Badanie przebiegu zmienności funkcji 1. Określić dziedzinę funkcji i

Badanie przebiegu zmienności funkcji
1. Określić dziedzinę funkcji i ustalić jej podstawowe własności ( parzystość,
nieparzystość, okresowość)
2. Wyznaczyć istniejące asymptoty (pionowe, poziome, ukośne).
3. Wyznaczyć wszystkie punkty charakterystyczne tzn.: miejsca zerowe funkcji,
pochodnej i drugie j pochodnej, asymptoty pionowe.
4. Zbudować tabelkę przebiegu funkcji zawierając w niej wszystkie dotychczas zebrane
informacje ustalając ekstrema lokalne, punkty przegięcia, przedziały monotoniczności
i wypukłości funkcji.
5. Na podstawie powyŜszej tabelki naszkicować wykres funkcji.
Przykład
x3
y= 2
x −1
• Dziedziną tej funkcji jest zbiór D = R \ {−1,1} .
•
•
•
•
•
•
(− x)3
x3
.
=
−
(− x ) 2 − 1
x2 −1
Są dwie asymptoty pionowe obustronne x = −1 i x = 1 , bo
x3
x3
x3
x3
lim+ 2
= +∞, lim− 2
= −∞, lim+ 2
= +∞, lim− 2
= −∞ .
x → −1 x − 1
x → −1 x − 1
x →1 x − 1
x →1 x − 1
x3
Funkcja nie ma asymptoty poziomej, poniewaŜ lim 2
= ±∞ .
x → ±∞ x − 1
x3
2
x3
Istnieje jedna asymptota ukośna y = x , bo a = lim x − 1 = lim 3
=1 i
x → ±∞
x → ±∞ x − x
x
 x3

x3 − x3 + x
b = lim  2
− x  = lim
=0.
2
x → ±∞ x − 1

 x→ ±∞ x − 1
Funkcja jest nieparzysta, poniewaŜ
Miejscem zerowym funkcji jest x = 0 .
x 4 − 3x 2
Obliczamy pochodną y ' = 2
i wyznaczmy jej miejsca zerowe czyli
( x − 1) 2
x = 0∨ x = − 3 ∨ x = 3 .
•
•
•
Obliczamy drugą pochodną y ' ' =
2 x3 + 6 x
i wyznaczamy jej miejsca zerowe czyli
( x 2 − 1)3
x =0.
Ostatecznie, więc po uporządkowaniu punktów charakterystycznych w kolejności
rosnącej mamy: − 3 ,−1,0,1, 3 .
Budujemy następującą tabelkę.
y = f ' ( x)
y = f ' ' ( x)
(−∞,− 3 )
− 3
+
-
0
-
(− 3 ,−1) − 1 (−1,0) 0
-
X
X
+
0
0
(0,1)
-
1 (1, 3 )
X
X
+
3
0
+
( 3 , ∞)
+
+
y = f ( x)
−
3
3
2
max
Symbol
Symbol
0
X
X
p
p
3
3
2
min
oznacza, Ŝe funkcja jest w tym przedziale rosnąca i wypukła w górę.
oznacza, Ŝe funkcja jest w tym przedziale malejąca i wypukła w górę.
Symbol
oznacza, Ŝe funkcja jest w tym przedziale malejąca i wypukła w dół.
Symbol
oznacza, Ŝe funkcja jest w tym przedziale rosnąca i wypukła w dół.