Ekstrema funkcji. Klasyczne twierdzenia dotyczące funkcji

Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 7)
Ekstrema funkcji. Klasyczne twierdzenia dotyczące funkcji różniczkowalnych
Definicja 1. Niech f (x) będzie funkcją określoną w przedziale ha, bi i x0 ∈ (a, b). Jeśli istnieje takie
δ > 0, że dla dowolnego x spełniającego warunek |x − x0 | < δ zachodzi nierówność f (x) 6 f (x0 )
(f (x) > f (x0 )), to mówimy, że f ma maksimum lokalne (minimum lokalne) w punkcie x0 .
Maksimum funkcji i minimum funkcji określamy jednym pojęciem extremum lokalnego.
Stwierdzenie 1. Jeżeli funkcja f (x) określona w przedziale domkniętym ha, bi swój kres górny
(kres dolny) w punkcie x0 ∈ (a, b), to ma w tym punkcie maksimum lokalne (minimum lokalne).
Stwierdzenie 2. Jeżeli funkcja f (x) określona w przedziale ha, bi jest różniczkowalna w punkcie
x0 ∈ (a, b) i ma w tym punkcie ekstremum, to f 0 (x0 ) = 0
Dowód. Załóżmy, że funkcja ta ma w punkcie x0 maksimum (dla minimum rozważania są analogiczne). Wtedy, na mocy definicji, w pewnym otoczeniu (powiedzmy, o promieniu δ) zachodzi
nierówność f (x0 + h) − f (x0 ) < 0. Jednocześnie, wobec faktu, że f (x) ma pochodną w punkcie x0 ,
istnieje granica
f (x0 + h) − f (x0 )
lim
.
h→0
h
Zatem istnieją i są równe granice jednostronne
lim
h→0−
f (x0 + h) − f (x0 )
,
h
lim
h→0+
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
(x0 )
Ponieważ dla h < 0 wyrażenie f (x0 +h)−f
przyjmuje wartości dodatnie, a dla h > 0 – ujemne.
h
Stąd pierwsza z nich jest nieujemna, a druga niedodatnia, co wobec ich równości oznacza, że obie
są równe zero. Ostatecznie więc f 0 (x0 ) = 0.
Przykład funkcji f (x) = xn , gdzie n jest nieparzyste, dowodzi, że twierdzenie odwrotne nie
zachodzi. Ta funkcja ma w punkcie x0 = 0 pochodną równą zero, ale extremów nie ma.
Twierdzenie 3. (M. Rolle)1 Jeżeli f (x) jest funkcją ciągłą w przedziale ha, bi, różniczkowalną w
przedziale (a, b) i f (a) = f (b), to istnieje c ∈ (a, b) takie, że 0 f (c) = 0.
Dowód. Jeżeli f (x) jest stała w przedziale ha, bi, to oczywiście z definicji pochodnej jej wartość
w każdym punkcie przedziału (a, b) jest równa 0. Załóżmy więc, że f (x) nie jest funkcją stałą i
dla pewnych argumentów przyjmuje wartość większą niż f (a). Niech M będzie kresem górnym
tej funkcji. Na podstawie tw. Weierstrassa wiemy, że istnieje c ∈ (a, b) taki, że f (c) jest kresem
górnym funkcji f (x) w przedziale (a, b). Z założenia, ta funkcja jest w punkcie c różniczkowalna.
Zatem na mocy stw. 1 i 2 f (c) = 0. Analogiczne rozumowanie prowadzimy, gdy w pewnym punkcie
z przedziału (a, b) funkcja przyjmuje wartość mniejszą niż f (a).
Twierdzenie 4. (J. L. Lagrange)2 Jeżeli f (x) jest funkcją ciągłą w przedziale ha, bi i różniczko(b)
walną w przedziale (a, b), to istnieje c ∈ (a, b) takie, że f (b)−f
= f 0 (c).
b−a
1
Michel Rolle (1652-1719) - matematyk francuski, samouk, zwrócił na siebie uwagę rozwiązując problem postawiony w 1682 roku: Wskazać cztery liczby takie, że różnice między dwiema dowolnymi są kwadratami liczb
naturalnych oraz suma trzech z nich jest też kwadratem liczby naturalnej.
2
Joseph Louis Lagrange (1736-1813)
1
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 7)
Dowód. Dla dowodu wystarczy rozważyć funkcję g(x) zdefiniowaną wzorem
g(x) = f (a) − f (x) + (x − a)
f (b) − f (a)
(b − a)
Łatwo zauważyć, że jest to funkcja ciągła w przedziale ha, bi i różniczkowalna w (a, b). Poza tym
g(a) = g(b) = 0, więc podstawie tw. Rolle’a dla pewnego c ∈ (a, b) jest g 0 (c) = 0. Ostatnia równość
daje tezę twierdzenia.
Twierdzenie 5. (A. L. Cauchy) Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w przedziale domkniętym ha, bi i
różniczkowalne w przedziale (a, b), to istnieje c ∈ (a, b) taki, że
f (b) − f (a)
f 0 (c)
= 0 .
g(b) − g(a)
g (c)
Dowód. Podobnie, jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia wystarczy zbadać własności funkcji
h(x) zdefiniowanej wzorem
h(x) = f (a) − f (x) + (g(x) − g(a))
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
i skorzystać z twierdzenia Rolle’a.
Twierdzenie 6. a) Jeżeli f (x) jest funkcją różniczkowalną w (a, b) i dla każdego x ∈ (a, b) zachodzi
nierówność f 0 (x) > 0 (f 0 (x) < 0), to funkcja jest rosnąca (malejąca) w tym przedziale.
b) Jeśli funkcja f (x) jest różniczkowalna w punkcie c ∈ (a, b) i rośnie (maleje) w przedziale
(a, b), to f 0 (c) > 0 (f 0 (c) 6 0).
c) Jeśli f 0 (c) > 0 (f 0 (c) < 0), to jest ona rosnąca (malejąca) w pewnym otoczeniu punktu c.
x
x
x 0
Przykład 1. Pochodna funkcji f (x) = ex jest równa ex = e (x−1)
. Zatem w przedziałach
x2
(−∞, 0) i (0, 1) jest malejąca, a w przedziale (1, +∞) jest rosnąca.
Twierdzenie 7. Jeżeli funkcje f (x) i g(x) są ciągłe w przedziale domkniętym [a, b] i różniczkowalne
w (a, b) oraz lim f (a) = lim g(a) = 0, to
x→a+
x→a+
lim
x→a+
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
g(x) x→a+ g (x)
Powyższy wzór ma również zastosowanie, gdy a = ∞. Dkoładniej:
Twierdzenie 8. Jeżeli lim f (a) = 0 = lim g(a), to
x→∞
x→∞
f 0 (x)
f (x)
= lim 0
.
x→∞ g(x)
x→∞ g (x)
lim
Podobnie, gdy mamy do czynienia z granicami w liczniku i mianowniku równym nieskończoności:
Twierdzenie 9. Jeżeli funkcje f (x) i g(x) są określone w przedziale (a, bi i różniczkowalne w
przedziale (a, b) oraz lim f (a) = ∞ = lim g(a), to
x→a+
x→a+
lim
x→a+
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
,
g(x) x→a+ g (x)
o ile ta ostatnia granica istnieje (jest skończona lub nieskończona).
2
Materiały dydaktyczne – Analiza Matematyczna (Wykład 7)
Przykład 2. Wyznaczyć granice:
1
x
; 2. lim a x−1 ; 3. lim (cos x) x ; 4. lim
1. lim ln(1+x)
x
x→0+
x→0+
ex −e−x
;
ln
(e−x)+x−1
x→0
x→0+
tg x−x
;
x→0 x−sin x
5. lim
Definicja 2. Prostą o równaniu y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną, jeśli
lim (f (x) − (ax + b)) = 0 lub
x→∞
lim (f (x) − (ax + b)) = 0
x→−∞
Stwierdzenie 10. Jeżeli prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną funkcji f (x) to a = lim f 0 (x) i
b = lim (f (x) − ax) lub a = lim f 0 (x) i b = lim (f (x) − ax)
x→∞
x→−∞
x→∞
x→−∞
x+1
Przykład 3. Pokazać, że asymptota funkcji f (x) = (x + 2)e x−1 ma równanie y = ex + 4e
Opracował: Czesław Bagiński
3