Asymptoty Asymptota funkcji - prosta, do której zbliża się wykres

Asymptoty
Asymptota funkcji - prosta, do której zbliża się wykres danej funkcji, ale nigdy go nie
przetnie.
• pionowa x = x0 (x0 - liczba)
• pozioma y = y0 (y0 - liczba)
• ukośna y = Ax + B , A, B - liczby
Przykłady funkcji elementarnych, które mają asymptoty
1. y = ex ma asymptotę poziomą lewostronną y = 0 (czyli w −∞)
2. y = ln x ma asymptotę pionową prawostronną x = 0 (bo wykres ln x dla x > 0)
Asymptota pionowa x = x0
Asymptota pionowa lewostronna, jeśli
lim f (x) = ±∞.
x→x−
0
Asymptota pionowa prawostronna, gdy
lim f (x) = ±∞.
x→x+
0
Asymptota pionowa może istnieć w punktach x0 , które do dziedziny nie należą, ale ich
otoczenia należą do dziedziny, czyli np. gdy
D = (−∞, x0 ), D = (x0 , ∞), D = (x0 , x1 ),
Wówczas też granice liczymy tylko z tych stron, które zawierają się w dziedzinie funkcji.
Przykłady
1. Funkcja y = ln x ma asymptotę pionową prawostronną x = 0. ( wynika z wykresu)
2. Funkcja y =
1
ma asymptotę pionową x = 1 (obustronną).
x−1
Dziedzina D = R \ {1} = (−∞, 1) ∪ (1, ∞), zatem sprawdzamy istnienie asymptoty
pionowej w punkcie 1 :
lim+
x→1
1
1
= [ + ] = +∞,
x−1
0
lim−
x→1
1
1
= [ − ] = −∞.
x−1
0
(znak każdego zera w mianowniku odczytujemy z wykresu funkcji y = x − 1)
1
3. Funkcja y =
−2
ma asymptotę pionową x = −3 (obustronną).
x+3
Dziedzina D = R \ {−3} = (−∞, −3) ∪ (−3, ∞), zatem sprawdzamy istnienie asymptoty
pionowej w punkcie −3 :
lim +
x→−3
−2
−2
= [ + ] = −∞,
x+3
0
lim −
x→−3
−2
−2
= [ − ] = +∞.
x+3
0
(znak każdego zera w mianowniku odczytujemy z wykresu funkcji y = x + 3)
4. Funkcja y =
2x
ma asymptotę pionową x = −2 i x = 2 (obustronną).
−4
x2
Dziedzina D = R \ {−2, 2} = (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, ∞), zatem sprawdzamy istnienie
asymptoty pionowej w punkcie −2 i x = 2.
Funkcja f (x) ma as. pionową obustronną x = −2, bo:
lim +
x→−2
−4
2x
= [ − ] = +∞,
−4
0
x2
lim −
x→−2
−4
2x
= [ + ] = −∞.
−4
0
x2
Funkcja f (x) ma as. pionową obustronną x = 2, bo:
lim+
x→2
2x
4
= [ + ] = +∞,
−4
0
x2
lim−
x→2
2x
4
= [ − ] = −∞.
−4
0
x2
(znak każdego zera w mianowniku odczytujemy z wykresu funkcji y = x2 − 4)
Asymptota pozioma y = y0
Asymptota pozioma lewostronna y = y0 , gdy
lim f (x) = y0 .
x→−∞
Asymptota pozioma prawostronna y = y0 , gdy
lim f (x) = y0
x→∞
Jeżeli któraś z granic jest nieskończonością, to odpowiednia asymptota pozioma nie istnieje.
Asymptota pozioma w ∞ albo w −∞ może istnieć, o ile ∞ albo −∞ (odpowiednio) należy
do dziedziny funkcji.
Przykłady
1. Funkcja y = ex ma asymptotę poziomą lewostronną y = 0,
bo
lim ex = [e−∞ ] = 0.
x→−∞
2
1
ma asymptotę poziomą y = 0 (obustronną).
x
Dziedzina D = R \ {0} = (−∞, 0) ∪ (0, ∞), zatem sprawdzamy istnienie asymptoty
poziomej w punkcie +∞ i −∞ :
2. Funkcja y =
1
1
=[
] = 0,
x→−∞ x
−∞
lim
1
1
=[
] = 0.
x→+∞ x
+∞
lim
Więcej przykładów nie liczymy, bo asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej.
Asymptota ukośna y = Ax + B
Asymptota ukośna ma wzór y = Ax + B, gdzie stałe A i B wyliczamy z granic
f (x)
6= ±∞,
x
A = lim
x→±∞
to
B = lim (f (x) − Ax).
x→±∞
Jeżeli A jest ∞ albo −∞, to asymptota ukośna nie istnieje i granicy określającej B już nie
wyliczamy.
Gdy A = 0, to asymptota ukośna=asymptota pozioma. Wtedy
B = lim (f (x) − 0 · x) = lim f (x),
x→±∞
x→±∞
i jest to granica wyliczana przy asymptocie poziomej.
Uwaga. W ∞ i −∞ mogą być inne wzory asymptot ukośnych, zatem należy te granice
wyliczać oddzielnie. Oczywiście, o ile dana ∞ należy do dziedziny funkcji f (x).
Przykłady
1. y = ex ma as. ukośną lewą y=0 (tzn. poziomą lewą)
D = R, więc sprawdzamy istnienie asymptot poziomych w −∞ i w +∞.
Asymptota w −∞.
0
ex
=[
] = 0 (czyli asymptota ukośna = as. pozioma)
x→−∞ x
−∞
B = lim (f (x) − 0 · x) = lim f (x) = lim ex = 0.
A = lim
x→−∞
x→−∞
x→−∞
Zatem asymptota ukośna lewa (czyli w −∞) ma wzór : y = 0x + 0 = 0.
Asymptota w +∞.
ex
∞ H
ex
=[
] = lim
= ∞, czyli asymptota ukośna w +∞ nie istnieje.
x→+∞ x
x→+∞ 1
−∞
A = lim
3
2. y =
2x2
ma as. ukośną obustronną y = −2x − 2
1−x
Dziedzina D = R \ {1} = (−∞, 1) ∪ (1, ∞), zatem sprawdzamy istnienie asymptoty
ukośnej w +∞ i −∞.
Sprawdzamy istnienie as. ukośnej w −∞.
2x
∞
f (x)
= lim
=[
] = lim
x→−∞ 1 − x
x→−∞
x→−∞ x
−∞
A = lim
1
x
2
= −2
−1
A nie jest nieskończonością, więc liczymy B
2x2
2x2 2x(1 − x)
2x
B = lim (f (x)−(−2)·x) = lim (
+2x) = lim (
+
) = lim (
)=
x→−∞
x→−∞ 1 − x
x→−∞ 1 − x
x→−∞ 1 − x
1−x
−2.
Zatem wzór asymptoty ukośnej lewej (tzn. w −∞) ma wzór y = −2x − 2.
Sprawdzamy istnienie as. ukośnej w +∞. Granice w ∞ są tak samo liczone jak w −∞,
zatem y = −2x − 2 jest również asymptotą ukośną prawą.
Zatem y = −2x − 2 jest asymptotą ukośną obustronną funkcji f (x) =
3. y =
2x2
.
1−x
x3
ma as. ukośną obustronną y = 1 (tzn. as. poziomą obustronną)
x3 + 1
Dziedzina D = R \ {−1} = (−∞, −1) ∪ (−1, ∞), zatem sprawdzamy istnienie asymptoty
ukośnej w +∞ i −∞.
Sprawdzamy istnienie as. ukośnej w −∞.
f (x)
x2
∞
1
1
= lim 3
=[
] = lim
= [ ] = 0,
1
x→−∞ x
x→−∞ x + 1
x→−∞ x + 3
−∞
∞
x
A = lim
zatem asymptota ukośna jest as. poziomą. Ponieważ A nie jest nieskończonością, więc
liczymy B
x3
∞
1
B = lim (f (x) − 0 · x) = lim ( 3
) = [ ] = lim (
) = 1.
x→−∞
x→−∞ x + 1
x→−∞
∞
1 + x13
Zatem wzór asymptoty poziomej lewej (tzn. w −∞) ma wzór y = 1.
Sprawdzamy istnienie as. ukośnej w +∞. Granice w ∞ są tak samo liczone jak w −∞,
zatem y = 1 jest również asymptotą ukośną prawą.
Zatem y = 1 jest asymptotą poziomą obustronną funkcji f (x) =
4
x3
.
x3 + 1
Zadanie Zbadać istnienie asymptot funkcji:
a) f (x) =
√
x2
− 1,
x3 + 8
b) f (x) = 2
x −4
Odpowiedzi
a) –as. pionowych brak,
–as. ukośna prawostronna y = x (w ∞) oraz as. ukośna lewostronna y = −x (w −∞);
b) –as. pionowa x = 2 (obustronna),
–as. ukośna y = x (obustronna)
5