docCałki po trajektoriach Feynmana
download 
Reklamacja Transkrypt
Całki po trajektoriach Feynmana
Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Całki po trajektoriach Feynmana Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Seminarium Fizyki Teoretycznej 14 stycznia 2008 Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Analiza wymiarowa Doświadczenie Younga Żaba W którym kierunku ucieka żaba przed młotkiem? Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Analiza wymiarowa Doświadczenie Younga Żaba W którym kierunku ucieka żaba przed młotkiem? We wszystkich kierunkach równocześnie! Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Analiza wymiarowa Doświadczenie Younga 1 Motywacja Analiza wymiarowa Doświadczenie Younga 2 Od równania Schrödingera do całek Feynmana Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna 3 Potencjał wektorowy Doświadczenie Aharonova-Bohma Monopol Diraca 4 Zakończenie Przejście do mechaniki klasycznej Twórcy Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Analiza wymiarowa Doświadczenie Younga Analiza wymiarowa Stała Diraca (h kreślone) ~= Piotr Migdał h = 1.054571628(53) × 10−34 J · s 2π Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Analiza wymiarowa Doświadczenie Younga Analiza wymiarowa Stała Diraca (h kreślone) ~= h = 1.054571628(53) × 10−34 J · s 2π W jakich miejscach mechaniki kwantowej pojawia się ~? Zależność energii od częstości kołowej E = ~ω, Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Analiza wymiarowa Doświadczenie Younga Analiza wymiarowa Stała Diraca (h kreślone) ~= h = 1.054571628(53) × 10−34 J · s 2π W jakich miejscach mechaniki kwantowej pojawia się ~? Zależność energii od częstości kołowej E = ~ω, Kwant rzutu momentu pędu oraz kwant zmiany rzutu spinu ~lz oraz ~sz , Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Analiza wymiarowa Doświadczenie Younga Analiza wymiarowa Stała Diraca (h kreślone) ~= h = 1.054571628(53) × 10−34 J · s 2π W jakich miejscach mechaniki kwantowej pojawia się ~? Zależność energii od częstości kołowej E = ~ω, Kwant rzutu momentu pędu oraz kwant zmiany rzutu spinu ~lz oraz ~sz , RT Zależność amplitudy od działania S[x(t)] = 0 dtL(x, ẋ, t) Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Analiza wymiarowa Doświadczenie Younga Analiza wymiarowa Stała Diraca (h kreślone) ~= h = 1.054571628(53) × 10−34 J · s 2π W jakich miejscach mechaniki kwantowej pojawia się ~? Zależność energii od częstości kołowej E = ~ω, Kwant rzutu momentu pędu oraz kwant zmiany rzutu spinu ~lz oraz ~sz , RT Zależność amplitudy od działania S[x(t)] = 0 dtL(x, ẋ, t) exp( ~i S[x(t)]). Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Analiza wymiarowa Doświadczenie Younga Doświadczenie Younga x K(x) y Amplituda prawdopodobieństwa dotarcia światła do punktu x K (x) = Kgóra + Kdół Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Analiza wymiarowa Doświadczenie Younga Doświadczenie Younga x K(x) y Amplituda prawdopodobieństwa dotarcia światła do punktu x K (x) = Kgóra,góra + Kgóra,dół + Kdół,góra + Kdół,dół Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Analiza wymiarowa Doświadczenie Younga Doświadczenie Younga x K(x) y Amplituda prawdopodobieństwa dotarcia światła do punktu x X K (x) = K ścieżki Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator K = K (x, T ; x0 , 0) Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator K = K (x, T ; x0 , 0) = hx| Û(T , 0) |x0 i Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator K = K (x, T ; x0 , 0) = hx| Û(T , 0) |x0 i Równanie Schrödingera (wraz z rozwiązaniem) i~ Piotr Migdał ∂ |ψi = Ĥ |ψi ∂t Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator K = K (x, T ; x0 , 0) = hx| Û(T , 0) |x0 i Równanie Schrödingera (wraz z rozwiązaniem) i~ ∂ |ψi = Ĥ |ψi ∂t |ψi = e −i ĤT /~ |ψ0 i Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator K = K (x, T ; x0 , 0) = hx| Û(T , 0) |x0 i Równanie Schrödingera (wraz z rozwiązaniem) i~ ∂ |ψi = Ĥ |ψi ∂t |ψi = e −i ĤT /~ |ψ0 i K (x, T , x0 , 0) = hx| e −i ĤT /~ |x0 i Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Hamiltonian, pęd, położenie Standardowy Hamiltonian Ĥ = Piotr Migdał p̂ 2 + V (x̂) 2m Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Hamiltonian, pęd, położenie Standardowy Hamiltonian Ĥ = p̂ 2 + V (x̂) 2m Położenie x̂ |xi = x |xi Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Hamiltonian, pęd, położenie Standardowy Hamiltonian Ĥ = p̂ 2 + V (x̂) 2m Położenie x̂ |xi = x |xi hx|x0 i = δ(x − x0 ) Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Hamiltonian, pęd, położenie Standardowy Hamiltonian Ĥ = p̂ 2 + V (x̂) 2m Położenie x̂ |xi = x |xi hx|x0 i = δ(x − x0 ) R Î = dx |xi hx| Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Hamiltonian, pęd, położenie Standardowy Hamiltonian Ĥ = p̂ 2 + V (x̂) 2m Położenie x̂ |xi = x |xi hx|x0 i = δ(x − x0 ) R Î = dx |xi hx| Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Pęd p̂ |pi = p |pi hp|p0 i = 2π~δ(p − p0 ) R dp Î = 2π~ |pi hp| Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Hamiltonian, pęd, położenie Standardowy Hamiltonian Ĥ = p̂ 2 + V (x̂) 2m Położenie x̂ |xi = x |xi Pęd p̂ |pi = p |pi hx|x0 i = δ(x − x0 ) R Î = dx |xi hx| hp|p0 i = 2π~δ(p − p0 ) R dp Î = 2π~ |pi hp| Związek pędu z położeniem hx|pi = e ipx/~ Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Dzielimy ewolucję na N równych kawałków Przyjmujemy, że krok czasowy to τ = Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan T N~ . Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Dzielimy ewolucję na N równych kawałków Przyjmujemy, że krok czasowy to τ = T N~ . K (xN , T , x0 , 0) = hxN | e −i Ĥτ N |x0 i Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Dzielimy ewolucję na N równych kawałków Przyjmujemy, że krok czasowy to τ = T N~ . K (xN , T , x0 , 0) = hxN | e −i Ĥτ N |x0 i = hxN | e −i Ĥτ e −i Ĥτ . . . e −i Ĥτ |x0 i Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Dzielimy ewolucję na N równych kawałków Przyjmujemy, że krok czasowy to τ = T N~ . K (xN , T , x0 , 0) = hxN | e −i Ĥτ N |x0 i = hxN | e −i Ĥτ e −i Ĥτ . . . e −i Ĥτ |x0 i = hxN | e −i Ĥτ dxN−1 |xN−1 i hxN−1 | e −i Ĥτ · · · R R · · · dx2 |x2 i hx2 | e −i Ĥτ dx1 |x1 i hx1 | e i Ĥτ |x0 i Piotr Migdał R Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Dzielimy ewolucję na N równych kawałków Przyjmujemy, że krok czasowy to τ = T N~ . K (xN , T , x0 , 0) = hxN | e −i Ĥτ N |x0 i = hxN | e −i Ĥτ e −i Ĥτ . . . e −i Ĥτ |x0 i = hxN | e −i Ĥτ dxN−1 |xN−1 i hxN−1 | e −i Ĥτ · · · R R · · · dx2 |x2 i hx2 | e −i Ĥτ dx1 |x1 i hx1 | e i Ĥτ |x0 i Z = R dx1 dx2 · · · dxN−1 hxN | e −i Ĥτ |xN−1 i hxN−1 | e −i Ĥτ |xN−2 i · · · · · · hx2 | e −i Ĥτ |x1 i hx1 | e i Ĥτ |x0 i Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Dzielimy ewolucję na N równych kawałków Przyjmujemy, że krok czasowy to τ = T N~ . K (xN , T , x0 , 0) = hxN | e −i Ĥτ N |x0 i = hxN | e −i Ĥτ e −i Ĥτ . . . e −i Ĥτ |x0 i = hxN | e −i Ĥτ dxN−1 |xN−1 i hxN−1 | e −i Ĥτ · · · R R · · · dx2 |x2 i hx2 | e −i Ĥτ dx1 |x1 i hx1 | e i Ĥτ |x0 i Z = R dx1 dx2 · · · dxN−1 hxN | e −i Ĥτ |xN−1 i hxN−1 | e −i Ĥτ |xN−2 i · · · · · · hx2 | e −i Ĥτ |x1 i hx1 | e i Ĥτ |x0 i Z = dx1 dx2 · · · dxN−1 KxN ,xN−1 KxN−1 ,xN−2 · · · Kx1 ,x0 Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator dla krótkiego czasu τ Kxn+1 ,xn = hxn+1 | e −i Ĥτ |xn i Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator dla krótkiego czasu τ Kxn+1 ,xn = hxn+1 | e −i Ĥτ |xn i = hxn+1 | 1 − i Ĥτ |xn i + o(τ ) Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator dla krótkiego czasu τ Kxn+1 ,xn = hxn+1 | e −i Ĥτ |xn i = hxn+1 | 1 − i Ĥτ |xn i + o(τ ) Z = dp p̂ 2 hxn+1 | 1 − iτ − iτ V (x̂) |pi hp|xn i 2π~ 2m Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator dla krótkiego czasu τ Kxn+1 ,xn = hxn+1 | e −i Ĥτ |xn i = hxn+1 | 1 − i Ĥτ |xn i + o(τ ) Z dp p̂ 2 hxn+1 | 1 − iτ − iτ V (x̂) |pi hp|xn i 2π~ 2m Z dp 2π~ = = Piotr Migdał 1 − iτ p2 − iτ V (xn+1 ) hxn+1 |pi hp|xn i 2m Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator dla krótkiego czasu τ Kxn+1 ,xn = hxn+1 | e −i Ĥτ |xn i = hxn+1 | 1 − i Ĥτ |xn i + o(τ ) Z dp p̂ 2 hxn+1 | 1 − iτ − iτ V (x̂) |pi hp|xn i 2π~ 2m Z dp 2π~ = = Z = 1 − iτ p2 − iτ V (xn+1 ) hxn+1 |pi hp|xn i 2m 2 dp p xn+1 − xn exp −iτ + V (xn+1 ) exp ip 2π~ 2m ~ Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator dla krótkiego czasu τ — ciąg dalszy Z = 2 p xn+1 − xn dpn exp −iτ + V (xn+1 ) − p 2π~ 2m ~τ Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator dla krótkiego czasu τ — ciąg dalszy Z = 2 p xn+1 − xn dpn exp −iτ + V (xn+1 ) − p 2π~ 2m ~τ Przyjmujemy, że ẋn := Piotr Migdał xn+1 −xn . ~τ Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator dla krótkiego czasu τ — ciąg dalszy Z = 2 p xn+1 − xn dpn exp −iτ + V (xn+1 ) − p 2π~ 2m ~τ Przyjmujemy, że ẋn := xn+1~τ−xn . r Z dp iτ (pẋn −p2 /(2m)) m 2 e = e iτ mẋn /2 2 2π~ 2πiτ ~ Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Propagator dla krótkiego czasu τ — ciąg dalszy Z = 2 p xn+1 − xn dpn exp −iτ + V (xn+1 ) − p 2π~ 2m ~τ Przyjmujemy, że ẋn := xn+1~τ−xn . r Z dp iτ (pẋn −p2 /(2m)) m 2 e = e iτ mẋn /2 2 2π~ 2πiτ ~ r 2 m mẋn Kxn+1 ,xn = exp iτ − V (xn+1 ) 2πiτ ~2 2 Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Całka po trajektorii Z K= Piotr Migdał dx1 dx2 · · · dxN−1 KxN ,xN−1 KxN−1 ,xN−2 · · · Kx1 ,x0 Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Całka po trajektorii Z K= dx1 dx2 · · · dxN−1 KxN ,xN−1 KxN−1 ,xN−2 · · · Kx1 ,x0 Całka po trajektorii (w przestrzeni konfiguracyjnej) K= m N/2 2πiτ ~2 Piotr Migdał Z dx1 · · · dxN−1 exp Opiekun: dr Andrzej Dragan N−1 X n=0 iτ mẋn2 − V (xn+1 ) 2 Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Całka po trajektorii Z K= dx1 dx2 · · · dxN−1 KxN ,xN−1 KxN−1 ,xN−2 · · · Kx1 ,x0 Całka po trajektorii (w przestrzeni konfiguracyjnej) K= m N/2 2πiτ ~2 Z dx1 · · · dxN−1 exp N−1 X iτ n=0 mẋn2 − V (xn+1 ) 2 ...a dla lim definiujemy... n→∞ Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Całka po trajektorii Z K= dx1 dx2 · · · dxN−1 KxN ,xN−1 KxN−1 ,xN−2 · · · Kx1 ,x0 Całka po trajektorii (w przestrzeni konfiguracyjnej) K= m N/2 2πiτ ~2 Z dx1 · · · dxN−1 exp N−1 X iτ n=0 mẋn2 − V (xn+1 ) 2 ...a dla lim definiujemy... n→∞ Z K =: Piotr Migdał Dx(t) exp Opiekun: dr Andrzej Dragan i S[x(t)] ~ Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Cząstka swobodna (L = mẋ 2 /2) Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Cząstka swobodna (L = mẋ 2 /2) N−1 m N/2 Z mτ X xn+1 − xn 2 K = lim dx1 · · · dxN−1 exp i n→∞ 2πiτ ~ 2 τ~ n=0 Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana ! Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Cząstka swobodna (L = mẋ 2 /2) N−1 m N/2 Z mτ X xn+1 − xn 2 K = lim dx1 · · · dxN−1 exp i n→∞ 2πiτ ~ 2 τ~ n=0 m N/2 1 2πiτ ~2 (N−1)/2 2 √ e im(x−x0 ) /(2Nτ ~) = lim n→∞ 2πiτ ~ m N Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana ! Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Cząstka swobodna (L = mẋ 2 /2) N−1 m N/2 Z mτ X xn+1 − xn 2 K = lim dx1 · · · dxN−1 exp i n→∞ 2πiτ ~ 2 τ~ n=0 m N/2 1 2πiτ ~2 (N−1)/2 2 √ e im(x−x0 ) /(2Nτ ~) = lim n→∞ 2πiτ ~ m N r = i m 2 e ~ m(x−x0 ) /(2T ) 2πi~T Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana ! Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Propagator Liczymy... Całka po trajektorii Cząstka swobodna Cząstka swobodna (L = mẋ 2 /2) N−1 m N/2 Z mτ X xn+1 − xn 2 K = lim dx1 · · · dxN−1 exp i n→∞ 2πiτ ~ 2 τ~ n=0 m N/2 1 2πiτ ~2 (N−1)/2 2 √ e im(x−x0 ) /(2Nτ ~) = lim n→∞ 2πiτ ~ m N r = i m 2 e ~ m(x−x0 ) /(2T ) 2πi~T Prosty Lagranżjan ma prostego propagatora i K (x, T ; x0 , 0) = A(T ) exp S[xcl (t)] ~ Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana ! Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Doświadczenie Aharonova-Bohma Monopol Diraca Doświadczenie Aharonova-Bohma — schemat x x1(t) K x2(t) y K = K1 + K2 Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Doświadczenie Aharonova-Bohma Monopol Diraca Oddziaływanie z potencjałem wektorowym Lagranżjan odpowiadający oddziaływaniu z polem magnetycznym ~ x ), L(~x , ~x˙ , t) = L0 (~x , ~x˙ , t) + q~x˙ · A(~ Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Doświadczenie Aharonova-Bohma Monopol Diraca Oddziaływanie z potencjałem wektorowym Lagranżjan odpowiadający oddziaływaniu z polem magnetycznym ~ x ), L(~x , ~x˙ , t) = L0 (~x , ~x˙ , t) + q~x˙ · A(~ ~ to potencjał wektorowy (B ~ = ∇ × A) ~ gdzie A Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Doświadczenie Aharonova-Bohma Monopol Diraca Oddziaływanie z potencjałem wektorowym Lagranżjan odpowiadający oddziaływaniu z polem magnetycznym ~ x ), L(~x , ~x˙ , t) = L0 (~x , ~x˙ , t) + q~x˙ · A(~ ~ to potencjał wektorowy (B ~ = ∇ × A) ~ gdzie A Z K (Φ) = Piotr Migdał D~x1 te i S[~x1 (t)] ~ Opiekun: dr Andrzej Dragan Z + i Dx~2 te ~ S[x~2 (t)] Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Doświadczenie Aharonova-Bohma Monopol Diraca Oddziaływanie z potencjałem wektorowym Lagranżjan odpowiadający oddziaływaniu z polem magnetycznym ~ x ), L(~x , ~x˙ , t) = L0 (~x , ~x˙ , t) + q~x˙ · A(~ ~ to potencjał wektorowy (B ~ = ∇ × A) ~ gdzie A Z K (Φ) = D~x1 te i S[~x1 (t)] ~ + iϕ e K (Φ) = K1 + K2 exp Piotr Migdał Z Opiekun: dr Andrzej Dragan i q ~ i Dx~2 te ~ S[x~2 (t)] Z d~x ~ dt A(~ x) dt Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Doświadczenie Aharonova-Bohma Monopol Diraca Strumień Z dt Piotr Migdał d~x ~ · A(~x ) dt Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Doświadczenie Aharonova-Bohma Monopol Diraca Strumień Z d~x ~ · A(~x ) dt Z Z Z ~ ~ ~ x )d~n = Φ d~n · ∇ × A(~x ) = B(~ = d~x · A(~x ) = dt Γ Piotr Migdał Σ Opiekun: dr Andrzej Dragan Σ Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Doświadczenie Aharonova-Bohma Monopol Diraca Strumień Z d~x ~ · A(~x ) dt Z Z Z ~ ~ ~ x )d~n = Φ d~n · ∇ × A(~x ) = B(~ = d~x · A(~x ) = dt Γ Σ Σ Obraz interferencyjny zależy od ukrytego strumienia! i iϕ e K (Φ) = K1 + K2 exp qΦ ~ Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Doświadczenie Aharonova-Bohma Monopol Diraca Monopol Diraca Dlaczego ładunek jest skwantowany Nieskończony solenoid z jednym końcem może być modelem monopola. Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Doświadczenie Aharonova-Bohma Monopol Diraca Monopol Diraca Dlaczego ładunek jest skwantowany Nieskończony solenoid z jednym końcem może być modelem monopola. Jeśli rozmieszczenie włókna ma nie wpływać na ruch cząstek, to Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Doświadczenie Aharonova-Bohma Monopol Diraca Monopol Diraca Dlaczego ładunek jest skwantowany Nieskończony solenoid z jednym końcem może być modelem monopola. Jeśli rozmieszczenie włókna ma nie wpływać na ruch cząstek, to qΦ = 2πn. ~ Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Przejście do mechaniki klasycznej Twórcy „Wyprowadzenie” mechaniki klasycznej x cl (t) x x 1 ,t 1 x 0 ,t 0 t Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Przejście do mechaniki klasycznej Twórcy Dirac i Feynman P.A.M. Dirac Piotr Migdał R. P. Feynman Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Przejście do mechaniki klasycznej Twórcy Bibliografia / dalsza lektura R. P. Feynman, A. R. Hibbs, „Quantum Mechanics and Path Integrals” Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Przejście do mechaniki klasycznej Twórcy Bibliografia / dalsza lektura R. P. Feynman, A. R. Hibbs, „Quantum Mechanics and Path Integrals” R. Shankar, „Mechanika kwantowa”, rozdziały 8. i 21. Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana Motywacja Od równania Schrödingera do całek Feynmana Potencjał wektorowy Zakończenie Przejście do mechaniki klasycznej Twórcy Bibliografia / dalsza lektura R. P. Feynman, A. R. Hibbs, „Quantum Mechanics and Path Integrals” R. Shankar, „Mechanika kwantowa”, rozdziały 8. i 21. R. MacKenzie, „Path Integral Methods and Applications”, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0004090v1 Piotr Migdał Opiekun: dr Andrzej Dragan Całki po trajektoriach Feynmana
