieczny istnienia ekstremum wymaga między innymi spełnienia
następującego kryterium
∂L( R ( y ), y, λ )
= −u B' ( y − R ( y )) R ' ( y ) + λ u L' ( R ( y )) R ' ( y ) = 0 ,
∂y
(3)
co po przekształceniach prowadzi do
u B' ( y − R ( y ))
=λ.
u L' ( R ( y ))
(4)
RóŜniczkując powyŜsze równanie względem y otrzymujemy ostatecznie
u B'' ( y − R ( y ))
u L'' ( R ( y )) '
[1 − R ( y )] − '
R ( y) = 0 .
u B' ( y − R ( y ))
u L ( R ( y ))
(5)
Po wprowadzeniu absolutnych indeksów awersji względem ryzyka dla kredytodawcy i
kredytobiorcy postaci
I L (⋅) = −
u L'' (⋅)
u B'' (⋅)
oraz
I
(
⋅
)
=
−
B
u L' (⋅)
u B' (⋅)
(6)
5
uzyskujemy następującą zaleŜność
R ' ( y) =
I B ( y − R ( y ))
.
I B ( y − R ( y )) − I L ( R ( y ))
(7)
Bank, posiadający zdywersyfikowany portfel kredytów, charakteryzuje się
neutralnością względem ryzyka – liniowa zaleŜność uŜyteczności od dochodu, stąd uL’’(·) = 0,
co prowadzi do IL(·) = 0. Przedsiębiorca zwykle charakteryzuje się awersją względem ryzyka,
zatem uB’’(·) ≠ 0 i IB(·) ≠ 0, a stąd R’(y) = 1.
Wniosek 1. W sytuacji pełnej symetrii informacyjne pomiędzy agentami optymalną
umową finansową nie jest standardowa umowa kredytowa, ale kontrakt uwzględniający
płatności dla wszystkich stanów natury (state contingent contract – SCC), o funkcji liniowej
względem y i kącie nachylenia p/2, co obrazuje rys. 1.
R(y)
SCC
SDC
R1
y1
y
Rys. 1. Standardowa umowa kredytowa (SDC) i kontrakt finansowy zaleŜny od stanu natury
(SCC) w warunkach pełnej symetrii informacyjnej
Źródło: opracowanie własne
6
3. Optymalny kontrakt kredytowy w warunkach asymetrii informacyjnej – model
kosztownej weryfikacji Gale’a-Hellwiga
Model Gale’a i Hellwiga (1985) jest rozwinięciem ogólnego modelu finansowego Towsanda
(1979) w odniesieniu do instytucji kredytowo-depozytowych. Przedsiębiorca i kredytodawca
w okresie t = 0 zamierzają zawrzeć kontrakt dotyczący finansowania przedsięwzięcia, którego
wynik będący zmienną losową nastąpi w okresie t = 1. Nakłady inwestycyjne przewyŜszają
wartość majątku netto przedsiębiorcy, zatem dla realizacji projektu przedsiębiorca musi
pozyskać zewnętrzne źródło finansowania pochodzące od jednego kredytodawcy (inwestora).
Kredytodawca moŜe pozyskiwać środki finansowe na konkurencyjnym rynku o stopie
procentowej wolnej od ryzyka równej r, gdzie r > 0.
Początkowy majątek netto przedsiębiorcy wynosi W0 = A0 – R0, gdzie A0 oznacza
aktywa początkowe, a R0 – początkowe zadłuŜenie. Dla poniesienia nakładów inwestycyjnych
w wysokości i wymagany jest wkład (kapitał) własny przedsiębiorcy Ci oraz kredyt
L = i + R0 – Ci, gdzie 0 ≤Ci ≤ A0, oraz A0 – R0 < i. Przedsiębiorca maksymalizuje wartość
oczekiwaną swojego majątku w okresie t = 1.
Kredytodawca i kredytobiorca charakteryzują się neutralnością względem ryzyka,
dzięki temu problem podziału ryzyka staje się małoistotny, a cała uwaga moŜe być
skoncentrowana na przychodach i kosztach przedsięwzięcia. W momencie podpisywania
kontraktu obydwaj agenci posiadają w pełni symetryczną informację. Zwrot z projektu
inwestycyjnego realizowany jest juŜ w warunkach asymetrii informacyjnej – przedsiębiorca
obserwuje realizację projektu bez Ŝadnych kosztów, podczas gdy kredytodawca musi ponieść
koszt audytu c = c(s,i), dzięki któremu uzyskuje pełną informację o zwrocie z projektu, gdzie
s oznacza stan natury sœS = +. Koszt audytu jest faktycznie funkcją aktywów kredytobiorcy,
gdyŜ i = L + Ci – R0 ≤ A0 + L – R0. Inwestycja w okresie t = 0 o nakładzie i przynosi w okresie
t = 1 przy stanie natury s zwrot y = y(s,i) będący zmienną losową o dystrybuancie H(s,i).
ZałoŜenie 1. y: +ä+Ø+ jest klasy C2 oraz c: +ä+Ø+ jest klasy C2, ponadto
y(0,i) = y(s,0) = 0,
∂y
> 0,
∂i
∂c
≥ 0,
∂i
∂2 y
∂2 y
<
0
,
> 0,
∂i 2
∂s∂i
∂ 2c
∂c
≥ 0,
≥ 0,
2
∂i
∂s
7
co w uproszczeniu oznacza wklęsłość funkcji przychodu oraz wypukłość funkcji kosztu
audytu – obydwie względem wielkości inwestycji.
Przedsiębiorca dąŜąc do maksymalizacji wartość oczekiwanej swojego majątku stara
się zapewnić warunek uczestnictwa (PC) kredytodawcy. Zadanie moŜna zdefiniować jako grę
sygnalizacyjną (signaling game) G ª (i, Ci, R, W, M, B)1 (por. Attar, Campioni 2003), gdzie W
– oznacza wartość majątku przedsiębiorcy w okresie t = 1, M – przestrzeń sygnałów
kredytobiorcy, czyli zgłaszany przez kredytobiorcę przychód wygenerowany przez
przedsięwzięcie, R = R(m) – funkcja spłaty kredytu będąca funkcją zgłoszonego przez
kredytobiorcę stanu natury m. Przy raportowaniu zgodnym z rzeczywistością zachodzi m = s.
Funkcja określająca obszar audytu B = B(m) przyjmuje dwie wartości – B = {0, 1}. B = 1
wyznacza zbiór, w którym kredytodawca podejmuje audyt. Z uwagi na wysokie koszty
audytu, którymi w przypadku fałszywej sprawozdawczości zostanie obciąŜony kredytobiorca,
zbiór ten moŜe być utoŜsamiany z obszarem upadłości (B – ang. Bankruptcy). B = 0 oznacza
brak audytu – zbiór ten stanowi dopełnienie zbioru B i zwykle oznaczany jest Bc.
W warunkach symetrii informacyjnej moŜliwe byłoby uzyskanie pierwszegonajlepszego poziomu inwestycji w drodze maksymalizacji wartości oczekiwanej przychodu z
inwestycji. Pominięcie wartości oczekiwanej uŜyteczności obydwu agentów i zastąpienie ją
wartością oczekiwaną przychodu jest moŜliwe dzięki załoŜeniu o neutralności względem
ryzyka.
W warunkach symetrii informacji, lub braku kosztu monitoringu, zadanie
optymalizacji, którego celem jest maksymalizacja wartości oczekiwanej zwrotu z
przedsięwzięcia ponad alternatywny koszt inwestycji, przedstawiało by się następująco
i * = arg max E[ y ( s, i ) − (1 + r )i ] .
(8)
i ≥0
Zadanie to posiada dokładnie jedno rozwiązanie ze względu na załoŜenie 1 o
wklęsłości funkcji przychodu względem wartości inwestycji i, przy czym wartość, ta zgodnie
1
w oryginale Gale i Hellwig nie stosowali koncepcji gry sygnalizacyjnej, a jedynie oznaczali zgłaszany przez
przedsiębiorcę stan natury jako s dla rzeczywistego stanu ŝ , gdyŜ sposób modelowania finansowego jako gry
sygnalizacyjnej stał się popularny pod koniec lat ’90 ubiegłego wieku, mimo znaczącej publikacji Spence’a z
1973 r. dotyczącej rynku pracy.
8
z przyjętym wcześniejszym warunkiem, musi być większa od wartości początkowej majątku
przedsiębiorcy W0.
W przypadku asymetrii informacji mamy jednakŜe do czynienia z grą z niekompletną
informacją, dla której problem kontraktu sprowadza się do znalezienia bayesowskiej
równowagi Nasha. Kontrakt zdefiniowany jest jako wektor (i, Ci, R, W, B), a celem zadania
jest maksymalizacja wartości majątku przedsiębiorcy przy zapewnieniu nieujemnej wartości
oczekiwanej przychodu kredytodawcy (warunek indywidualnej racjonalności – IR) oraz
warunku zgodności bodźców (IC).
Wartość majątku przedsiębiorcy dla stanu natury s w sytuacji raportowania przez
niego stanu m, ale takiego, dla którego B(m) = 0, czyli nie występuje audyt, wynosi:
W(s,m) = y(s,i) + (1 + r)(A0 – Ci) – R(m).
(9)
Zgłoszenie stanu natury m jest moŜliwe wtedy, gdy W(s,m) ¥ 0.
Propozycja 1. Warunek zgodności bodźców (IC) zachodzi, jeŜeli:
(i)
istnieje stała R1 taka, Ŝe R(m) = R1, jeŜeli tylko B(m) = 0,
(ii)
dla kaŜdego (s,m) takiego, Ŝe B(s) = 0, B(m) = 1 i W(s,m) ¥ 0, zachodzi
R1 – R(m) ¥ c(m,i).
Szkic dowodu. Sposób dowodzenia warunku (i) jest względnie oczywisty – jeŜeli
spłata nie jest stała, a przychód z projektu jest wysoki w obszarze bez audytu, to
kredytobiorca moŜe zawsze zgłosić niŜszy przychód i nadal uniknąć audytu. Warunek (ii)
nakłada wymóg, aby zwrot dla kredytodawcy był wyŜszy niŜ koszt audytu, gdyŜ w
przeciwnym wypadku opłacałoby się przedsiębiorcy zapłacić wyŜsze R1 dla uniknięcia kosztu
audytu. Ñ
Zasada ujawnienia (revelation principle) (Mayerson 1979) stanowi, Ŝe dla kontraktów
bez moŜliwości renegocjacji kaŜda bayesowska równowaga Nasha w grze sygnalizacyjnej jest
słabo dominowana przez równowagę, w której agenci zgłaszają prawdziwy stan natury.
Zatem w rozwaŜanym zadaniu przestrzeń sygnałów jest równa przestrzeni stanów natury
M = S.
9
Celem zadnia optymalizacji jest obecnie znalezienie kontraktu spełniającego warunek
zgodności bodźców (IC) maksymalizującego wartość oczekiwaną uŜyteczności
przedsiębiorcy przy zachowaniu zerowej wartości oczekiwanej zwrotu dla inwestora.
Optymalny kontrakt jest określony przez następujące zadanie
max EW
(10)
przy warunkach
ER ¥ (1+r)(i + R0 – Ci),
(10.1)
R + W  y – cB + (1+r)(A0 – Ci),
(10.2)
i ¥ 0, A0 ¥ Ci ¥ 0, W ¥ 0,
(10.3)
(i, Ci, R, W, B) spełnia warunek zgodności bodźców (IC).
(10.4)
Uzyskując z (10.2) ze znakiem równości wartość majątku przedsiębiorcy W oraz
biorąc (10.1) jako wyraŜenie na ER takŜe ze znakiem równości, a następnie podstawiając do
(10), funkcja celu przyjmuje następującą postać
E[y – (1+r)i – cB] – (1 + r)W0.
(11)
Wartość początkowa majątku kredytobiorcy W0 jest stała, zatem moŜna ją pominąć w
zadaniu optymalizacyjnym. Ostatecznie zadanie moŜna przedstawić następująco w sposób
szczegółowy
max ∫S [ y ( s, i ) − (1 + r )i − c( s, i ) B( s )]dH ( s, i )
(12)
i , Ci , R , B
przy warunkach
∫S R ( s )dH ( s, i ) = (1 + r )(i + R0 − Ci ) ,
(IR)
(12.1)
R(s)  y(s,i) + (1+r)(A0 – Ci) – c(s,i)B(s),
(LL)
(12.2)
i ¥ 0, A0 ¥ Ci ¥ 0,
(12.3)
(i, Ci, R, B) spełnia warunek zgodności bodźców. (IC)
(12.4)
Warunek (LL) zastąpił warunek W ¥ 0, a następnie W zostało wyeliminowane z
warunku (IC – 10.4), gdyŜ nie występuje w propozycji 1.
10
Definicja 1. Kontrakt (i, Ci, R, B) jest standardową umową kredytową (SDC) wtedy i
tylko wtedy gdy:
(i)
dla pewnego R1 zachodzi (1 – B(s))(R(s) – R1) = 0 (stała spłata),
(ii)
B(s) = 1 ñ y(s) < R1 (decyzja o upadłości),
(iii)
B(s)R(s) = B(s))[y(s,i) – c(s,i)] (maksymalna spłata w warunkach niewypłacalności).
Definicja 2. Kontrakt (i, Ci, R, B) jest kontraktem o maksymalnym udziale
kapitałowym (maximum equity participation – MEP) wtedy i tylko wtedy gdy Ci = A0.
Propozycja 2. Dowolny optymalny kontrakt jest słabo dominowany przez kontrakt o
maksymalnym udziale kapitałowym (MEP).
Dowód. Niech (i, Ci, R, B) będzie optymalnym kontraktem z MEP. Zdefiniujmy nowy
kontrakt (i, Ci, R’, B’), który jest kontraktem z MEP, takim, Ŝe
0 gdy y ≥ R1'
B' = 
1 gdy y < R1'
(13)
 R1'
R =
 y − c
(14)
oraz
'
gdy B ' = 0
gdy B ' = 1.
ZałóŜmy, Ŝe R1’ = R1 gdy R jest stałe dla B = 0. Gdy B’ = B, wtedy na mocy warunku
ograniczonej odpowiedzialności (12.2) i konstrukcji R’ zachodzi R  R’, gdyŜ (i, Ci, R, B) jest
z załoŜenia optymalnym kontraktem. JeŜeli B’  B, to zgodnie z propozycją 1 (warunek IC)
R  R1 R’. Zatem B’  B i R  R’ dla kontraktu, w którym R1’ = R1. MoŜemy teraz wybrać
najmniejsze moŜliwe R1’ spełniające warunek indywidualnej racjonalności kredytodawcy
(12.1) z zerową wartością oczekiwaną. Tak skonstruowany kontrakt (i, Ci, R’, B’) jest
optymalny, gdyŜ B’  B, co zapewnia najmniejszy moŜliwy obszar audytu i związane z tym
minimalne koszty weryfikacji.
RozwaŜmy teraz kontrakt (i, Ci’’, R’’, B’’) bez MEP skonstruowany analogicznie jak
kontrakt (i, Ci, R’, B’). Dla spełnienia warunku IR z zerową wartością oczekiwaną musi być
R1’  R1’’. Warunek ograniczonej odpowiedzialności oraz konstrukcja kontraktu wymuszają,
11
Ŝe skoro R1’  R1 musi być B’  B . Zatem obszar audytu dla kontraktu z MEP jest mniejszy
lub równy obszarowi audytu dla kontraktu bez MEP, stąd kontrakt z MEP jest optymalny
(Rys. 2). Ñ
R(y)
bez MEP
R1''
MEP
R1'
B
y'
y''
Bc
y
Rys. 2. Optymalny kontrakt z maksymalnym udziałem kapitałowym (MEP) oraz bez
maksymalnego udziału kapitałowego (bez MEP)
Źródło: opracowanie własne
Propozycja 3. Niech (i, Ci, R, B) będzie kontraktem o maksymalnym udziale
kapitałowym (MEP) i R1 = R(s), gdy B(s) = 0. ZałóŜmy, Ŝe dla dowolnie małej zmiany w
kontrakcie koszty audytu są większe od zera, to znaczy
∀ε >0 ∫R1 −ε ≤ y <R1 c dH > 0 .
Wtedy (i, Ci, R, B) jest standardową umową kredytową (SDC).
Dowód. Niech kontrakt (i, Ci, R, B) oraz (i, Ci, R’ B’) będą optymalnymi kontraktami z
MEP opisanymi wcześniej. PoniewaŜ obydwa są optymalne
E(B – B’)c = 0.
JeŜeli B’  B hipoteza w propozycji 3 zakłada, Ŝe R1’ = R1, w przeciwnym razie koszt audytu
byłby w obydwu przypadkach róŜny i c > 0. JeŜeli B’ ∫ B wtedy obydwa kontrakty muszą
róŜnić się o niepusty zbiór stanów, dla których y ¥ R1, ale wtedy E(B – B’)c > 0, co stanowi
12
sprzeczność. Zatem B’ = B i na mocy warunku (10.1) oraz warunku zerowej wartości
oczekiwanej zwrotu dla inwestora mamy R1’ = R1. Ñ
Propozycja 3 prowadzi natychmiast do propozycji 4.
Propozycja 4. Dowolny optymalny kontrakt jest słabo dominowany przez
standardową umową kredytową (SDC) o maksymalnym udziale kapitałowym (MEP).
Wniosek 2. W warunkach neutralności względem ryzyka agentów problem podziału
ryzyka nie odgrywa roli, a zagadnienie sprowadza się do minimalizacji wartości oczekiwanej
kosztów weryfikacji, czyli minimalizacji zbioru upadłości.
4. Optymalny kontrakt kredytowy w warunkach niedoskonałego systemu sądowniczego
– model kosztownego wymuszenia Krasa’y–Villamil
W typowych modelach kosztownej weryfikacji zakłada się (często w sposób niejawny), Ŝe
egzekwowanie warunków umowy jest pełne i pozbawione kosztów. Zatem, dopóki dochód z
przedsięwzięcia przewyŜsza stałą kwotę spłat, jest ona spłacana, poniŜej tej wartości
kredytodawca bez przeszkód przejmuje całkowite przepływy pienięŜne wygenerowane przez
przedsięwzięcie.
Model Krasa’y i Villamil (2000) stanowi uogólnienie modelu kosztownej weryfikacji
przez wprowadzenie moŜliwości swobodnego niedotrzymania umowy przez kredytobiorcę
oraz dobrowolnej decyzji kredytodawcy dotyczącej wykorzystania przymusu dla
wyegzekwowania umowy. System przymusu, którym moŜe być sąd, jest jednak niedoskonały
i kosztowny. Z jednej strony sąd moŜe nie być zdolny do przejęcia wszystkich aktywów
dłuŜnika, gdyŜ część z nich moŜe zostać ukryta, a z drugiej strony system prawny nie pozwala
zwykle na przejęcie całości majątku dłuŜnika, aby nie pozbawić go całkowicie środków do
Ŝycia. Poza tym postępowanie sądowe wymaga poniesienia opłat i kosztów przez obydwie
strony postępowania.
RozwaŜmy gospodarkę z dwoma neutralnymi względem ryzyka agentami oraz
początkowy okres planowania i trzy następujące po nim kolejne okresy. Konsumpcja ma
miejsce dopiero w ostatnim okresie. Jeden z agentów – przedsiębiorca – pozbawiony kapitału
dysponuje technologią pozwalającą zamienić jedną jednostkę nakładu w y jednostek wyniku.
13
Wynik y jest zmienną losową dyskretną ze skończoną liczbą realizacji y œ Y = {y,…, y }Õ +.
Inwestor-kredytodawca dysponuje natomiast jedną jednostkę kapitału. Obydwaj agenci
posiadają powszechną początkową wiedzę na temat ocen (beliefs) β(·) na zbiorze moŜliwych
realizacji Y, gdzie β(y) > 0, i obydwaj wiedzą, Ŝe wynik przedsięwzięcia będzie
obserwowalny jedynie przez przedsiębiorcę.
Aby doszło do rozpoczęcia działalności przedsiębiorca musi poŜyczyć kapitał od
inwestora i obydwie strony muszą zawrzeć kontrakt w początkowym okresie t = 0. Sekwencja
gry jest następująca.
1. W pierwszym okresie t = 1 natura wybiera zwrot z przedsięwzięcia.
2. W następnym okresie t = 2 przedsiębiorca obserwując wynik przedsięwzięcia decyduje o
tym, jaką kwotę płatności dokonać na rzecz inwestora, biorąc pod uwagę moŜliwość nie
dokonania płatności w ogóle. Dobrowolna początkowa płatność v œ V = {v,…, v }, gdzie
vivi+1, nie moŜe być później zwrócona i nie moŜe być wymuszona przez sąd.
W ostatnim okresie t = 3 inwestor znając kwotę płatności, ale nie stan natury, decyduje o
ewentualnym wymuszeniu płatności przy wykorzystaniu kosztownej technologii zwanej
sądem. Inwestor podejmuje działanie e, przy pomocy którego moŜe wymusić płatność l(·).
JeŜeli e = 1, wtedy płatność l jest wymuszana, w przeciwnym wypadku e = 0 i nie dochodzi
do wymuszenia płatności.
Aktywa przedsiębiorcy przed podjęciem decyzji o skierowaniu sprawy do sądu wynoszą y - v.
Z uwagi na moŜliwość ukrycia przez przedsiębiorcę części aktywów, lub inne przyczyny
prawne, sąd nie jest w stanie przejąć środków o wartości x . Zatem maksymalny transfer
wymuszony na przedsiębiorcy wynosi x = max{y – v – x , 0}. Zakłada się, Ŝe decyzję o
wymuszeniu płatności podejmuje inwestor, a dodatnie koszty sądowe wynoszą dla inwestor cI
i przedsiębiorcy cE. Są to koszty utracone. Sąd określa prawdziwy stan natury y i wymusza
płatność l(x, v).
Funkcje wypłaty dla obydwu agentów pi, gdzie i = E, I, są następujące
pE(y, v, e) = y – v – e[l(x, v) + cE] oraz
(15)
pI(y, v, e) = v + e[l(x, v) – cI], gdzie x = max{y – v – x , 0}.
(16)
Zamiast pary (R, B), jak w przypadku modelu kosztownej weryfikacji mamy vektor
(v, l, sE, sI, β(y|v)), gdzie płatności v, l i uaktualniona ocena β(y|v) definiują niekooperacyjną
grę z niekompletną informacją ze strategiami mieszanymi sE i sI. Strategia sE jest
14
prawdopodobieństwem, które przedsiębiorca przypisuje do poszczególnych dobrowolnych
płatności v, podczas gdy sI jest prawdopodobieństwem z jakim inwestor wybiera e dla
wymuszenie płatności l. Ocena β(y|v) jest uaktualnioną oceną rzeczywistego stanu natury jaką
inwestor posiada po zaobserwowaniu płatności v. Przebieg gry wraz ze strategiami ocenami
obydwu agentów przedstawiony jest na rys. 3.
y
v
e
t=0
t=1
t=2
t=3
Ocena:
β(y)
β(y|v)
sE(y; v)
Strategia:
sI (v; e)
Rys. 3. Przebieg gry w modelu kosztownego wymuszenia
Źródło: Opracowanie własne na podstawie (Krasa, Villamil 2000)
Zasada ujawnienia (revelation principle) nie moŜe być zastosowana dla tej gry, gdyŜ
istnieje moŜliwość późniejszej renegocjacji zawartego kontraktu. Zatem strategie sE i sI
słuŜące optymalnemu wyborowi v i e będące rozwiązaniem gry wyznaczają bayesowską
równowagę doskonałą (perfect Bayesian equilibrium)2.
Definicja 3. Zbiór strategii sE, sI oraz ocen β(y), β(y|v) stanowi bayesowską
równowagę doskonałą wtedy i tylko wtedy, gdy
(i)
sE œ SE maksymalizuje EsE,sI pE(y, v, e) dla kaŜdego y.
(ii)
sI œ SI maksymalizuje SyœY β(y|v)Es pI(y, v, e) dla kaŜdego v.
(iii)
β(y|v) jest otrzymywane z reguły Bayesa wtedy, kiedy tylko jest to moŜliwe.
I
Warunki (i) oraz (ii) nakładają wymaganie, aby kaŜda ze strategii stanowiła
bayesowską równowagę doskonałą dla kaŜdej podgry przy danych ocenach. Warunek (iii)
określa sposób uaktualnienia ocen po zaobserwowaniu dobrowolnej płatności v.
2
zob. np.: (Watson 2005, 312-331), lub (Gibbons 1992, 173-244). Sposób znajdowanie równowagi dla tego
modelu moŜna znaleźć w (Paliński 2008).
15
W sytuacji istnienia moŜliwości renegocjacji kontraktu w okresie t = 2 (co jest
moŜliwe w odniesieniu do umowy kredytowej) optymalny kontrakt określony jest przez
następujące zadanie dla początkowego okresu t = 0 wyznaczone z punktu widzenia inwestorakredytodawcy
max ∑ β ( y ) Eσ E ,σ I π I ( y, v, e)
σ E ,σ I , v , l
(17)
y
przy warunkach
∑ β ( y ) Eσ E , σ I π E ( y, v, e) ≥ u ,
(IR)
(17.1)
y
0  v  y oraz 0  l(x, v)  y dla kaŜdego y, v,
(17.2)
sE, sI, β(y), β(y|v) stanowią bayesowską równowagę doskonałą dla t = 1, (17.3)
v, l, sI są spójne w czasie (time consistent).
(17.4)
Maksymalizacja wartości oczekiwanej uŜyteczności inwestora ograniczona jest przez
cztery warunki. Warunek (IR) słuŜy zapewnieniu przedsiębiorcy co najmniej granicznej
wartości oczekiwanej uŜyteczności (poziomu rezerwacji) równej u dla kaŜdego stanu natury.
Następny warunek jest warunkiem wykonalności narzucającym aby płatność przedsiębiorcy
oraz kara wymuszona przez sąd były nie większe niŜ wynik przedsięwzięcia, a takŜe nie było
konieczności dodatkowych płatności ze strony inwestora. Równowaga bayesowska zastępuje
warunek zgodności bodźców (IC). Spójność w czasie oznacza utrzymanie strategii wybranej
we wcześniejszym etapie gry jako optymalnej w kolejnym etapie gry.
Obydwaj agenci mają moŜliwości zmiany strategii w okresie t = 2, ale warunek
spójności w czasie zapewnia, iŜ optymalna strategia w kolejnym etapie będzie v’ = v, l’ = l
oraz s’I = sI, gdzie v’, l’, s’I stanowią optymalny plan dla t = 2, będący rozwiązaniem
zadania optymalizacji przedstawionego w dalszej kolejności. Agenci nie będą planować
renegocjacji w drugim okresie, gdyŜ moŜliwość ta zostanie juŜ przewidziana w strategiach
wybranych w początkowym okresie, stanowiąc równocześnie ograniczenie dla pierwotnego
kontraktu.
Optymalny kontrakt w okresie t = 2, będący kontynuacją pierwotnego kontraktu, jest
wyznaczony przez następujące zadanie
16
max ∑ β ( y | v) Eσ 'I π ' I ( y, v, e)
(18)
σ 'I , v ', l ' y
przy warunkach
Eσ ' I π 'E ( y, v, e) ≥ u ' y dla kaŜdego y, dla którego β(y|v) > 0,
(IR)
(18.1)
v v’  y dla których β(y|v) > 0 oraz 0  l’(y)  y dla kaŜdego y,
(18.2)
sI spełnia warunek (ii) definicji 3.
(18.3)
Warunek racjonalności podmiotu (IR) zapewnienia przedsiębiorcy co najmniej
graniczną wartość oczekiwaną uŜyteczności równą u ' y dla tych stanów natury, dla których
ocena inwestora β(y|v) po zaobserwowaniu dobrowolnej płatności v jest dodatnia. Warunek
ten stanowi wymóg aby strategia przedsiębiorcy była w konsekwencji najlepszą odpowiedzią
na strategię inwestora przyjętą po otrzymaniu płatności v i dokonaniu oceny β(y|v). Następny
warunek narzuca by dobrowolna płatność oraz płatność wymuszona przez sąd były
wykonalne. Trzeci warunek nakład wymóg optymalności na decyzję o wymuszeniu płatności
przez inwestora.
ZałoŜenie 2. Dla zapewnienia istnienia rozwiązania zadani naleŜy przyjąć dodatkowo
następujące załoŜenia
0 < x − cE < y ,
(19.1)
y < ∑ ( y − cI − cE )β ( y | yk ) ,
(19.2)
y < yk
gdzie k jest liczbą stanów w obszarze upadłości3.
ZałoŜenia te słuŜą określeniu minimalnego zwrotu zarówno po stronie przedsiębiorcy,
jak i inwestora. W wyniku wymuszenia sądowego zwrot z przedsięwzięcia dla przedsiębiorcy
dzięki pierwszemu załoŜeniu będzie niewielki, ale dodatni. Drugie załoŜenie ma zapewnić, Ŝe
oczekiwany zwrot inwestora w przypadku upadłości po pokryciu kosztów sądowych będzie
większy niŜ najniŜszy pewny zwrot z przedsięwzięcia w najgorszym stanie natury.
3
zob. Sharma (2003) i Krasa, Villami (2003)
17
Propozycja 5. Niech dla danych V, l strategie mieszane sI, sE stanowią doskonałą
równowagę bayesowską. ZałóŜmy, Ŝe kontrakt jest spójny w czasie (17.4) i spełnia załoŜenie
(19.1), wtedy strategia sI jest deterministyczna.
Szkic dowodu. NaleŜy wykazać, Ŝe strategia sI jest deterministyczna, czyli stanowi
strategię czystą. Prowadząc dowód nie wprost naleŜy wykazać, Ŝe 0 < sI < 1. Przy stosowaniu
strategii mieszanej inwestorowi jest obojętne czy zastosuje wymuszeni, czy nie. JednakŜe
przedsiębiorca w wyniku wymuszenia ponosi koszty utracone cE, a z powodu niedoskonałości
systemu sądowego uzyskuje jedynie x – cE. Te fakty powodują, Ŝe przedsiębiorca woli
odwieść inwestora od wymuszenia zmieniając pierwotny kontrakt na v’ > 0, l’ = 0 i sI’ = 0.
Zatem kontrakt nie jest spójny w czasie, co stanowi sprzeczność. Ñ
Propozycja 6. RozwaŜmy początkowy kontrakt, dla którego strategia sI jest
deterministyczna oraz spełnione są ograniczenia (17.1) i (17.2) pierwotnego zadania
optymalizacji w okresie t = 0 oraz punkt (i) definicji 3. PowyŜszy kontrakt jest dominowany
przez standardową umowę kredytową spełniającą takie same załoŜenia.
Dowód. ZałóŜmy bez utraty ogólności, Ŝe sE jest deterministyczny, gdyŜ dla danego
zwrotu z przedsięwzięcia y wszystkie strategie mieszane na zbiorze płatności v skutkują takim
samym oczekiwanym zwrotem dla przedsiębiorcy. Pośród takich v naleŜy wybrać te, które
maksymalizują dochód inwestora i oznaczmy je sE(y; v) = 1. PoniewaŜ strategie sI, sE są
deterministyczne, wystąpienie wymuszenia jest przewidywane w t = 0 w zaleŜności od
wartości y, zatem wymuszenie jest jedynie funkcją y.
Niech B = {y|sI(y; v) = 1, gdzie sE(y; v) = 1} oznacza zbiór stanów, dla których
występuje wymuszenie. Niech R(y) oznacza płatność, zatem dla deterministycznych v, e
zachodzi R(y) = v + e l(y, v). Mamy zatem:
(i)
R(y) = R1 dla y œ Bc (stała spłata). JeŜeli istnieją y, y’œ Bc, dla których R(y)  R(y’),
wtedy dla przedsiębiorcy jest korzystniejsze dokonanie stałej spłaty v w obydwu
stanach y, y’.
(ii)
R(y)  R1 – cE na zbiorze B. ZałóŜmy, Ŝe R(y) > R1 – cE, wtedy dla przedsiębiorcy
korzystniejszym jest dokonanie niŜszej spłaty odpowiadającej y œ B. PoniewaŜ
przyjęte załoŜenie stanowi sprzeczność spełnione zostaje tym samym załoŜenie (i)
definicji 3.
18
0  R(y)  y – x dla y œ B. Przedsiębiorca jest w stanie zawsze uzyskać co najmniej
(iii)
x dokonując spłaty v = 0. Skoro sE jest optymalna, R(y)  y – x .
0  R1  y – ( x – cE) dla kaŜdego y œ Bc. Dowód nie wprost – załóŜmy, Ŝe R1 ¥ y –
(iv)
( x – cE) dla kaŜdego y œ Bc. Wtedy y – R1 < x – cE. Dokonując płatności ze zbioru
B przedsiębiorca moŜe uzyskać co najmniej x – cE, co daje mu ściśle więcej niŜ
spłata R1, a to stanowi sprzeczność.
Zdefiniujmy nowy zbiór stanów Y’ = {y – ( x – cE)|yœ Y} oraz nowy kontrakt4
 R( y '+ ( x − c E )) + c E
R' ( y' ) = 
 R( y '+ ( x − c E ))
dla y ∈ B
dla y ∈ B c .
Zatem R(y), B spełniają (i)–(iv) wtedy i tylko wtedy gdy R’(y), B spełnia:
1. R’(y) = R1’ na obszarze Bc (stała spłata). Dowód jest natychmiastowy i analogiczny jak dla
(i).
2. 0  R’(y’)  y’ dla kaŜdego y’ œ Y’. Niech y œ B, wtedy
R’(y’) = R(y’ + ( x – cE)) + cE  (y’ + x – cE) – x + cE = y’.
JeŜeli y œ Bc wtedy
R’(y’) = R(y’ + ( x – cE))  y’ – ( x – cE) + ( x – cE) = y’.
3. 0  R’(y’)  R1’ dla kaŜdego y’ œ B, wtedy
R’(y’) = R(y’ + ( x – cE)) + cE  R1 = R1’.
RozwaŜmy standardową umowę kredytową z y’ œ Y’, w której inwestor płaci
wszystkie koszty c = cI +cE. Zostało wykazane, Ŝe dowolny kontrakt V, l, sI, sE moŜe być
odwzorowany w kontrakt kredytowy Gale’a-Hellwiga R’(y), B. Niech V = {0, R1},
l(x, 0) = y, l(x, R1) = 0, wtedy sE(y; 0) = 1 dla y œ B oraz sE(y; R1) = 1 dla pozostałych y, a
inwestor stosuje wymuszenie gdy v = 0. Niech y œ B, wtedy przedsiębiorca otrzymuje y –
l(y – x , v) – cE = x – cE. Inwestor uzyskuje y – ( x – cE) i płaci wszystkie koszty cI +cE,
czyli y – x – cI. Ostatecznie sE spełnia punkt (i) definicji 3. Ñ
Propozycja 7. RozwaŜmy standardową umowę kredytową spełniającą załoŜenia
(19.1), (19.2) oraz V = {0, R}, wtedy taki kontrakt spełnia punkt (ii) definicji 3 oraz
ograniczenie (17.4) pierwotnego zadania optymalizacji.
4
por. (Krasa, Villamil 2003)
19
Szkic dowodu. Najpierw naleŜy wykazać, Ŝe standardowa umowa kredytowa jest
strategią optymalną takŜe dla inwestora. Dla v = R1 zachodzi l(x, v) = 0, zatem e = 0 jest
optymalne. Dla v = 0 inwestor na podstawie warunku (19.2) uzyskuje y − x > 0 , czyli ściśle
więcej niŜ zero, które otrzymałby bez wymuszenia. Zatem punkt (ii) definicji jest spełniony.
Dowodząc następnie nie wprost spójność w czasie (17.4) załóŜmy, Ŝe istnieje kontrakt
v’, l’, sI’ w czasie t = 1, który przyniesie wyŜszą płatność niŜ pierwotna umowa kredytowa.
Generalnie, aby mogło dojść do poprawy dochodów przedsiębiorcy w wyniku renegocjacji
kontraktu muszą pojawić się dodatkowe stany, dla których prawdopodobieństwo wymuszenia
jest mniejsze od jeden sI(v; 1) < 1. To po uwzględnieniu warunku (19.2) prowadzi ostatecznie
do faktu, iŜ wartość oczekiwana dochodu inwestora dla nowego kontraktu jest mniejsza niŜ
dla pierwotnego, co stanowi sprzeczność. Ñ
Propozycje 5–7 natychmiastowo prowadzą do propozycji 8.
Propozycja 8. ZałóŜmy, Ŝe istnieje standardowa umowa kredytowa spełniająca
załoŜenia (19.1), (19.2) oraz zapewniająca przedsiębiorcy poziom rezerwacji u . Wtedy taka
umowa stanowi rozwiązanie pierwotnego zadania optymalizacji (17-17.4).
Wniosek 3. W warunkach niedoskonałego i kosztownego systemu sądowniczego
standardowa umowa kredytowa jest efektywna ex post, gdyŜ strony umowy nie mają intencji
jej zmiany po zaobserwowaniu wyników przedsięwzięcia.
5. Optymalny kontrakt w warunkach heterogenicznych ocen zwrotu z przedsięwzięcia –
model Carlier–Renou
W modelach kosztownej weryfikacji zakłada się niejawnie, Ŝe przedsiębiorca i kredytodawca
posiadają jednakowe oceny stóp zwrotu z przedsięwzięcia inwestycyjnego. W modelu Carlier
i Renou (2005) przyjęto odmienne załoŜenie. Podobnie jak we wcześniejszych modelach
przedsiębiorca posiada dostęp do przedsięwzięcia inwestycyjnego wymagającego jednej
jednostki kapitału, ale nie posiada majątku. Inwestor-kredytodawca posiada natomiast jedną
jednostkę kapitału. Obydwaj są neutralni względem ryzyka. Przedsiębiorca i kredytodawca
mogą zawrzeć kontrakt na finansowanie przedsięwzięcia, którego zwrot jest zmienną losową
20
y œ Y = [0, y ]Õ +. Zwrot z przedsięwzięcia jest obserwowany przez przedsiębiorcę bez
jakiegokolwiek kosztu, podczas gdy koszt obserwacji wyników przedsięwzięcia ze strony
kredytodawcy wynosi c. Koszt alternatywny wynosi r.
Przedsiębiorca i kredytodawca róŜnią się w swojej ocenie zwrotu z projektu.
Kredytobiorca zakłada, Ŝe zmienna losowa y posiada gęstość prawdopodobieństwa m, podczas
gdy kredytodawca sądzi, Ŝe y ma funkcję gęstości n. Obydwie funkcje gęstości stanowią
powszechną wiedzę oraz są ciągłe. Dodatkowo przedsiębiorca zakłada, iŜ projekt jest
zyskowny, to znaczy Ŝe
∫0 yµ ( y )dy > r .
y
(20)
Definicja 4. Kontrakt kredytowy to para ( R̂ , B) taka, Ŝe
(i)
R̂ : [0, y ]Ø +, gdzie Rˆ ( y ) jest płatnością w stanie y,
(ii)
Rˆ ( y ) < y dla kaŜdego y, oznacza warunek ograniczonej odpowiedzialności (LL),
(iii)
BÕ[0, y ] stanowi obszar monitoringu.
Definicja 5. Kontrakt kredytowy ( R̂ , B) skłania do prawdomówności (truthtelling)
wtedy i tylko wtedy gdy
∀ y∈[ 0, y ] ∀ y '∉B Rˆ ( y ) < Rˆ ( y ' ) .
JeŜeli kontrakt skłania do prawdomówności wtedy R̂ musi być stałe na [0, y ]\B.
Zastępując kontrakt ( R̂ , B) kontraktem skłaniającym do prawdomówności (R(·), R1), gdzie
wartość progowa R1 oznacza obszar monitoringu, uzyskujemy słabą poprawę (nierówność
nieostra) w sensie Pareto, gdyŜ nie zwiększa to koszt monitoringu.
Mając kontrakt (R(·), R1) wartość oczekiwana zwrotu z przedsięwzięcia dla
przedsiębiorcy wynosi
∫R (⋅)< R1 [ y − R ( y )]µ ( y )dy + ∫R (⋅)≥ R1 ( y − R1 )µ ( y )dy =
∫ yµ ( y )dy − ∫0 min( R ( y ), R1 ) µ ( y )dy,
y
0
y
(21)
21
podczas gdy wartość oczekiwana płatności dla inwestora po uwzględnieniu kosztu
monitoringu c wynosi
∫R (⋅)< R1 [ R ( y ) − c]ν ( y )dy + ∫R (⋅)≥ R1 R1ν ( y )dy =
1
∫0 min( R ( y ), R1 )ν ( y )dy − c ∫0 ν ( y )dy.
y
R
(22)
Optymalna umowa z punktu widzenia przedsiębiorcy jest rozwiązaniem następującego
zadania
min ∫0 min( R ( y ), R1 ) µ ( y )dy
y
(23)
R (⋅), R1
przy warunkach
y
R1
∫0 min( R( y ), R1 )ν ( y )dy − c ∫0 ν ( y )dy ≥ r ,
(IR)
(23.1)
0  R(y)  y, dla kaŜdego y œ [0, y ].
(LL)
(23.2)
Konkurencyjny rynek finansowy sprowadza warunek (IR) kredytodawcy do równości.
Z kolei optymalny kontrakt w sytuacji, kiedy m = n przyjmuje postać standardowego
kontraktu kredytowego (id, R1), gdzie id jest operatorem identycznościowym.
Dla ułatwienia przyjmijmy, Ŝe ocena inwestora jest zgodna z rozkładem jednostajnym
na [0, y ], zatem n(y) = 1/ y . Wartość oczekiwana zwrotu z inwestycji po uwzględnieniu
kosztów monitoringu musi przewyŜszać koszt alternatywny, stąd
1
y −c > r.
2
(24)
Warunek uczestnictwa inwestora (23.1) przyjmuje zatem postać
1
R1
y 1
∫0 ( y − c) dy + R1 ∫R1 dy = r ,
y
y
(25)
która prowadzi do równania kwadratowego
−
1 2
R1 + ( y − c) R1 − ry = 0 .
2
(26)
22
PoniewaŜ spełnione jest ograniczenie (24), równanie to posiada jedyny pierwiastek
spełniający równocześnie ograniczenie (23.2) określony następująco
R * = y − c − ( y − c ) 2 − 2 ry .
(27)
Propozycja 9. JeŜeli standardowa umowa kredytowa jest optymalnym kontraktem,
czyli jest rozwiązaniem programu (23-23.2), wtedy zachodzi
∫R* µ ( y )dy ≥
y
C
µ ( R* ) ,
2
(28)
gdzie R* jest wyznaczone przez (27), a C określone następująco
C = 2 ( y − c ) 2 − 2 r y = 2( y − c − R * ) .
(29)
Dowód. W pierwszej kolejności naleŜy zdefiniować kontrakt (R¶(·), R1¶), który dla
małych ¶ > 0 określony jest następująco
 y,
dla y ∈ [0, R * − ε )

Rε ( y ) =  R* ,
dla y ∈ [ R * − ε , R * + δ ε )
 *
*
 R + δ ε , dla y ∈ [ R + δ ε , y ],
gdzie R1¶ = R* + d¶, przy czym d¶ œ (0, y –R*) jest dobrane tak, aby warunek indywidualnej
racjonalności kredytodawcy (23.1) był wiąŜący dla kontraktu (R¶(·), R1¶). Warunek ten
przyjmie obecnie następującą postać
R* −ε
∫0
1
1
R * +δ 1
y
R* +δ 1
y dy + ( R * − ε ) ∫R* −ε ε dy + ( R * + δ ε ) ∫R* +δε dy − c ∫0 ε dy = r ,
y
y
y
y
(30)
co prowadzi do
−
1 *2
1 2
*
2
*
R + ( y − c ) R − ry + δ ε + δ ε ( y − c − R − ε ) − ε = 0
2
2
(31)
Uwzględniając (26) i fakt, iŜ R* jest jego pierwiastkiem, a następnie (29) mamy
ostatecznie
23
1
2
δ ε2 + δ ε ( y − c − R − ε ) − ε 2 = δ ε2 + δ ε (
C
1
−ε) − ε 2 = 0 .
2
2
(32)
Rozwiązując uzyskane równanie kwadratowe otrzymujemy jego mniejszy pierwiastek
2

1  C

C


δ ε =  − ε  −  − ε  − 2ε 2 ,
2  2


2



(33)
który, biorąc pod uwagę (29), spełnia załoŜenie d¶ œ (0, y –R*), tym samy wykazując, Ŝe
kontrakt (R¶(·), R1¶) spełnia ograniczenia (23.1–23.2).
Skoro kontrakt (id, R*) jest rozwiązaniem zadania (23-23.2) musi zachodzić
y
y
*
∫0 min( R( y ), R ) µ ( y )dy ≤ ∫0 min( Rε ( y ), R1ε ) µ ( y )dy ,
(34)
co jest równowaŜne
R*
*
∫0 yµ ( y )dy + R ∫R* µ ( y )dy ≤
y
R* −ε
o
∫
R* +δ
yµ ( y )dy + ( R * − ε ) ∫R* −ε ε µ ( y )dy + ( R * + δ ε ) ∫R* +δε µ ( y )dy
y
(35)
i prowadzi do
R
R +δ ε
y
*
∫R* −ε ( R − y ) µ ( y )dy − ε ∫R* −ε µ ( y )dy + δ ε ∫R* +δ ε µ ( y )dy ≥ 0 .
*
*
(36)
Korzystając z wzoru Maclaurina d¶,(¶) z (33) moŜna przedstawić jako
δε =
ε2
C
+ ο (ε 2 ) .
(37)
Składniki wzoru (36) dla małych ¶ > 0 i dzięki ciągłości m w R* moŜna zatem
przedstawić jako
ε ∫RR −+εδ ε µ ( y )dy = ε 2 µ ( R * ) + ο (ε 2 ) ,
*
*
(38)
następnie
δ ∫
y
ε R* +δ ε
µ ( y )dy =
ε2
C
2
∫R* µ ( y )dy + ο (ε )
y
(39)
24
oraz
R*
R*
*
*
*
2
∫R* −ε ( R − y ) µ ( y )dy = µ ( R ) ∫R* −ε ( R − y )dy + ο (ε )
1
= µ ( R* )ε 2 + ο (ε 2 ).
2
(40)
Wykorzystując (38), (39) i (40) otrzymujemy
ε2
C
∫ µ ( y )dy −
y
R*
ε2
2
µ ( R * ) − ο (ε 2 ) ≥ 0 .
(41)
Dzieląc nierówność (41) przez ¶2 oraz przy ¶ dąŜącym do 0 uzyskujemy dowodzoną
nierówność (28). Ñ
Wniosek 4. W sytuacji istnienia zróŜnicowanych ocen kredytodawcy i kredytobiorcy
dotyczących zwrotu z przedsięwzięcia standardowa umowa kredytowa nie zawsze jest
optymalnym kontraktem dłuŜnym.
6. Podsumowanie
Zaprezentowane modele w sposób formalny starają się udowodnić, Ŝe standardowa umowa
kredytowa jest optymalną formą umowy dłuŜnej. Jest tak z jednej strony w wyniku asymetrii
informacyjnej między przedsiębiorcą a inwestorem, gdyŜ jedynie przedsiębiorca bez
jakiegokolwiek kosztu obserwuje wynik przedsięwzięcia. Z drugiej strony, jest to rezultatem
dąŜenia do minimalizacji kosztów utraconych związanych z weryfikacją wyników
przedsięwzięcia.
KaŜdy model, takŜe i te przedstawione, wprowadza jednak znaczne uproszczenia
rzeczywistych zjawisk, gdyŜ inaczej nie byłoby moŜliwe znalezienie jego rozwiązania. W
analizowanych modelach brakuje na przykład załoŜenia dotyczącego zabezpieczenia spłaty
kredytu majątkiem przedsiębiorcy posiadanym przed podpisaniem kontraktu. ZałoŜenie to
uwzględnia na przykład model Lackera (2001). Standardowa umowa kredytowa pozostaje w
takiej sytuacji równieŜ optymalną umową dłuŜną, pod warunkiem, iŜ kredytobiorca wyŜej
wycenia wartość zabezpieczenia niŜ inwestor, co zwykle ma miejsce w praktyce
gospodarczej.
25
Długotrwałe funkcjonowanie firmy lub duŜe wielookresowe przedsięwzięcia
inwestycyjne wymagają dłuŜszej współpracy z kredytodawcami. To zagadnienie podejmuje
na przykład Webb (1992) wykazując, Ŝe w przypadku dwuokresowego kontraktu w
pierwszym okresie umowa kredytowa wiąŜe wysokość spłaty ze stanem natury (umowa
przypominająca kapitał własny), a dopiero w drugim okresie jest to standardowa umowa
kredytowa.
Choe (1998) wprowadza podejście wykorzystujące mechanism design, z którego
wynika, Ŝe standardowy kontrakt kredytowy słabo dominuje kaŜdy inny mechanizm z
wcześniejszym zobowiązaniem (precommitment). W praktyce wcześniejsze zobowiązanie
oznacza, iŜ kredytobiorca ma zagwarantowany dochód niezaleŜnie od wyników
przedsięwzięcia (np. tzw. „złoty spadochron” dla kadry zarządzającej), co skłania go do
informowania zgodnego z prawdą.
Niektóre badania wskazują na to (np. Choe 1998), Ŝe nie tylko optymalność (przy
danych ograniczeniach) standardowej umowy kredytowej jest przyczyną jej powszechności,
ale takŜe nieprzewidywalność i zbytnie skomplikowanie rzeczywistości.
Bibliografia
1. Attar A, Campioni E. (2003), Costly state verification and debt contracts, a critical
resume, “Research in Economics”, Vol. 57, s. 315-343.
2. Carlier G., Renou L. (2005), A costly state verification model with diversity of options.
“Economic Theory”, Vol. 25, s. 497-504.
3. Choe C. (1998), A mechanism design approach to an optimal contract under ex ante and
ex post private information, “Review of Economic Design”, Vol. 3, s. 237-255.
4. Freixas X., J.-C. Rochet J.-C. (1997), Microeconomics of Banking, The MIT Press,
Cambridge. Wydanie polskie: Mikroekonomia bankowa, CeDeWu, Warszawa 2007.
5. Gale D., Hellwig M. (1985), Incentive-compatible Debt Contracts, The One-Period
Problem, “The Review of Economics Studies”, Vol. 52, s. 647-663.
6. Gibbons R. (1992), Game Theory for Applied Economists, Princeton University Press,
Princeton, New Jersey.
7. Krasa S., Villamil A. (2000), Optimal contracts when enforcement is a decision variable,
“Econometrica”, Vol. 68, s. 119-134.
26
8. Krasa S., Villamil A. (2003), Optimal contracts when enforcement is a decision variable,
a replay, “Econometrica”, Vol. 71, s. 391-393.
9. Lacker J. (2001), Collateralized debt as the optimal contract, “Review of Economic
Design”, Vol. 4, s. 842-859.
10. Mesjasz C. (1999), Koszty transakcji i asymetria informacji jako przyczyny powstawania
instytucji pośrednictwa finansowego, „Bank i Kredyt”, nr 3, s. 38-40.
11. Mesjasz C. (2000), Kontrakty niekompletne i relacja przedstawicielstwa jako teoretyczne
podstawy nadzoru nad przedsiębiorstwem, referat przedstawiony podczas Szkoły Letniej
„Warszawa 2000”, http://www.studenci.pl/zarzadzanie/proces/semeko_54.html
12. Paliński A. (2008), Relacja kredytodawca-kredytobiorca w ujęciu teorii gier. [W:]
Współczesne uwarunkowania działalności przedsiębiorstw. Red. Paweł Kawa, Oficyna
Wydawnicza Text, Kraków, s. 131-144.
13. Sharma T. (2003), Optimal contracts when enforcement is a decision variable,
“Econometrica”, Vol. 71, s. 387-390.
14. Spence A. (1973), Job Market Signaling, “Quarterly Journal of Economics” 87, s. 355374.
15. Stradomski M. (2004), Zarządzanie strukturą zadłuŜenia przedsiębiorstwa, PWE,
Warszawa.
16. Towsend R. (1979), Optimal contracts and competitive markets with costly state
verification, “Journal of Economic Theory”, Vol. 21, s. 265-93.
17. Varian H. (2002), Mikroekonomia. Kurs średni – ujęcie nowoczesne, PWN, Warszawa.
18. Watson J. (2005), Strategia. Wprowadzenie do teorii gier, WNT, Warszawa.
19. Webb D. (1992), Two-period financial contracts with private information and costly state
verification, “Quarterly Journal of Economics”, Vol. 107, s. 1113-1123.
27