Seria III, ćw.1

Opracował: dr inż. Michał Chłędowski
Ćw. S-III.1
MODELOWANIE PODSTAWOWYCH
CZŁONÓW AUTOMATYKI.
PROGRAM CODAS
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawowymi członami automatyki oraz pakietem
oprogramowania CODAS-II służącego do symulacji i badania własności dynamicznych zarówno
pojedynczych elementów automatyki jak również całych, jednowymiarowych układów automatycznej
regulacji (UAR).
Zadanie do wykonania
1. Należy zapoznać się szczegółowo z opisem programu CODAS-II (druga część PODSTAW
TEORETYCZNYCH).
2. Należy wykonać modele matematyczne co najmniej czterech podstawowych elementów
automatyki, wykorzystując do tego celu CODAS-II. Należy zarejestrować charakterystyki skokowe i
częstotliwościowe (amlitudowo-fazowe i logarytmiczne) symulowanych członów.
UWAGA !
1.
Do symulacji każdy zespół przyjmuje własne wartości parametrów symulowanych
członów
2.
Wykresy charakterystyk skokowych należy starać się wykonywać po kilka w jednym
układzie współrzędnych. Dla zwiększenia czytelności wyników, wykresy należy
opisywać w sposób oferowany przez program CODAS.
PODSTAWY TEORETYCZNE
Znane są następujące podstawowe człony automatyki:
-
-
-
-
bezinercyjne (proporcjonalne),
inercyjne:
•pierwszego rzędu,
•oscylacyjne,
•dwuinercyjne
całkujące:
•idealne,
•rzeczywiste,
•izodromowe
różniczkujące:
•idealne,
•rzeczywiste,
opóźniające.
Dla przypomnienia omówimy niektóre z nich skrótowo. Bardziej szczegółowo człony te
przedstawione są w rozdziale 4 skryptu „Wykłady z automatyki” a także w każdym innym
podręczniku z zakresu teorii regulacji i sterowania.
Człony inercyjne
Człon inercyjny pierwszego rzędu
Równanie członu inercyjnego pierwszego rzędu
dy (t )
T
+ y (t ) = k ⋅ x(t )
dt
przy czym: T - stała czasowa;
k - współczynnik wzmocnienia
Transmitancja operatorowa ma postać
k
1 + Ts
Odpowiedź na wymuszenie skokowe x(t ) = 1(t ) ⋅ a
(1.1)
G ( s) =
(1.2)
t
− 

T 

h(t ) = k ⋅ a 1 − e  .


(1.3)
Stałą czasową T można określić z wykresu, przeprowadzając styczną w dowolnym punkcie
krzywej wykładniczej h(t) i wyznaczając odcinek podstycznej na asymptocie
t
− 

k ⋅ a 1 − e T 
k⋅a− h

 =T.
podstyczna =
=
t
dh
1 −
k⋅a e T
dt
T
Stałą czasową T można również określić jako czas od chwili t = 0 do chwili,
kiedy h(t) osiąga 63,2% swojej końcowej wartości ustalonej k ⋅ a . Podstawiając bowiem t =
T otrzymamy
(
)
h(T ) = k ⋅ a 1 − e − 1 = 0,632 ⋅ k ⋅ a .
Wartość współczynnika wzmocnienia elementu inercyjnego określamy z wykresu
charakterystyki skokowej jako stosunek h(∞)/a, gdzie h(∞) przedstawia maksymalną wartość
charakterystyki skokowej (dla t → ∞) równą k ⋅ a .
h(t)
T
T
h( )
2
a=1
k=2
T=5
x(t)=1(t)a
1
ka
0,632ka
0
t [s]
0
5
10
15
20
25
30
Rys. 1.1. Odpowiedź elementu inercyjnego pierwszego rzędu na wymuszenie skokowe
Transmitancja widmowa:
G ( jω ) = G ( s ) s = jω =
P (ω ) =
k
1 + jω T
k
− kTω
, Q(ω ) =
2 2
1+ ω T
1 + ω 2T 2
(1.4)
(1.5)
Wykres G(jω) ma postać półokręgu o średnicy k, ze środkiem w punkcie (k/2, j0) (rys.
1.2). Przy zmianie wartości stałej czasowej T kształt krzywej pozostaje taki sam, zmienia się
jedynie rozkład punktów odpowiadających pulsacjom ω1, ω2 itd.
Im[G(jω )] = Q(ω )
k=2
T=5
0,5
0
Re[G(jω )] = P(ω )
2,0
1,0
ω =
45
k
0
ω = 0
ω1
-0,5
ω2
-1,0
ω = 1 /T
Rys. 1.2. Charakterystyka amplitudowo-fazowa G(jω) członu inercyjnego
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa ma postać:
L(ω ) = 20 log k − 20 log 1 + T 2ω
2
.
(1.6)
Wykres L(ω) można uprościć, pomijając we wzorze (1.6) dla ω <1/T składnik T2ω2, a
dla ω > 1/T składnik 1 pod pierwiastkiem. Otrzymamy wówczas tzw. asymptotyczną
logarytmiczną charakterystykę amplitudową :
dla ω < 1 / T
dla ω > 1 / T
L(ω ) = 20 log k ,
L(ω ) = 20 log k − 20 log Tω


.
(1.7)
Pulsacja (częstotliwość kątowa) ω = 1/T nazywa się pulsacją sprzęgającą i oznacza
się ją symbolem ωs lub ω0 .
Wykresy rzeczywistej i asymptotycznej charakterystyki amplitudowej przedstawione
są na rys. 1.3a. Nachylenie opadającego odcinka charakterystyki asymptotycznej (dla ω > 1/
T) określimy obliczając przyrost L(ω) na dekadę:
L(10ω ) − L(ω ) = 20 log k − 20 log (10Tω ) − 20 log k + 20 log (Tω ) =
= − 20 log10 = − 20 dB
(1.8)
Logarytmiczna charakterystyka fazowa elementu inercyjnego
ϕ (ω ) = arc tg
Q(ω )
= arc tg(− Tω ) = − arc tg(Tω ) .
P (ω )
(1.9)
Wykres ϕ (ω ) przedstawiony jest na rys. 1.3b. Na wykresie oprócz charakterystyki
rzeczywistej przedstawiono liniami przerywanymi stosowaną niekiedy aproksymację
trójodcinkową krzywej ϕ (ω ) . Aproksymacja ϕ a (ω ) polega na zastąpieniu środkowego
odcinka krzywej ϕ (ω ) prostą, bliską stycznej do ϕ (ω ) w jej punkcie przegięcia (ściśle,
styczna osiąga 0° dla ω / ω s = 1 / 4,81 oraz -90° dla ω / ω s = 4,81 , natomiast ϕ a (ω ) osiąga 0°
dla ω / ω s = 1 / 5 = 0,2 oraz -90° dla ω / ω s = 5 , co ułatwia jej wykreślanie).
Gain dB
L(ω )
dB
20
0,05
0,1
0,3
1,0
1
-20
2
3 4
6 8
-20dB/dek
k=2
T=5
10-2
ϕ (ω )
o
0
-30
0,5
2
20log k
0
-40
Phase deg
0,02
0,02
0,05
10-1
ω s= 1/T
0,1
0,3
0,5
ω [rad/sek] 101
0
1,0
2
3 4
6 8
1
o
o
10
2
-60
-90
o
10-2
10-1
100
ω [rad/sek]
101
Rys. 1.3. Logarytmiczne charakterystyki elementu inercyjnego pierwszego rzędu
Przykłady członu inercyjnego
1. Typowym przykładem członu inercyjnego jest kondensator ładowany przez rezystor
(rys. 1.4). Z prawa Ohma możemy zapisać zależność na u1(t) jako sumę spadku napięcia
na rezystorze R i kondensatorze C. Wartość prądu płynącego przez kondensator zależy
od pojemności tego kondensatora i prędkości zmian napięcia na jego okładzinach.
Otrzymamy:
du 2 (t )
.
dt
Podstawiając drugie równanie do pierwszego i zapisując człony związane z sygnałem
wyjściowym po lewej stronie znaku równości a pozostałe po prawej otrzymamy
u1 (t ) = i (t ) R + u 2 (t ) ,
i (t ) = C
R
u1(t)
i(t)
C
u2(t)
Rys. 1.4. Schemat prostego członu inercyjnego RC
RC
du2 (t )
+ u2 (t ) = u1 (t ) .
dt
Fakt, że iloczyn RC posiada rozmiar sekundy ( [Ω⋅F] = [V/A⋅Q/V] = [V/A⋅As/V] = [s] )
uzasadnia nazwanie go stałą czasową T. Po wprowadzeniu tego oznaczenia otrzymujemy
równanie analogiczne do równania 1.1.
2. Innym przykładem członu inercyjnego może być człon cieplny, np. termoelement (rys.
1.5). Składa się on z umieszczonych w obudowie, najczęściej ceramicznej, dwóch drutów z
różnych metali. Jedne końce tych drutów są połączone spoiną, dwa pozostałe tworzą wolne
tzw. zimne końce wyprowadzone poza obudowę. Termopara taka mierzy różnicę temperatur
pomiędzy gorącymi i zimnymi jej końcami. Na skutek różnicy temperatury powstaje siła
termoelektryczna
e = α (θ − θ 0 )
gdzie:
θ - temperatura spoiny [°];
θo - temperatura zimnych końców [°];
α - współczynnik [V/°].
Θ (t)
Θ 1 (t)
Rys. 1.5. Termoelement jako element inercyjny
Θ 0 (t)
e(t)
Uproszczony model fizyczny takiego elementu otrzymamy na podstawie bilansu cieplnego
cpM
dθ (t )
= Sγ [θ 1 (t ) − θ (t )]
dt
przy czym:
cp
m
S
γ
- ciepło właściwe termoelementu wraz z obudową umieszczoną w ośrodku o
temperaturze θ1(t);
- masa termoelementu
- powierzchnia wymiany ciepła (obudowy termometru);
- współczynnik przewodzenia ciepła z ośrodka do wnętrza termoelementu.
Przyjmując temperaturę spoiny θ(t) zarówno jako współrzędną stanu jak i sygnał wyjściowy,
otrzymane równanie można sprowadzić do (1.1), przy czym stała czasowa T =
cpm
S⋅γ
, k = 1.
Człon oscylacyjny
Ogólna postać równania różniczkowego członu oscylacyjnego:
d2y
dy
(1.10)
T12 2 + T2
+ y = kx ,
dt
dt
przy czym T22 < 4T12 . Równaniu (1.10) odpowiada transmitancja operatorowa
y(s)
k
G(s) =
= 2 2
,
(1.11)
x( s ) T1 s + T2 s + 1
gdzie: k – współczynnik proporcjonalności (wzmocnienia),
T1, T2 – stałe czasowe elementu.
Często stosuje się również inną postać równania różniczkowego członu oscylacyjnego,
ułatwiającą interpretację przebiegów przejściowych. Zapisuje się ją w postaci:
d2y
dy
(1.12)
+ 2ζ ω 0
+ ω 02 y = kω 02 x ,
2
dt
dt
przy czym ζ 2 < 1. Wówczas transmitancja przyjmie postać:
G(s) =
y(s)
kω 02
= 2
x( s ) s + 2ζ ω 0 s + ω
2
0
,
(1.13)
gdzie: ω 0 = 1 / T1
- pulsacja oscylacji własnych elementu,
ζ = T2 / 2T1
- zredukowany (względny) współczynnik tłumienia.
Odpowiedź na wymuszenie skokowe x(t)=1(t)a ma postać:


e− ζ ω 0t
h(t ) = ka  1 −
sin ω 0 1 − ζ 2 t + ϕ  ,
1− ζ 2


gdzie
(
)
(1.14)
ϕ = ar ctg
1− ζ
ζ
2
.
(1.15)
Ponieważ założyliśmy współczynnik tłumienia 0 < ζ < 1 , więc (wobec ω 0 > 0 )
wykładnik potęgi funkcji wykładniczej jest ujemny – i amplituda oscylacji maleje (drgania
tłumione). Wykres h(t) dla tego przypadku przedstawiony jest na rys. 1.6. Składowa ustalona
przebiegu wynosi ka, a składowa przejściowa jest gasnącą sinusoidą, której okres jest stały i
wynosi:
2π
T=
.
(1.16)
ω 0 1− ζ 2
)
(
Dla chwil ta, w których kąt ω 0 1 − ζ 2 ta + ϕ ma wartości równe krotnościom π / 2 , a zatem
h(t) osiąga amplitudę wynikającą ze wzoru (1.4), mamy
(ω
)


0



ν = 1, 5, 9,13,17,


− ζ ω 0ta 

π
e
2

ω 0 1 − ζ ta + ϕ = ν ⇒ h(ta ) = ka 1 +
2


2
1
−
ζ



ν = 3, 7,11,15,19,

Wynikają stąd równania obwiedni drgań h1(t) i h2(t) pokazanych na rys. 1.6.
(
1 − ζ 2 ta + ϕ = ν

π
e− ζ ω 0ta
⇒ h(ta ) = ka 1 −

2
1− ζ 2

)
(1.17)
Rys. 1.6. Odpowiedź członu oscylacyjnego na wymuszenie skokowe 1(t)a
W przypadku gdy współczynnik tłumienia jest ujemny i zgodnie z warunkiem dla
przebiegów oscylacyjnych wynosi − 1 < ζ < 0 , części rzeczywiste pierwiastków s1 i s2 są
dodatnie. Prowadzi to do związków, w których funkcje trygonometryczne są mnożone przez
funkcję wykładniczą rosnącą do nieskończoności wraz z czasem t. Wówczas dla obwiedni z
rys. 1.6 otrzymamy:
t → ∞ ⇒ h1 (t ) → − ∞ ,
t → ∞ ⇒ h2 (t ) → + ∞
a więc odpowiedź skokowa ma charakter oscylacji o rosnącej amplitudzie (rys. 1.7a).
W przypadku szczególnym, kiedy współczynnik tłumienia jest równy zeru ( ζ = 0 tzn.
T2 = 0), co odpowiada przypadkowi członu idealnego, w którym nie występują straty energii,
części rzeczywiste pierwiastków s1 i s2 są równe zeru i charakterystyka skokowa ma charakter
oscylacji nietłumionych (drgania zachowawcze o pulsacji ω 0 ) o stałej amplitudzie (rys. 1.7b):

π 

h(t ) = ka  1 − sin  ω 0t +  
2


(1.18)
Rys. 1.7. Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego: a) przy współczynniku
tłumienia z zakresu − 1 < ζ < 0 , b) przy współczynniku tłumienia ζ = 0
Jeżeli T22 > 4T12 (ζ 2 > 1) , to pierwiastki s1 i s2 są ujemne rzeczywiste i przebieg h(t) traci
charakter oscylacyjny. Również w przypadku, kiedy występuje tłumienie krytyczne a więc
T22 ≥ 4T12 ζ 2 = 1 , mamy podwójny, ujemny pierwiastek rzeczywisty, co odpowiada
aperiodycznemu przebiegowi. Dokładna analiza tych przypadków przeprowadzona jest w
rozdziale omawiającym człon dwuinercyjny.
Transmitancja widmowa członu oscylacyjnego wyznaczona na podstawie
transmitancji operatorowej (1.11) ma postać:
(
)
G ( jω ) =
kω 02
( jω ) 2 + 2ζ ω 0 ( jω ) + ω
2
0
=
kω 02
ω 02 − ω 2 + j ⋅ 2ζ ω ω
,
(1.19)
0
Część rzeczywista i urojona G ( jω ) :
P (ω ) =
kω 02 (ω 02 − ω 2 )
2kζ ω 03ω
,
Q
(
ω
)
=
−
.
(ω 02 − ω 2 ) 2 + (2ζ ω 0ω ) 2
(ω 02 − ω 2 ) 2 + ( 2ζ ω 0ω ) 2
(1.20)
Rys. 1.8. Charakterystyki amplitudowo-fazowe członu oscylacyjnego dla różnych
wartości współczynnika tłumienia
Wykres G ( jω ) przedstawiono na rys. 1.8. Wykres ten zaczyna się w punkcie P(0) =
k, Q(0) = 0 przy ω = 0 i kończy się przy ω = +∞ w punkcie P(+∞) = 0, Q(+∞) = 0.
Charakterystyka ta jest krzywą, której przebieg – przy danych wartościach k i ω0 – zależy od
współczynnika tłumienia ζ . Przecina ona oś urojoną w punkcie P(ω0)= 0, Q(ω0) = − k / 2ζ .
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
kω 02
L(ω ) = 20 log
,
(1.21)
2
2
2 2
ω0−ω
+ ( 2ζ ω 0ω )
(
)
2
2
  ω  2

ω 
  +  2ζ
 .
L(ω ) = 20 log k − 20 log  1 − 
ω 0 
  ω 0  

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
 2ζ ω ω 
ϕ (ω ) = arc tg − 2 0 2  ,
 ω0−ω 

ω 
 2ζ

ω0 

ϕ (ω ) = − arc tg 
.
2


 1−  ω  
  ω 0  
(1.21a)
(1.22)
(1.22a)
Wykresy charakterystyk logarytmicznych członu oscylacyjnego dla różnych wartości
współczynnika tłumienia przedstawione zostały na rys. 1.9.
L(ω )
dB
20
ζ = 0 .3
ζ = 0 .1
0
ζ = 0 .8
-20
10
-2
10
-1
Frequency (rad/sec)
10
0
ϕ (ω )ο
0
ζ = 0 .1
ζ = 0 .3
-90
ζ = 0 .8
-180
10
-2
10
-1
Frequency (rad/sec)
10
0
Rys. 1.9. Charakterystyki logarytmiczne członu oscylacyjnego
Dla ζ < 2 / 2 charakterystyka L(ω) osiąga maksimum przy ω / ω 0 = 1 − 2ζ 2 , przy
czym wartość tego maksimum jest tym większa, im mniejszą wartość ma zredukowany
współczynnik tłumienia ζ. Dla ζ = 0 maksimum występuje przy ω / ω 0 = 1 i ma wartość
nieskończenie wielką.
Ze względu na nieregularny kształt charakterystyk L(ω) aproksymacja za pomocą
charakterystyk asymptotycznych jest stosowana tylko przy obliczeniach wstępnych, dla
0,3 ≤ ζ ≤ 1 (wówczas błąd aproksymacji nie przekracza wartości 6 dB).
Przy zmianie ω od 0 do ∞ przesunięcie fazowe zmienia się od 0 do -180°, przy czym
dla ω / ω 0 = 1 wynosi zawsze -90°.
Przykład członu oscylacyjnego. Zespół masa-tłumik-sprężyna.
Schemat takiego zespołu podano na rys. 1.10. Sygnałem wejściowym jest siła F,
sygnałem wyjściowym jest przesunięcie masy y.
W stanie ustalonym siła F oraz ciężar mg są równoważone siłą wywieraną przez
ugiętą sprężynę. We współrzędnych wartości absolutnych warunek ten zapiszemy
następująco:
F0 + mg = cs y0 ,
skąd
1
( F0 + mg ) ,
cs
nat o m i ast w e w s p ó ł r zę d n y c h o d c h y ł e k (prz y r ost ó w)
y0 =
(1.23)
1 .
(1.24)
F
cs
W stanac h n i e usta l o n y c h, p r z y j m u j ą c u p rasz c za ją c, o t r z y m a m y
nastę pu ją ce r ó w n a n ie r ó w n o w a g i:
y=
F= m
d2y
dy
+ ct
+ cs y ,
2
dt
dt
skąd
T12
d2y
dy
+ T2
+ y = kF ,
2
dt
dt
(1.25)
gdzie:
T1 =
m
c
1
, T2 = t , k =
.
cs
cs
cs
Człony całkujące
Ogólna postać równania różniczkowego idealnego członu całkującego jest
następująca:
dy
= kx
dt
(1.26)
lub po scałkowaniu, przy zerowych warunkach początkowych
t
y = k ∫ xdt
(1.27)
0
skąd wynika transmitancja
G( s) =
y( s) k
=
x ( s) s
Odpowiedź na wymuszenie skokowe x(t ) = 1(t ) ⋅ a wyznaczamy z definicji:
k
k
h( s ) = x( s ) = 2 a,
s
s
−1
h(t ) = L [ y ( s )] = k ⋅ a ⋅ t.
(1.28)
(1.29)
Wykres h(t) członu idealnie całkującego przedstawiony jest na rys. 1.11.
W przypadku szczególnym kiedy wejście i wyjście są sygnałami
jednoimiennymi, współczynnik k ma wymiar odwrotności czasu. Równanie (1.26)
przedstawia się wówczas w postaci
T
której odpowiada transmitancja
dy
= x,
dt
G( s) =
(1.30)
y( s) 1
=
,
x ( s) Ts
(1.31)
gdzie T jest stałą czasową akcji całkującej lub krócej - stałą całkowania. Stałą tę można
odszukać na wykresie odpowiedzi skokowej zgodnie z rys. 1.11b.
Rys. 1.11. Odpowiedzi skokowe członu całkującego: a) G(s)=k/s, b) G(s)=1/Ts
Transmitancja widmowa członu idealnie całkującego
1
Tj ω .
Części rzeczywista i urojona G( jω ):
G( jω ) =
P ( ω ) = 0,
(1.32)
Q (ω ) = −
Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa:
1
.
Tω
L (ω ) = 20 log [P (ω )]2 + [Q (ω )]2 = − 20 log T ω ,
Q (ω )
ϕ (ω ) = arc tg
= arctg ( − ∞ ) = − 90o .
P (ω )
Wykresy G( jω ), L (ω ) i ϕ (ω ) podano na rys. 1.12.
(1.33)
(1.34)
(1.35)
Rys. 1. 12. Charakterystyki idealnego członu całkującego: a) charakterystyka
amplitudowo-fazowa, b) logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Przykład . Zespół rozdzielacz - siłownik hydrauliczny
Schemat elementu przedstawiono na rys. 1.13. Wielkością wejściową jest przesunięcie
x tłoczków rozdzielacza, wielkością wyjściową jest przesunięcie y tłoczyska siłownika.
y
x
pz
I
ps
I
A
I-I
b
Rys. 1.13. Zespół rozdzielacz-siłownik hydrauliczny
Założenia:
a) pz = const, ps = const.
b) obciążenie siłownika ma wartość zerową,
c) prędkość przepływu oleju przez szczeliny rozdzielacza v = const (wynika to z
założeń a i b).
Stan ustalony y = const zachodzi dla x = 0. Charakterystyka statyczna ma kształt
podany na rys. .
Stan dynamiczny:
Q= A
dy
,
dx
gdzie Q - natężenie przepływu oleju przez szczeliny rozdzielacza, A - powierzchnia efektywna
tłoka siłownika.
Uwzględniając równanie ciągłości
Q = xbv
(xb jest przekrojem szczeliny przepływowej) otrzymamy
T
dy
= x,
dt
gdzie T = A/bv.
Transmitancja elementu:
G( s) =
y( s) 1
=
.
x ( s) Ts
Człon całkujący z opóźnieniem (człon całkujący rzeczywisty) charakteryzuje się
równaniem różniczkowym
d 2 y dy
(1.36)
T 2 +
= k⋅ x
dt
dt
Jego transmitancja operatorowa ma postać
k
G(s) =
(1.37)
s(Ts + 1)
zaś wzór na charakterystykę skokową znajdziemy w tablicy przekształceń Laplace’a
t
−




k
T
h(t ) = L− 1  2
=
k
t
−
T
(
1
−
e
)
(1.38)


 s (Ts + 1) 


Wykres tej charakterystyki przedstawiony jest na rys. 1.14.
k=1
T=3
h(t)
15
G(s)=
k
s(1+Ts)
10
kt
5
1(t)
0
T
5
10
15
t[sek]
Rys. 1.14. Charakterystyka skokowa członu całkującego z opóźnieniem
Charakterystyki częstotliwościowe można wyrazić następująco:
− transmitancja widmowa
k
− jk (1 − jω T )
− jk − ω kT
G ( jω ) =
=
=
jω (1 + jTω ) ω (1 + jω T )(1 − jω T ) ω (1 + ω 2T 2 )
− części rzeczywista i urojona G( jω ):
kT
k
P (ω ) = −
, Q(ω ) = − j
2 2
1+ ω T
ω (1 + ω 2T 2 )
− moduł M(ω)
k
M (ω ) = P 2 (ω ) + Q 2 (ω ) =
,
ω 1 + (ω T ) 2
− logarytmiczna charakterystyka fazowa
Q(ω )
π
ϕ (ω ) = arc tg
= − − arc tg(ω T ) ,
P (ω )
2
− zaś logarytmiczna charakterystyka amplitudowa L(ω)
k
L(ω ) = 20 log M (ω ) = 20 log
.
ω 1 + (ω T ) 2
Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe członu całkującego
przedstawione są na rys. 1.15 i 1.16.
G(s)=
k
s(Ts+1)
-8
(1.40)
(1.41)
(1.42)
(1.43)
rzeczywistego
Q(ω )
k=2, T=5
-10
(1.39)
50
-6
-4
-2
2
-kT
0
P(ω )
Imag Axis
-50
-100
-150
Real Axis
-200
Rys. 1.15. Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu całkującego rzeczywistego
Gain dB
50
0
-50
10
-2
10
-1
10 0
10 1
Phase deg
-180 -150 -120 -90
-60
Frequency (rad/sec)
-2
10
-1
Frequency (rad/sec)
10
0
10
1
Rys. 1.16. Charakterystyki logarytmiczne członu całkującego rzeczywistego
Przykład. Silnik dwufazowy asynchroniczny.
Dwufazowe silniki asynchroniczne często wykorzystuje się w UAR. Najczęściej
znajdują zastosowanie w układach śledzących małej mocy. Wykonywane są zazwyczaj w
dwóch wersjach: z kubkowym, zazwyczaj aluminiowym wirnikiem oraz z
ferromagnetycznym wirnikiem, posiadającym krótko zwarte uzwojenie. Pierwszy typ silnika
ma co prawda mniejszą sprawność energetyczną, jednak mała bezwładność i lepsze parametry
regulacji prędkości obrotowej preferują jego stosowanie. Moc omawianych silników nie
przekracza 100÷200 W. Schemat elektryczny
silnika dwufazowego przedstawiony jest na rys.1.17.
Zakładając stałą amplitudę napięcia wzbudzenia można napisać
dα
1
1
= Ux −
M ,
dt ce
ce cM
gdzie: dα / dt = ω s - prędkość obrotowa silnika, [rad/s]; α - kąt obrotu wału silnika, [rad];
Ux – wartość skuteczna napięcia na uzwojeniu sterującym silnika, [V]; M – moment
napędowy silnika, [Nm]; ce, cM – współczynniki stałe silnika, [V⋅s/rad]; [N⋅m/V].
Równocześnie możemy napisać równanie momentów
d 2α
M = J 2 + M st
dt
gdzie: J – moment bezwładności, [kg⋅m2]; Mst – statyczny moment oporu.
Rys. 1.17. Asynchroniczny silnik dwufazowy jako przykład członu całkującego z inercją
U w = const
uzwojenie
wzbudzenia
Cw
Ux
α
M
uzwojenie
sterujące
Łącząc powyższe równania możemy zapisać ostateczne równanie silnika
dwufazowego w postaci operatorowej
(Tem s + 1) ⋅ s ⋅ α ( s ) = k sU x ( s) − kem M st ( s) ,
gdzie: ks =1/ce, kem=1/cecM – współczynniki przejścia silnika, odpowiednio ze względu na
sterowanie, i na zakłócenie; Tem= J/(cecM) – elektromechaniczna stała czasowa, [s];
Transmitancja przejścia silnika przyjmie postać:
α (s)
ks

Gs ( s ) =
=
tor sterowania 
U x ( s ) s(Tem s + 1)


α ( s)
− kem
Gs . zak ( s) =
=
tor zakócenia 

M st ( s ) s (Tem s + 1)
Elementy różniczkujące
Idealny element różniczkujący
Równanie idealnego elementu różniczkującego jest następujące:
dx
,
dt
y= k
skąd wynika transmitancja
G( s) =
(1.43)
y( s)
= ks .
x ( s)
(1.44)
Współczynnik k definiuje się jako:
k=
y
dx
dt
Odpowiedź na wymuszenie skokowe x(t ) = 1(t ) ⋅ a jest funkcją Diraca pomnożoną
przez k oraz przez amplitudę skoku a. Mamy bowiem
y ( s ) = k ⋅ s ⋅ x( s ) = ka.
Na podstawie tablicy przekształceń Laplace’a
y (t ) = L− 1[ y ( s )] = k ⋅ a ⋅ δ (t ),
(1.45)
a zatem
 0 dla t < 0 ,

y (t ) =  ∞ dla t = 0 ,
 0 dla t > 0 .

(1.46)
W przypadku szczególnym, kiedy wejście i wyjście są sygnałami jednoimiennymi,
równanie (1.43) zapisuje się w postaci
y= T
której odpowiada transmitancja
dx
,
dt
(1.47)
y( s)
= Ts ,
x ( s)
G( s) =
(1.48)
gdzie T jest stałą czasową akcji różniczkującej lub krócej - stałą różniczkowania.
Odpowiedź na wymuszenie skokowe jest w tym przypadku funkcją Diraca pomnożoną
przez T⋅ a, a zatem jest również opisana przez (1.45).
Transmitancja widmowa idealnego elementu różniczkującego, wyznaczona na
podstawie transmitancji operatorowej (48) jest następująca:
G( jω ) = Tj ω .
Części rzeczywista i urojona G( jω ) :
P ( ω ) = 0,
(1.49)
Q (ω ) = T ω .
(1.50)
Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa:
L (ω ) = 20 log [P (ω )]2 + [Q (ω )]2 = 20 log T ω ,
(1.51)
Q (ω )
= arctg ( + ∞ ) = 90o .
P (ω )
(1.52)
ϕ (ω ) = arctg
Wykresy G ( jω ), L(ω ) i ϕ (ω ) podano na rys.1.18.
Rys.1.18. Charakterystyki częstotliwościowe idealnego członu różniczkującego:
a) charakterystyka a-f, b) logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa
Rzeczywisty człon różniczkujący
Ogólna postać równania rzeczywistego elementu różniczkującego jest następująca:
T
skąd wynika transmitancja
dy
dx
+ y= k
,
dt
dt
(1.53)
y( s)
ks
=
,
x ( s) Ts + 1
G( s) =
(1.54)
gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności, a T stałą czasową członu.
Jeżeli wejście i wyjście są sygnałami jednoimiennymi, równanie różniczkowe zapisuje
się w postaci
T
której odpowiada transmitancja
G( s) =
dy
dx
+ y= T
,
dt
dt
(1.55)
y( s)
Ts
=
.
x ( s) Ts + 1
(1.56)
Charakterystyka skokowa wyznaczona z transmitancji (1.54) na podstawie tablicy
przekształceń Laplace’a :
ks
ka
k
1
y(s) =
x( s) =
= a
,
Ts + 1
Ts + 1 T s + 1
(1.57)
T
k
y (t ) = L− 1[ y ( s)] = a ⋅ e − t / T .
T
Wyznaczając tę odpowiedź z transmitancji ( 1.56) otrzymamy:
y (t ) = a ⋅ e − t / T .
(1.58)
Wykres y(t) przedstawiono na rys. 1.19.
G(s)=
h(t)
k
T
2
ks
Ts+1
T=2, k=4
1.5
1(t)
1
0.5
T
0
t
2
4
6
8
10
Rys. 1.19. Odpowiedź rzeczywistego członu różniczkującego na wymuszenie skokowe
Transmitancja widmowa rzeczywistego elementu różniczkującego, wyznaczona na
podstawie transmitancji operatorowej (1.56) ma postać
G( jω ) =
Części rzeczywista i urojona G( jω ) :
P (ω ) =
Tj ω
.
Tj ω + 1
T 2ω 2
,
T 2ω 2 + 1
(1.59)
Q (ω ) =
Tω
.
T ω2+1
(1.60)
2
1 
Wykres G( jω ) ma postać półokręgu o średnicy 1, ze środkiem w punkcie  , j 0  (rys.
2 
1.20).
Imag Axis
0.6
G(jω )
0.4
0.2
ω=0
0
Rys. 1.20.
rzeczywistego
0
ω=h
0.2
0.4
0.6
Real Axis
Charakterystyka
0.8
1
amplitudowo-fazowa
Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa:
L (ω ) = 20 log [P (ω )]2 + [Q (ω )]2 = 20 log
członu
różniczkującego
Tω
T 2ω 2 + 1
,
(1.61)
L (ω ) = 20 log T ω − 20 log T ω + 1,
2
ϕ (ω ) = arctg
2
Q(ω )
 1 

= arctg 
 = 90 − arctg(Tω ).
P (ω )
T
ω


(1.62)
Wykresy L(ω ) i ϕ (ω ) przedstawiono na rys. 1.21. Liniami ciągłymi zaznaczono
charakterystyki rzeczywiste, a liniami kreskowanymi charakterystyki asymptotyczne, przy
czym asymptotyczną charakterystykę fazową narysowano zgodnie z aproksymacją ϕ b (ω )
0
1
T
T=2
Gain dB
ω s=
-20
+20dB/dek
-40
10
-2
10
-1
ϕ (ω )
ω s 10 0
Frequency (rad/sec)
10
1
10
2
90
ϕ (ω )
Phase deg
60
ϕ b( ω )
30
0
10 -2
10 -1
ωs
10 0
Frequency (rad/sec)
Rys. 1.21. Charakterystyki logarytmiczne:
różniczkującego rzeczywistego
10 1
amplitudowa
10 2
i
fazowa
członu
Przykład. Tłumik hydrauliczny ze sprężyną
Schemat elementu podano na rys. 1.22. Wielkością wejściową jest przesunięcie x
cylindra tłumika, wielkością wyjściową jest przesunięcie y tłoczka tego tłumika.
Stan ustalony zachodzi wówczas, kiedy sprężyna nie jest napięta, tzn. kiedy nie
wywiera żadnej siły na tłoczek i nie powoduje przesuwania się tłoczka względem cylindra.
równanie charakterystyki statycznej jest więc
y= 0
dla wszystkich x (ściśle: dla wszystkich x nie powodujących oparcia się tłoczka o dno
cylindra
W stanach nieustalonych siła wywierana przez ugięta sprężynę równoważona jest siłą
oporu hydraulicznego tłumika, proporcjonalną do prędkości vw względem cylindra
 dx dy 
cs y = ct vw = ct 
−
,
 dt dt 
gdzie cs - sztywność sprężyny, ct - stała tłumika, proporcjonalna do powierzchni A tłoczka,
odwrotnie proporcjonalna do przekroju f szczeliny przepływowej oraz zależna od lepkości
cieczy i kształtu szczeliny przepływowej.
Oznaczając stałą czasową elementu
T =
ct
cs
otrzymamy równanie odpowiadające postaci ogólnej
T
dy
dx
+ y= T
dt
dt
oraz transmitancję
G( s) =
y( s)
Ts
=
.
x ( s) Ts + 1
Skrócony opis programu CODAS-II
Wprowadzenie
Pakiet oprogramowania CODAS-II służy do symulacji i badania własności
dynamicznych jednowymiarowych UAR. Oprócz ciągłych układów liniowych możliwe jest
modelowanie układów impulsowych oraz układów nieliniowych. Na rys.1.23 przedstawione
są dwie struktury UAR, które dopuszcza CODAS-II.
a)
We
K
GC(s)
GP(s)
e-sTD
b)
We
K
Wy
Wy
GP(s)
e
-sT
D
GC(s)
Rys. 1.23. Struktura liniowych UAR symulowanych przez CODAS-II: a) regulator w
torze głównym (icontroller in forward path), b) regulator w pętli sprzężenia zwrotnego
(controller in feedback path); K – wzmacniacz o regulowanym współczynniku wzmocnienia
(gain), e − sTD - człon opóźniający z regulowanym czasem opóźnienia TD, GP(s) – transmitancja
przejścia obiektu regulacji, GC(s) – transmitancja regulatora.
Struktura
a)
pozwala badać zmiany wielkości wyjściowej pod wpływem zmian wielkości
zadanej,
a struktura
b)
zmiany wielkości wyjściowej pod wpływem zakłóceń działających na wejście
obiektu regulacji.
Dodatkowe możliwości konfigurowania struktury UAR
1. Regulator Gc(s) można ze struktury wyłączyć.
2. Pętlę sprzężenia zwrotnego można zamknąć lub rozewrzeć.
3. Przy definiowaniu transmitancji można użyć liter: A, B, C, D, którym można przypisać
dowolną wartość liczbową.
UWAGA! Po uruchomieniu programu CODAS-II ustawiana jest konfiguracja początkowa:
K=1, TD= 0, układ zamknięty z regulatorem w torze głównym.
Uruchomienie programu. Należy wykonać program codas.bat znajdujący się w pliku
CODAS.
-
Wygląd ekranu. Po uruchomieniu pakietu CODAS-II ukaże się na ekranie pięć okien:
górny pasek (menu) - zawiera informację o roli poszczególnych klawiszy funkcyjnych
Fi akceptowanych przez program,
okno robocze główne (położone centralnie) - po uruchomieniu jest to dziedzina
czasowa,
okno robocze pomocnicze (położone w prawym górnym rogu, po uruchomieniu wyłączone) - po jego aktywizacji wstępnie mamy tam płaszczyznę fazową,
okno informacyjne (położone w prawym dolnym rogu); zawiera informację o
konfiguracji symulowanego układu lub o parametrach A, B, C i D, o których będzie
mowa w dalszej części,
okno (pasek) dialogowe położone w dolnej części ekranu; służy do określania
transmitancji przejścia obiektu Gp (s), regulatora Gc (s), współczynnika wzmocnienia K i
czasu opóźnienia TD. Aktualne postacie i wartości tych parametrów są cały czas
wyświetlane w tym oknie.
Możliwości badania układu
Przy pomocy pakietu CODAS II możemy symulować pracę UAR poprzez wyznaczanie:
charakterystyk czasowych [F7] time domain,
charakterystyk częstotliwościowych [F8] frequency domain
linii pierwiastkowych [F9] roots locus.
Aktualną strukturę układu (system) a także ustalenia dotyczące ekranu (enviroment) można
zapamiętać na dysku [S] w celu późniejszego ich wczytania [L].
Określanie struktury UAR
1. Wybór struktury układu. Wstępna konfiguracja nie zawiera regulatora. Chcąc go dołączyć
należy nacisnąć klawisz [F3]. Jeśli symulowaliśmy układ z regulatorem a następnie
chcemy regulator wyłączyć naciskamy klawisz [F4]. Następnie określamy miejsce
włączenia regulatora. Naciskamy klawisz [B]. Opcja [B,2] daje możliwość wyboru
struktury a) (rys. 1) Compensator in forward, lub struktury b) - Compensator in feedback.
Przełączenie między opcjami uzyskujemy kolejnymi naciśnięciami klawisza [Enter].
Pętlę sprzężenia zwrotnego zamykamy naciskając klawisz [C] (closed) lub otwieramy
klawiszem [O] (open).
2.
Określenie transmitancji obiektu i regulatora. Edycji poddawana jest transmitancja
podświetlona w danej chwili. Przełączanie między transmitancjami dokonuje się
klawiszami [Alt+F3/Alt+F4]. Chcąc zadać konkretną postać licznika transmitancji
należy po uprzednim jej podświetleniu nacisnąć klawisz [N] nominator i wpisać
odpowiedni wielomian. Transmitancja może być zapisana w sposób ogólny z użyciem
liter a, b, c, d. Zasady pisania wielomianu ilustruje przykład:
a) s(2s+1)
b) 5s^2+3s+1
c) as^3+bs^2+c
Wartość współczynników a, b, c, d wpisuje się po naciśnięciu Alt+A, Alt+B, Alt+C lub
Alt+D. W celu wpisania mianownika transmitancji naciskamy klawisz [D] denominator
i wpisujemy odpowiedni wielomian zgodnie z podanymi regułami.
Wykreślanie charakterystyk czasowych
Po określeniu struktury UAR i jego parametrów należy wybrać rodzaj funkcji
wymuszającej. Naciśnięciem klawisza [R] stwarzamy możliwość wyboru jednego z
następujących sygnałów wejściowych
unit step - skok jednostkowy
unit ramp - wymuszenie liniowo narastające
impuls - impuls Diraca
user def. - funkcja własna (zdefiniowana po naciśnięciu klawisza[ I])
Klawiszem [U] możemy spowodować, że na wykresie oprócz charakterystyki czasowej
znajdzie się również sygnał wymuszający.
Proces liczenia i wyświetlania wyniku symulacji na ekranie uruchamiamy klawiszem
[G].
Istnieje możliwość przeskalowania osi wykresu. Wciśnięcie klawisza [X] spowoduje
zapytanie programu o xmin, a po jego wprowadzeniu o xmax. Akceptacja wczytanych
parametrów odbywa się klawiszem [Enter]. Analogicznie postępujemy chcąc przeskalować
oś Y.
Mazanie wykresu (ekranu) dokonuje się klawiszem [W].
Wciśnięcie klawisza [@] powoduje pojawienie się kursora (krzyżyka) na wykresie. Jego
przemieszczaniu się po krzywej charakterystyki [lewy i prawy Shift] towarzyszy
wyświetlanie współrzędnych aktualnego punktu wykresu. Wartości te wyświetlane są w
dolnym oknie ekranu.
Wykreślanie charakterystyk częstotliwościowych
Po określeniu struktury układu i jego parametrów należy klawiszem [F8] uaktywnić
obliczenia w dziedzinie częstotliwościowej (płaszczyznę fazową). Przełączenia między
głównym oknem a pomocniczym wykonujemy klawiszem [F2].
Następnie ustalamy jednostkę, w której podawana będzie częstotliwość sygnału
wymuszającego. Naciskając [B,5] - frequency units uzyskujemy możliwość wyboru rad/s lub
Hz. Po włączeniu programu wstępnie ustawiane są rad/s.
Ustalenie zakresu zmian częstotliwości sygnału wejściowego możliwe jest po
naciśnięciu klawisza [F]. Wstępnie zakres ten wynosi 0.2 - 8 rad/s.
Klawiszem [I] możemy wybrać jeden z dwóch sposobów zmian (przyrostu)
częstotliwości sygnału wymuszającego. Wstępnie ustawiana jest zależność logarytmiczna.
Można zamienić na liniową.
Wyboru typu charakterystyki dokonujemy klawiszem [V]. Dostępne są charakterystyki:
1 - Nyquista
2 - odwrotna Nyquista
3 - Nicholsa
4 - amplitudowa 5 - fazowa
6 - amplitudowo-fazowa.
Rysowanie wykresu, mazanie ekranu, skalowanie współrzędnych odbywa się
analogicznie jak w przypadku charakterystyk czasowych.
Wciśnięcie klawisza [@] powoduje pojawienie się kursora (krzyżyka) na wykresie. Jego
przemieszczaniu się po wykresie [lewy i prawy Shift] towarzyszy wyświetlanie
współrzędnych aktualnego punktu wykresu oraz częstotliwość, dla której został uzyskany i
tłumienie.
Wciśnięcie klawisza [.] powoduje pojawienie się kursora, który można przemieszczać
po całym ekranie strzałkami. W dolnym oknie ekranu podawane są wówczas współrzędne
aktualnego położenia kursora (za wyjątkiem wykresów Bode'go).
Dodatkowe możliwości pakietu Codas II
Wciśnięcie klawisza [/] powoduje pojawienie się kursora na ekranie. Istnieje możliwość
dowolnego przemieszczania go po ekranie strzałkami. Można przy jego pomocy nanieść
punkt na wykresie (klawiszem [M]) lub wstawić opis tekstowy wykresu (klawiszem [T]).
F1 - pomoc (help) dotycząca rozkazów i działań arytmetycznych.
F10 - ZAKOŃCZENIE PRACY
Alt+A,... D - zmiana odpowiednio parametru A, B, C, D które mogą być stosowane we
wzorach transmitancji, funkcji wejściowych i innych.
Alt+P - przełącza rodzaj informacji wyświetlanej w prawym dolnym oknie. Wstępnie
wyświetlane są tam informacje o symulowanym układzie. Po przełączeniu
wyświetlana będzie aktualna wartość współczynników A, B, C, D.
=
- kalkulator.
Uwaga ! Niniejszy opis dotyczy wybranych zagadnień modelowania liniowych układów
UAR. Rzeczywiste możliwości pakietu Codas II są znacznie większe, zwłaszcza w
zakresie modelowania układów impulsowych i nieliniowych.