1. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1. Na podstawie

1. Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji
f zdefiniowanej równością
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) f (x) = ln x + x3 ,
(6) f (x) = x1 − cos(3x − 1),
√
(7) f (x) = 1 + 3 x.
f (x) = cos
√ x,
f (x) = x,
f (x) = ln x,
√
f (x) = sin 2x − x,
w dowolnym punkcie należącym do jej dziedziny.
Zadanie 2. Obliczyć f 0 (x), jeśli
(1) f (x) =
√
3
√x ,
x
qx
(19)
(20)
(21)
(22)
p √
(2) f (x) = 3 x 4 x x,
(3) f (x) = x2 e√x ,
3 x
,
(4) f (x) = 2
x +1
x sin x
(5) f (x) =
,
2√
+ 3 cos x
x ln x
(6) f (x) = arctgx+√3 ,
(7) f (x) =
(8) f (x) =
(9) f (x) =
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
3
f (x) = x e+2x
2x ,
f (x) = arctg2 x1 ,
sin 2x
f (x) = 3p
,
p
f (x) = tg x + x2 + ctg π4 ,
√
1−√x
,
1+ x
2x
e −1
e2x +1 ,
2 x
(23) f (x) = cos2
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
√
x sin x
arctgx+ln 3 ,
x3 cos x√
,
arc sin x+√3
arc√sin x+ 5
,
x√
cos x
ln x+ 5
ex cos x ,
2
x2√e−x ,
3 x
x2 +1 , √
(30)
f (x) =
f (x) =
f (x) =
f (x) = arc cos 1 − x2 ,
1
f (x) = sin(cos 2x
),
p
√
f (x) = ln x + x2 + 1,
f (x) = x2x ,
f (x) = (sin 2x)tg x . √
f (x) = x arc cos x − 1 − x2 ,
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
x2
2
Zadanie 3. Sprawdzić, czy funkcja y(x) =
równanie 2y = xy 0 + ln y 0 .
f (x) =
f (x) = ln √e ,
f (x) = ln x − x13 ,
√
f (x) = x + 4 − ln x1 ,
√
f (x) = cos
√ (3x + 1) − x + 1,
f (x) = √x + 8 − ctg (2x + 1),
x2 + 2 cos(2x + 1)
f (x) =
,
3x+1
√
xarctg(2x − 1)
,
f (x) =
lnx
3x + 2
4
√
f (x) = arc cos
,
4 x+1
3 ln x + 2
,
f (x) = arcctg3
4x + 1
f (x) = xsin x ,
f (x) = (sin x)cos x ,
1
f (x) = (ln x) x .
p
√
√
+ 12 x x2 + 1 + ln x + x2 + 1 spełnia
Zadanie 4. Napisać równania stycznych do wykresu funkcji f w punkcie x0 , gdy
(1)
(2)
(3)
(4)
f (x) = lnxx , x0 = e,
√
f (x) = 2√− x2 , x0 = 0,
f (x) = x3 x − 1, x0 = 2,
f (x) = 12 tg 2x, x0 = π8 ,
(5)
(6)
(7)
(8)
1
f (x) = tg2 πx
2 , x0 = 2 ,
2
f (x) = ln(1 + 4x ), x0 = 0,
f (x) = xe2x , x0 = 0,
f (x) = arctg(1 − x2 ), x0 = 1.
Zadanie 5. Zbadać różniczkowalność funkcji f określonej równością
1
2

x+1

−1
e
(1) f (x) = x2 + x


| sin x|
√
2

 sin x
(2) f (x) = x2 − x

 x−1
2
−1

1 x+1


1 − 3
3
−x
(3) f (x) = x
q


 cos2 x +
dla
dla
dla
x < −1,
− 1 ¬ x < 0,
0 ¬ x < 2π.
dla
dla
dla
− 2π < x < 0,
0 ¬ x < 1,
x ­ 1.
π
2
dla
dla
x ¬ −1,
− 1 < x ¬ 0,
dla
0 < x < 2π.
Zadanie 6. Zbadać różniczkowalność funkcji f określonej równością


dla
− 2π < x < 0,
| sin x|
2
f (x) = x − x
dla 0 ¬ x < 1,

 x−1
e
−1
dla x ­ 1.
Zadanie 7. Dobrać wartości parametrów a, b, c
określona warunkiem


dla
ax + b
f (x) = cx2 + dx
dla


1
dla
1− x
oraz d tak, aby funkcja f : R → R
x ¬ 0,
0 < x ¬ 1,
x>3
była różniczkowalna w całym zbiorze R.
Zadanie 8. Dobrać wartości parametrów a oraz b tak, aby funkcja f : R → R określona
warunkiem


dla x < −2,
ax + 1
f (x) = 3 − x
dla − 2 ¬ x < 3,

 2
x +x+b
dla x ­ 3
była ciągła w całym zbiorze R. Czy f może być różniczkowalna w R ?
Zadanie
p 9. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f określonej wzorem
f (x) = 3 (x2 − 2x)2 na przedziale h−2, 3i.
Zadanie 10. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f określonej wzorem
2
f (x) = xln x na przedziale h 1e , ei.
Zadanie 11. Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji f zdefiniowanej równością
(1) f (x) = 13 x3 + x9 na przedziale h1, 3i,
(2) f (x) = sin (2x) − x na przedziale h− π2 , π2 i,
(3) f (x) = x + cos2 x na przedziale h−π, π2 i,
1
(4) f (x) = e x2 (x+1) na przedziale h−2, − 12 i,
q
2x−1
(5) f (x) = qe x2 −1 − 1 na przedziale (1, 2i,
x
(6) f (x) = e x2 −1 − 1 na przedziale (1, 2i ,
2
(7) f (x) = xx na przedziale h1, 2i,
(8) f (x) = xln x na przedziale h1, ei,
1. ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
(9) f (x) =
1 2x
x
3
na przedziale h1, 2i.
Zadanie 12. Zbadać monotoniczność funkcji f zdefiniowanej równością:
1
,
x
(2) f (x) = 2 ln (x + 2) − ln (2x + 3),
(1) f (x) = ln (x + 2) −
(3) f (x) = log(2x2 +2x+1) 3,
(4) f (x) = log(3x2 −3x+1) 2.
Zadanie 13. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
4x
,
2+1
x
p
3
(2) f (x) = √(1 − x2 )2 ,
(3) f (x) = x 1 − x,
(4) f (x) = x − 2 sin x,
(1) f (x) =
(5)
(6)
(7)
(8)
f (x) = 2x(x − 1)2 ,
f (x) = |4x − x2 |,
f (x) = |3 − 2x − x2 |,
f (x) = x2 + 2|x| − 3.
ax+b
osiąga w punkcie o odciętej
Zadanie 14. Funkcja f określona wzorem f (x) = (x−1)(x−4)
x = 2 ekstremum lokalne równe −1. Wyznaczyć a i b oraz rozstrzygnąć, czy jest to
minimum, czy maksimum lokalne.
Zadanie 15. Wyznaczyć ekstrema funkcji f określonej wzorem f (x) = log(3x2 −3x+1) 2.
Zadanie 16. Walec o promieniu x i wysokości h oraz półkula o promieniu x złączone
podstawami tworzą bryłę o objętości V . Dla jakiego x pole powierzchni tej bryły jest
najmniejsze?
Zadanie 17. Koszt eksploatacji statku pełnomorskiego w ciągu godziny pływania wyraża
się wzorem k(v) = a + bv 3 , gdzie a i b są pewnymi stałymi dodatnimi obliczonymi dla
każdego statku oddzielnie, natomiast v jest prędkością statku wyrażoną w kilometrach
na godzinę. Dla jakiej prędkości v statek przepłynie dowolną drogę s przy najmniejszych
kosztach?
Zadanie 18. Znaleźć wysokość stożka obrotowego o najmniejszej objętości, opisanego na
kuli o promieniu R.
Zadanie 19. Jaka powinna być wysokość stożka wpisanego w kulę o promieniu R, żeby
jego powierzchnia boczna była największa?
Zadanie 20. Należy wykonać ogrodzenie prostokątnego skweru o powierzchni 100 m2 ,
którego jeden bok przylega do granicy posiadłości. Koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia na granicy posiadłości wynosi 30 zł, a koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia z
pozostałych trzech boków jest równy 120 zł za metr bieżący. Jakie powinny być wymiary
skweru, by koszt ogrodzenia był najmniejszy?
Zadanie 21. Napisać równanie stycznej do krzywej y = 2x3 − 3x2 + 5 wiedząc, że współczynnik kierunkowy tej stycznej jest równy 12.
Zadanie 22. W którym punkcie prosta styczna do paraboli y =
prostej y = 2x + 3 ?
x2
2
jest równoległa do
Zadanie 23. Pod jakim kątem przecinają się krzywe o równaniach f (x) = x2 + x − 2
oraz g(x) = x2 − x ?
Zadanie 24. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f danej wzorem f (x) =
(x+1)2
x−2 , dla x ∈ R \ {2}.
Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej x0 = 1.
4
Zadanie 25. Na wykresie funkcji (a) f (x) = x3 , (b) f (x) = sin x wyznaczyć punkty,
w których styczna jest równoległa do prostej y = x.
Zadanie 26. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji:
(x + 1)2
,
x2 + 1
x
,
f (x) = √
x2 − 4
p
f (x) = x 8 − x2 ,
x2 − 2x + 2
f (x) =
,
x√− 1
f (x) = x − x + 2,
(1) f (x) =
(2)
(3)
(4)
(5)
√
3
(6) f (x) = 2x − 3 x2 ,
2
2
2
2
(7) f (x) = (x
− 1) 3 − (xp
+ 1) 3 ,
p
(8) f (x) = 3 (x − 1)2 − 3 (x + 1)2 ,
1 − x2
(9) f (x) =
,
x+2
2
x
(10) f (x) =
.
|x| − 1
Zadanie 27. Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji f określonej wzorem

−x2 + 2x
, x < 3,

−1
, x = 3,
f (x) =

x2 − 7x + 12 , x > 3
na przedziale h1, 4i.
Zadanie 28. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem
(p
3 x
2
dla x < 3,
3 (x − 1)
f (x) =
x−2
(x − 2)
dla x ­ 3
na przedziale h0, 4i.
Zadanie 29. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem
(
x
dla x < −2,
ln x+2
f (x) = p
3
2
2
(x − 2x)
dla x ­ −2
na przedziale h−3, 3i.
Zadanie 30. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem
(
ln x+1
dla x < −1,
x
f (x) = p
3
2
2
(x − 4x)
dla x ­ −1
na przedziale h−2, 4i.
Zadanie 31. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem
(p
3
(x2 + 4x)2
dla x ¬ 1,
f (x) =
x−1
(x − 1)
dla x > 1
na przedziale h−4, 3i.
Zadanie 32. Wyznaczyć, o ile istnieją, wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej wzorem
(p
3
(x2 + 3x)2
dla x ¬ 0,
f (x) =
x
x
dla x > 0
na przedziale h−4, 2i.
1. ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
5
1
Zadanie 33. Zbadać przebieg zmienności funkcji f określonej wzorem f (x) = x2 e x .
Zadanie 34. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej równością:
1
1
(1) f (x) = (x + 1)e (x+1)2 ,
(3) f (x) = x ln
+e ,
1
x
(2) f (x) = (x − 1)e (x−1)2 ,
1
(4) f (x) = xe x−2 .
Zadanie 35. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji:
(1)
(2)
(3)
(4)
f (x) = x ln2 x,
f (x) = xe−x ,
f (x) = ln(1
+ x2 ),
p
p
3
f (x) = (x2 − 1)2 − 3 (x2 + 1)2 ,
x
(5) f (x) = e 1−x2 ,
ln x
(6) f (x) =
,
x
2
(7) f (x) = ln x − 2 ln x.
Zadanie 36. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a pokazać, że dla n ∈ N \ {1} zachodzi
nierówność:
nbn−1 (a − b) ¬ an − bn < nan−1 (a − b)
Zadanie 37. Korzystając z twierdzenia Lagrange’a pokazać, że dla 0 < y ¬ x <
zachodzi nierówność:
x−y
x−y
¬ tg x − tg y ¬
2
cos y
cos2 x
1
2π
Zadanie 38. Wykazać, że dla x < 0 prawdziwa jest nierówność ln(1 + x2 ) ¬ 2xarctgx.
Zadanie 39. Wykazać, że dla x ∈ (0, 1) prawdziwa jest nierówność
√
1
x| ln x| ¬ .
2e