1. A. Palczewski, Równania różniczkowe zwycza

Równania różniczkowe. Lista nr 1.
Głównymi podręcznikami do wykładu są:
1. A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne;
2. T. Pietrowski, Równania różniczkowe zwyczajne.
Literatura uzupełniająca:
1. W.I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne;
2. A. Pelczar, J. Szarski, Wstęp do teorii równań różniczkowych;
3. L.S. Pontriagin, Równania różniczkowe zwyczajne;
4. N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
1. Dane jest równanie y 0 = f (x, y). Narysować zbiór Ω ⊂ R2 , na którym
określona jest funkcja f . Zbadać, czy dana funkcja y(x) jest rozwiązaniem tego równania, wyznaczyć maksymalny przedział (α, β), na którym jest określona, narysować jej wykres, obliczyć granice, gdy x → α
(x → β).
x
a. y 0 = − 21 y, y(x) = e− 2 ;
b. y 0 = 32 − 2y, y(x) = 16;
c. y 0 = e3x + 2y, y(x) = e3x + 10e2x ;
d. y 0 = 24 − 20y, y(x) = 65 − 65 e−20x ;
p
√
e. y 0 = xy , y(x) = ( x + C)2 , C dowolna stała;
f. y 0 = sin x − y, y(x) = 12 sin x − 21 cos x + 10e−x ;
g. y 0 = 1 + xy , y(x) = x ln x;
aceax
, c-stała;
1+bceax
R
2
2
x 2
= e−x 0 es ds + Ce−x ,
2
2
h. y 0 = y(a − by), y(x) =
i. y 0 = 1 − 2xy, y(x)
C-stała;
j. y 0 = 2 xy , y(x) = −x dla x < 0 i y(x) = x dla x > 0;
k. y 0 = (2 − y)(1 − y), y(x) =
ex −2
.
ex −1
2. Prędkość wzrostu populacji bakterii jest proporcjonalna do masy kolonii. Wiemy, że masa podwaja się co godzinę. W chwili t = 0 masa była
równa 1 gram. Obliczyć masę po 100 minutach.
3. Prędkość spadku temperatury ciała jest proporcjonalna do różnicy między temperaturą ciała i temperaturą otoczenia. W chwili t = 0 ciało
miało temperaturę 100o C, po 20 minutach jego temperatura była równa
60o C. Obliczyć, w jakiej chwili temperatura ciała będzie równa 30o C,
jeśli temperatura otoczenia wynosi 25o C.
4. W dnie naczynia o kształcie walca, wypełnionego wodą, wywiercono
otwór. Niech T1 będzie czasem, w którym wypłynęło 12 wody, a T2
czasem, w którym wypłynęło 34 wody. Obliczyć TT21 .
√
W skazwka: Prędkość wypływu wody v = 2gh, gdzie h jest wysokością słupa cieczy (uzasadnić).
5. Plotka rozprzestrzenia się w populacji liczącej 1000 osób z prędkością
proporcjonalną do iloczynu liczby osób, które już słyszały tę plotkę
oraz liczby osób, które jeszcze nie słyszały tej plotki. Załóżmy, że 5
osób rozprzestrzenia plotkę i po jednym dniu wie o niej już 10 osób. Ile
czasu potrzeba, aby o plotce dowiedziało się 850 osób?
6. Załóżmy teraz, że plotka rozprzestrzenia się w populacji liczącej 1000
osób według prawa Gompertza:
73
dy
= kye− 520 t ,
dt
gdzie y(t) jest liczbą osób, które słyszały plotkę po t dniach. Załóżmy,
że 5 osób rozprzestrzenia plotkę i po jednym dniu wie o niej już 10
osób. Ile czasu potrzeba, aby o plotce dowiedziało się 850 osób?
7. Ciało zamordowanego znaleziono o 19:30. Lekarz sądowy przybył o
20:20 i natychmiast zmierzył temperaturę ciała denata. Wynosiła ona
32, 6o C. Godzinę później, gdy usuwano ciało, jego temperatura wynosiła 31, 4o C. W tym czasie temperatura w pomieszczeniu wynosiła 21o C.
Najbardziej podejrzana osoba, która mogła popełnić to morderstwo Jan G., twierdzi jednak, że jest niewinny. Ma alibi. Po południu był
on w restauracji. O 17:00 miał rozmowę zamiejscową, po której natychmiast opuścił restaurację. Restauracja znajduje się 5 minut na piechotę
od miejsca morderstwa. Czy alibi to jest niepodważalne?
Obrońca Jana G. zauważył, że zamordowany był u lekarza o 16:00 w
dniu śmierci i wtedy jego temperatura wynosiła 38, 3o C. Załóżmy, że
taką temperaturę miał on w chwili śmierci. Czy można dalej podejrzewać, że Jan G. popełnił to morderstwo?
8. Rozwój populacji liczącej M (t) osobników w chwili t można opisać równaniem Verhulsta
M 0 (t) = aM (t) − bM 2 (t)
(dla populacji ludzkiej z dobrym przybliżeniem a = 0, 029, b = 2, 941 ·
10−12 ). Udowodnić, że limt→∞ M (t) = ab . Określić, dla jakiego M M 0 (t)
osiąga maksimum.
9. Epidemia grypy w populacji liczącej 50000 osób rozprzestrzenia się według prawa Gompertza
dy
= kye−0,03t ,
dt
gdzie y(t) oznacza liczbę zarażonych grypą po t dniach. Załóżmy, że
na początku było 100 chorych, a po 10 dniach - 500. Kiedy połowa
populacji będzie zarażona?
10. Wykazać, że równanie y 0 = f (ax + by + c), a, b, c ∈ R przez podstawienie z = ax + by + c można sprowadzić do równania o zmiennych
rozdzielonych.
11. Funkcję f (x, y) nazywamy jednorodną, jeśli f (λx, λy) = λf (x, y), dla
każdego x, y, λ ∈ R. Równanie y 0 = f (x, y) nazywamy jednorodnym,
jeśli f jest funkcja jednorodną. Wykazać, że wprowadzając nowa funkcje
niewiadomą u = xy równanie jednorodne sprowadza się do do równania
o zmiennych rozdzielonych.
12. Wykazać, że równanie Bernoulliego y 0 = P (x)y + Q(x)y m , (P, Q zadane
funkcje, m ∈ R) podstawiając z = y 1−m można sprowadzić do równania
liniowego.
Egzamin będzie się składał z części pisemnej (6 zadań, 90 minut) oraz
części ustnej.