Temat 4: zjawiska transportu

2014-01-01
ZJAWISKA TRANSPORTU
Procesy ruchu ładunków/ masy/ energii pod
wpływem czynników zewnętrznych (E‚ B‚ ∇T‚ ∇μ)
Zjawiska transportu
ƒ Inaczej:
– przepływ prądu w różnych materiałach, również
niejednorodnych (np. złączach);
– dyfuzja, prąd jonowy;
– przepływ ciepła;
– Wszystkie zjawiska wynikające z nierównowagowych
warunków: zjawisko Halla, zjawiska termoelektryczne itd.;
ƒ Co
C jest
j t celem:
l
– Równanie transportu, którego rozwiązanie pozwoli powiązać
wielkość np. gęstości prądu z czynnikami zewnętrznymi
poprzez współczynniki transportu (przewodność elektryczna,
cieplna, stała Halla itp.).
1
2014-01-01
ZAŁOŻENIA (1)
1) Stan równowagowy opisuje funkcja FD;
2) Gdy pojawiają się pola zewnętrzne, rozkład elektronów według
stanów zmienia się.
się Rozkład ten opisuje nierównowagowa
funkcja rozkładu f(r,k,t);
3) Musi być spełniona była zasada nieoznaczoności:
∆r∆k ≥ 1
4) To oznacza że nie można rozważać procesów bardzo lokalnych
i krótkotrwałych.
krótkotrwałych
5) Zewnętrzne pola są na tyle słabe że nie powodują zmiany
widma energii elektronów.
Pole elektryczne
2
2014-01-01
Pole magnetyczne
von Klitzing K Phil. Trans. R. Soc. A 2005;363:2203-2219
Ideal Landau levels for a device with boundaries.
©2005 by The Royal Society
ZAŁOŻENIA (1)
1) Tw. Liuiville’a: objętość przestrzeni fazowej nie zmienia się przy
przekształceniach określanych quasi klasycznymi równaniami
ruchu
d 3r = d 3r '
d 3 k = d 3k '
3
2014-01-01
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
ƒ Ilość cząstek w chwil t w elemencie objętości d3rd3k
wokół p-tu r, k:
d3 r
rr
dN = f (r , k, t)G(k)d3k
V
ƒ Wiedząc, że gęstość stanów wynosi:
G( k ) =
V
V
⋅2 = 3
3
8π
4π
ƒ Otrzymujemy:
dN =
1
4π
rr 3 3
f
(
r
, k, t)d kd r
3
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
ƒ Ilość cząstek w chwil t w elemencie objętości d3rd3k
wokół p-tu r, k:
dN =
1
4π
rr 3 3
f
(
r
, k, t)d kd r
3
4
2014-01-01
dN =
1
4π
3
rr
f (r , k, t)d3kd3 r
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
ƒ Ilość cząstek może zmienić się wskutek dyfuzji,
działania siły lub generacji i rekombinacji. W związku z
tym, cząstki, które w chwili t były w okolicy p-ktu (r, k) są
teraz (w chwili t') w otoczeniu punktu (r', k‘). Zatem:
rr
r r
f (r , k ,t )d 3 rd 3 k = f (r ' , k ' ,t ' )d 3 r ' d 3 k '
d 3 rd 3 k = d 3 r ' d 3 k '
Tw. Liouiville'a
rr
r r
f (r , k ,t ) = f ( r ' , k ' ,t ' )
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
ƒ Ilość cząstek może zmienić się wskutek dyfuzji,
działania siły lub generacji i rekombinacji. W związku z
tym, cząstki, które w chwili t były w okolicy p-ktu (r, k) są
teraz (w chwili t') w otoczeniu punktu (r', k‘).
ƒ Prowadzi to do:
rr
r r
f (r , k ,t ) = f (r ' , k ' ,t )
rr
df (r , k ,t ) = 0
5
2014-01-01
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
ƒ Stąd mamy:
prędkość
∝ siła
r
r
df ∂f ∂f dr ∂f dk
0= = + r + r
dt ∂t ∂r dt ∂k dt
∂f
1r
r
= −v ∇ r f − F∇ k f
∂t
h
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
ƒ Siła działająca na elektron w krysztale może być
dwojakiego rodzaju:
– siła zewnętrzna, którą można łatwo obliczyć i która
praktycznie nie zależy od położenia elektronu w krysztale
r
r r r
Fzewn
e = q(Ε+v ×B)
6
2014-01-01
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
ƒ Siła działająca na elektron w krysztale może być
dwojakiego rodzaju:
– Siła wewnętrzna, której nie da się analitycznie obliczyć i która
bardzo silnie zależy od położenia elektronu w krysztale.
+
+
+
+
-
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
ƒ Zatem
∂f
1 r r r r
r
= −v ∇ r f − (q (E + v × B ) + Fwewn )∇ k f
h
∂t
7
2014-01-01
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
ƒ Obliczenie sił wewnętrznych możliwe jest tylko statystycznymi
metodami. Jest to, z drugiej strony, czynnik przywracający stan
ró no agi Zatem
równowagi.
Zatem, po wyłączeniu
łąc eni wszystkich
s stkich cczynników
nnikó
zewnętrznych, powrót układu do równowagi będzie przebiegać
zgodnie z równaniem:
∂f(r,k,t) 1 r
= - Fwewn ∇k f(r,
( ,k,,t))
∂t
h
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
Zapisujemy tę część r-nia jako (indeks „c” oznacza collisions):
⎛ ∂f ⎞
⎜ ⎟ = I[f ]
⎝ ∂t ⎠c
Całka zderzeń*
8
2014-01-01
* Dlaczego „całka zderzeń”:
ƒ Niech prawdopodobieństwo rozproszenia
ze stanu k do k’ i odwrotnie:
r r
r r
w (k , k ' ) = w (k ' , k )
ƒ Wówczas:
r r'
1
⎛ ∂f ⎞
3
⎜ ⎟ = 3 ∫ w (k , k ){f (k ' )(1 − f (k )) − f (k )(1 − f (k ' ))}d k
∂
t
4
π
⎝ ⎠ rozp
ΩB
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
∂ f(r, k, t) r
1r
∂f
= -v ∇ r f(r,
f(r k,
k t) - F ∇ k f(r,
f(r k,
k t) + ( )c
∂t
h
∂t
∂ f(r, k, t) r
1r
= -v ∇ r f(r, k, t) - F ∇ k f(r, k, t) + I [ f ]
∂t
h
Całkę zderzeń oblicza się zakładając, że prawdopodobieństwo
rozproszenia zależy jedynie od wektorów falowych elektronu w
stanie końcowym i początkowym. Oznacza to ZAŁOŻENIE (2), że
nie ma korelacji pomiędzy elektronami.
9
2014-01-01
Przybliżenie czasu relaksacji
1r
∂ f(r, k, t)
∂f
r
= - v ∇ r f(r, k, t) - F ∇ k f(r, k, t) + ( ) c
h
∂t
∂t
Przy założeniu małego odchylenia funkcji rozkładu
od równowagi możemy całkę zderzeń zapisać w
następujący sposób:
(
∂f
f(r, k, t) - f 0 (r, k)
)c = ∂t
τ (k)
– gdzie 1/τ(k) jest współczynnikiem proporcjonalności
zależnym od k i r, ale zależność od położenia można
zaniedbać;
Przybliżenie czasu relaksacji
równanie to można bardzo łatwo rozwiązać:
f(r, k, t) - f 0 (r, k) = ( f(r, k, 0 ) - f 0 (r, k) ) e
−
t
τk
– Skąd widać, że 1/τ(k) opisuje szybkość powrotu układu do rgi;
10
2014-01-01
Przybliżenie czasu relaksacji
(
∂f
f(r, k, t) - f 0 (r, k)
)c = ∂t
τ (k)
Czas relaksacji daje informację o szybkości powrotu do rgi. Ma on sens fizyczny wtedy, gdy zależy tylko od
właściwości materiału,a nie od zaburzenia.
Warunek ten jest zawsze spełniony w zderzeniach
sprężystych;
W przypadku zderzeń niesprężystych jest spełniony, gdy
różnica energii między stanem końcowym a początkowym
jest mniejsza niż kT.
Równanie kinetyczne Boltzmanna w ramach przybliżenia
czasu relaksacji
∂ f(r, k, t)
∂f
1r
r
= - v ∇ r f(r, k, t) - F ∇ k f(r, k, t) + ( ) c
∂t
h
∂t
∂f
f(r, k, t) - f 0 (r, k)
(
)c = ∂t
τ (k)
1 r
f(r, k, t) - f 0 (r, k)
∂ f(r, k, t)
r
= - v ∇ r f(r, k, t) - F ∇ k f(r, k, t) τ (k)
∂t
h
11
2014-01-01
Rozwiązanie w stanie stacjonarnym, w ramach
przybliżenia czasu relaksacji
∂ f(r,
f(r k,
k t)
1 r
f(r kk, t) - f 0 (r,
f(r,
(r k)
r
= - v ∇ r f(r, k, t) - F ∇ k f(r, k, t) h
τ (k)
∂t
Stan stacjonarny: nie ma zależności od czasu. Zatem:
1 r
f(r, k) - f 0 (r, k)
r
0 = - v ∇ r f(r, k) - F ∇ k f(r, k) τ (k)
h
Rozwiązanie w stanie stacjonarnym, w ramach
przybliżenia czasu relaksacji: pierwsze przybliżenie
1 r
f(r, k) - f 0 (r, k)
r
0 = - v ∇ r f(r, k) - F ∇ k f(r, k) h
τ (k)
ƒ Przy założeniu o małym odchylaniu od r-gi można
nierównowagową funkcję rozkładu rozwinąć w szereg:
f(r,k) = f0(r,k) + f(1)(r,k) + f(2)(r,k) + .....
Wiedząc, że:
1
f0 (r ,k) =
e
E−µ
kT
+1
I uwzględniając jedynie wyrazy rzędu pierwszej
poprawki do funkcji rozkładu, otrzymujemy:
12
2014-01-01
Rozwiązanie w stanie stacjonarnym, w ramach
przybliżenia czasu relaksacji
(1)
f (r, k) =
∂f0
∇ T
⎡ r
τ (k) ⎢ - q E + ∇ r µ + (E − µ ) k
∂E
T
⎣
f
gdzie
(1)
(r, k) = -
⎤
⎥⎦ v
∂f0 r
r
Χ (r, k) v
∂E
r
∇ T⎤
⎡ r
Χ (r, k) = -τ (k) ⎢ - q E + ∇ r µ + (E- µ ) k ⎥
T ⎦
⎣
Rozwiązanie w stanie stacjonarnym, w ramach
przybliżenia czasu relaksacji
ƒ W pierwszym przybliżeniu (uwzględniając jedynie f(1) natomiast
zaniedbując jej pochodne) otrzymaliśmy:
(1)
f (r, k) =
∂f0
∇ T
⎡ r
τ (k) ⎢ - q E + ∇ r µ + (E − µ ) k
T
∂E
⎣
⎤
⎥⎦ v
ƒ Widać że było to zbyt grube przybliżenie. W następnym kroku
uwzględnimy pochodną f((1)) występującą w wyrazach zawierających
indukcję pole magnetycznego. W rezultacie obliczeń otrzymujemy
wyrażenie analogiczne do poprzedniego:
f
(1)
(r, k) = -
∂f0 v
r
Χ (r, k) v
∂E
13
2014-01-01
Rozwiązanie w stanie stacjonarnym, w ramach
przybliżenia czasu relaksacji
∂f 0 v
r
Χ (r, k)v
f (r, k) = ∂E
(1)
ƒW przypadku skalarnej masy
efektywnej funkcja wektorowa
Χ(r k) wynosi:
⎡ r
rr
Χ(r ,k) = ⎣
τ ⎢qE − ∇µ − (E − µ)
∇T ⎤
T ⎦⎥
q2τ 2
1+ ∗2 B2
m
2
qτ ⎡ r
∇T ⎤ r
qE − ∇µ − (E − µ) ⎥ ×B
∗ ⎢
m ⎣
T ⎦
+
2 2
qτ 2
1+ ∗2 B
m
2 3 r
qτ
∇T ⎤ r
⎡ r
µ
µ
B
q
E
(
E
)
⋅B
⋅
−
∇
−
−
m∗2 ⎢⎣
T ⎥⎦
q2τ 2
1+ ∗2 B2
m
+
Rozwiązanie w stanie stacjonarnym, w ramach
przybliżenia czasu relaksacji
∂f 0 v
r
(1)
Χ (r, k)v
f (r, k) = ∂E
Szczególny przypadek: tylko pole
elektryczne
∇T ⎤
⎡ r
τ ⎢qE − ∇µ − (E − µ) ⎥
r
r
T ⎦
Χ(r ,k) = ⎣
+
q2τ 2 2
1+ ∗2 B
m
2
r
qτ ⎡
∇T ⎤ r
qE − ∇µ − (E − µ) ⎥ ×B
∗ ⎢
m ⎣
T ⎦
+
2 2
qτ
1+ ∗2 B2
m
2 3 r
r
qτ
∇T ⎤ r
⎡
B ⋅ ⎢qE − ∇µ − (E − µ) ⎥ ⋅ B
∗2
m
T ⎦
⎣
q2τ 2 2
1+ ∗2 B
m
14
2014-01-01
Rozwiązanie w stanie stacjonarnym, w ramach
przybliżenia czasu relaksacji
Szczególny przypadek: tylko pole elektryczne
f
(1)
(r, k) =
1 dE
r
v =
h dk
r r
∂f0
τ (k) [- q E ]v
∂E
q = −e
r 1 dE
r 1 ∂f0
∂f0
τ (k)e E
= eEτ
∂E
h dk
h ∂k
(1)
f (r, k) =
Rozwiązanie w stanie stacjonarnym, w ramach
przybliżenia czasu relaksacji
Szczególny przypadek: tylko pole elektryczne
r 1 dE
r 1 ∂f0
∂f0
τ (k)e E
= eEτ
∂E
h dk
h ∂k
r
eE τ ∂ f 0
f = f 0 + f (1) = f 0 +
h ∂k
(1)
f (r, k) =
f = f0 + f
(1)
r
r
r e τE
eE τ ∂ f 0
= f0 +
= f0 (k +
)
h
h ∂k
15
2014-01-01
Rozwiązanie w stanie stacjonarnym, w ramach
przybliżenia czasu relaksacji
∂f 0 v
r Szczególny przypadek: tylko gradient
(1)
Χ (r, k)v temperatury
f (r, k) = p
y
∂E
⎡ r
rr
Χ(r ,k) = ⎣
τ ⎢qE − ∇µ − (E − µ)
∇T ⎤
T ⎥⎦
q2τ 2 2
B
m∗2
qτ 2 ⎡ r
∇T ⎤ r
qE − ∇µ − (E − µ) ⎥ ×B
∗ ⎢
m ⎣
T ⎦
+
q2τ 2 2
1+ ∗2 B
m
q2τ 3 r ⎡ r
∇T ⎤ r
B ⋅ ⎢qE − ∇µ − (E − µ) ⎥ ⋅ B
∗2
m
T ⎦
⎣
q2τ 2 2
1+ ∗2 B
m
+
1+
Rozwiązanie w stanie stacjonarnym, w ramach
przybliżenia czasu relaksacji
Szczególny przypadek: tylko gradient
temperatury
(1)
f (r, k) =
∂f0
∇ T
⎡
τ (k) ⎢ (E − µ ) k
∂E
T
⎣
⎤r
⎥⎦ v
16
2014-01-01
PRĄD
Gęstość prądu elektrycznego (j) i gęstość
strumienia energii cieplnej (W)
Gęstość prądu
r
r
dj = q dn v
d 3k
dn = f (r , k ) 3
4π
ƒ Prąd jest zjawiskiem nierównowagowym
(→nierównowagowa funkcja rozkładu)
r
q
r
j = 3 ∫ v (f0 (r , k ) + f (1) (r , k ))d 3 k
4π ΩB
17
2014-01-01
Gęstość strumienia energii cieplnej
r
r
dW = E dn v
d 3k
dn = f (r , k ) 3
4π
ƒ Prąd jest zjawiskiem nierównowagowym
(→nierównowagowa funkcja rozkładu)
r
1 r
W = 3 ∫ v E (f0 (r , k ) + f (1) (r , k ))d 3 k
4π ΩB
Gęstość prądu i strumienia energii cieplnej
r
1
r
j =
v qf (1)d 3k
3 ∫
4π Ω
B
r
1
r
W =
v Ef (1)d 3k
∫
4π 3 Ω
B
18
2014-01-01
Gęstość prądu i strumienia energii cieplnej w
przypadku skalarnej masy efektywnej
r
1
r
j =
v qf (1)d 3k
∫
4π 3 Ω
B
∂f 0 v
r
Χ (r, k)v
(r,
k)
=
f
∂E
(1)
⎡ r
rr
Χ(r ,k) = ⎣
τ ⎢qE − ∇µ − (E − µ)
∇T ⎤
T ⎦⎥
q2τ 2
1+ ∗2 B2
m
2
qτ ⎡ r
∇T ⎤ r
qE − ∇µ − (E − µ) ⎥ ×B
∗ ⎢
m ⎣
T ⎦
+
2 2
qτ 2
1+ ∗2 B
m
2 3 r
qτ
∇T ⎤ r
⎡ r
µ
µ
B
q
E
(
E
)
⋅B
⋅
−
∇
−
−
m∗2 ⎢⎣
T ⎥⎦
q2τ 2
1+ ∗2 B2
m
+
Gęstość prądu
∇T ⎤ r
⎡ r
− qE + ∇µ + (E − µ) ⎥v
⎢
r q
r
r ∂f
T ⎦ 3
j = 3 ∫ v 0 τ (k ) ⎣
d k+
2 2
qτ 2
4π strefaB ∂E
1+ ∗2 B
m
⎛⎡ r
∇T ⎤ r ⎞r
r 2 ⎜ ⎢− qE + ∇µ + (E − µ) ⎥ × B ⎟v
T ⎦ ⎠ 3
q
r ∂f τ (k ) q ⎝ ⎣
v 0
d k+
2 2
3 ∫
qτ 2
4π strefaB ∂E m *
1+ ∗2 B
m
⎛ r⎡ r
∇T ⎤ r ⎞ r
r 3 2 ⎜ B⎢− qE + ∇µ + (E − µ) ⎥B ⎟v
T ⎦ ⎠ 3
q
r ∂f τ (k ) q ⎝ ⎣
v 0
dk
2 2
2
3 ∫
qτ 2
4π strefaB ∂E m *
1+ ∗2 B
m
19
2014-01-01
Gęstość prądu
ƒ Można zauważyć, że struktura poszczególnych wyrazów wzoru na
gęstość prądu jest podobna. We wszystkich całkach mamy:
– ttaki
ki sam mianownik,
i
ik wszędzie
d i jjestt df0/dE
– wszędzie jest jakaś potęga czasu relaksacji (1-3) i jakaś potęga energii (0-1)
– iloczyny skalarne wektora prędkości i jakiegoś wektora, który nie zależy od k
(E, B, gradT,...);
– iloczyny te są mnożone jeszcze raz przez prędkość;
⎛⎡ r
∇T ⎤ r⎞r
∇T ⎤r
⎡ r
r 2 ⎜⎢−qE +∇µ +(E −µ) ⎥×B v
−qE +∇µ +(E −µ) ⎥v
⎢
r q
r
T⎦ ⎠ 3
q
r ∂f
r ∂f τ(k) q ⎝⎣
T⎦ 3
d k+
j = 3 ∫ v 0 τ(k) ⎣
d k+ 3 ∫ v 0
q2τ 2 2
q2τ 2 2
4π strefaB ∂E
4π strefaB ∂E m*
1+ ∗2 B
1+ ∗2 B
m
m
r
⎛ r⎡ r
⎞
∇T ⎤ r
r ⎜B −qE +∇µ +(E −µ) ⎥B⎟v
T⎦ ⎠ 3
q
r ∂f0 τ(k)3q2 ⎝ ⎢⎣
dk
∫ v ∂E m*2
q2τ 2 2
4π3 strefaB
1+ ∗2 B
m
Gęstość prądu
ƒ Aby uprościć zapis, wprowadza się pojęcie tzw. współczynników
kinetycznych. Rozważmy ogólne wyrażenie:
r
r
∂f
1
M = − 3 ∫ 0 E r −1τ (k ) s
4π strefaB ∂E
Oznaczając:
otrzymujemy:
r
(Gvr )vr
1+
qτ 2
B
m ∗2
2 2
Mi = −
d 3k
K 'rsij = −
∂f0 r −1 r s (∑ G j v j )v i 3
E τ (k )
d k
q 2τ 2 2
4π strefaB ∂E
1 + ∗2 B
m
1
3
∂f0 r −1 r s
E τ (k )
4π strefaB
∂E
t f B
1
3
∫
∫
v jv i
d 3k
q 2τ 2 2
1 + ∗2 B
m
M i = ∑ K 'rsij G j
j
r r r
M = K 'rs G
20
2014-01-01
⎛⎡ r
∇T ⎤ r⎞r
∇T ⎤r
⎡ r
r ⎜ −qE +∇µ +(E −µ) ⎥×B⎟v
−qE +∇µ +(E −µ) ⎥v
r q
T⎦ ⎠ 3
q
r ∂f0 r ⎢⎣
r ∂f0 τ(k)2q ⎝⎢⎣
T⎦ 3
j = 3 ∫ v τ(k)
d k+ 3 ∫ v
d k+
q2τ 2 2
q2τ 2 2
4π strefaB ∂E
4π strefaB ∂E m*
1+ ∗2 B
1+ ∗2 B
m
m
⎛ r⎡ r
∇T ⎤ r⎞r
r ⎜B −qE +∇µ +(E −µ) ⎥B⎟v
T⎦ ⎠ 3
q
r ∂f0 τ(k)3q2 ⎝ ⎢⎣
dk
∫ v ∂E m*2
q2τ 2 2
4π3 strefaB
1+ ∗2 B
m
K 'rsij = −
∂f0 r −1 r s
E τ (k )
4π strefaB ∂E
1
3
∫
v jv i
d 3k
q 2τ 2 2
1 + ∗2 B
m
M i = ∑ K 'rsij G j
j
r r r
M = K 'rs G
Gęstość prądu i strumienia energii cieplnej
r ⎛ 2 ' r
∇T
∇T ⎞
+ qK 11' µ
j = ⎜ q K 11E − qK 11' ∇µ − qK 21'
⎟+
T
T ⎠
⎝
r q2
⎛ q3
∇T q 2 ' ∇ T ⎞ r
q2
⎟×B +
+ ⎜⎜ * K 12' E − * K 12' ∇µ − * K 22'
+ * K 12 µ
T ⎟⎠
m
m
T
m
⎝m
r ⎛ q4
r q3
q3
∇T q 3 ' ∇T ⎞ r
⎟⋅B
+ B ⋅ ⎜⎜ * 2 K 13' E − * 2 K 13' ∇µ − * 2 K 23'
+ * 2 K 13 µ
m
m
T
m
T ⎟⎠
⎝m
r ⎛
r
∇T
∇T ⎞
W = ⎜ qK 21' E − K 21' ∇µ − K 31'
+
+ K 21' µ
T
T ⎠
⎝
r q
⎛ q2
q
∇T q ' ∇T ⎞ r
⎟×B +
+ ⎜⎜ * K 22' E − * K 22' ∇µ − * K 32'
+ * K 22 µ
m
m
T
m
T ⎟⎠
⎝m
r ⎛ q3
r q2
q2
∇T q 2 ' ∇T ⎞ r
⎟ ⋅B
+ B ⋅ ⎜⎜ * 2 K 23' E − * 2 K 23' ∇µ − * 2 K 33'
+ * 2 K 23 µ
m
m
T
m
T ⎟⎠
⎝m
21
2014-01-01
Gęstość prądu i strumienia energii cieplnej
W przypadku sferycznych powierzchni izoenergetycznych wyrażenie na
współczynniki kinetyczne upraszcza się.
K 'rsij = −
∂f0 r −1 r s
E τ (k )
4π strefaB ∂E
1
∫
3
K rs'ijj = −
2δ ijj
3m *V
v jv i
d 3k
q 2τ 2 2
1 + ∗2 B
m
∞
∂f
E rτ s
∫0 q 2τ 2 2 G(E ) ∂E0 dE
1 + *2 B
m
Gdzie G(E) jest gęstością stanów, delta jest deltą Kroneckera
Półprzewodnik niezdegenerowany
K rs'ij = −
2δ ij
3m *V
∞
∂f
E rτ s
∫0 q 2τ 2 2 G(E ) ∂E0 dE
1+ *2 B
m
22
2014-01-01
Półprzewodnik niezdegenerowany
K rs'ij = −
-
f0 = e
dn =
E−µ
kT
2δ ij
3m *V
∞
∂f
E rτ s
G(E ) 0 dE
2 2
τ
q
∂E
0 1+
B2
*2
m
∫
∂f 0 1
= - f0
∂E kT
2
3m * kT
K rs' =
f0G(E)dE
V
∞
E rτ s
∫0 q 2τ 2 2 dn
1+ *2 B
m
∞
E rτ s
∫0 q 2τ 2 2 dn
1+ *2 B
2 n
m
K rs' =
3kT m *
∫ dn
Co można zapisać w postaci
wyrażenia przypominającego
wyrażenie na wartość
średnią:
Półprzewodnik niezdegenerowany
∞
E rτ s
∫0 q 2τ 2 2 dn
1+ *2 B
2 n
n
m
Krs' =
= *
*
3kT m
m
∫ dn
E rτ s
q 2τ 2
1+ *2 B2
m
„średni czas relaksacji τs w potędze s z wagą”
∞
∫
Erτs
q2τ2 2
1+
B
m*2
=
Erτs
dn
22
01+q τ B2
2
m*2
3kT
∫dn
23
2014-01-01
Metal i półprzewodnik zdegenerowany
K rs'ij = −
2δ ij
3m *V
∞
E rτ s
∂f
G(E ) 0 dE
2 2
q
τ
∂E
0 1+
B2
*2
m
∫
Metal i półprzewodnik zdegenerowany
K rs'ij = −
f0 = fFD
2δ ij
3m *V
∞
E rτ s
∂f
∫0 q 2τ 2 2 G(E ) ∂E0 dE
1+ *2 B
m
∂f 0
= −funkcja delta Diraca = −δ (E − µ )
∂E
2
K = *
3m V
'
rs
µrτ s
G(µ)
q2τ 2 2
1+
m*2
B
24
2014-01-01
Przewodność elektryczna i ruchliwość nośników
ładunku
r ⎛ 2 ' r
∇T
∇T ⎞
+ qK 11' µ
j = ⎜ q K 11E − qK 11' ∇µ − qK 21'
⎟+
T ⎠
T
⎝
r q2
⎛ q3
∇T q 2 ' ∇ T ⎞ r
q2
⎟×B +
+ ⎜⎜ * K 12' E − * K 12' ∇µ − * K 22'
+ * K 12 µ
m
T
m
m
T ⎟⎠
⎝m
r ⎛ q4
r q3
∇T q 3 ' ∇T ⎞ r
q3
⎟⋅B
+ B ⋅ ⎜⎜ * 2 K 13' E − * 2 K 13' ∇µ − * 2 K 23'
+ * 2 K 13 µ
T ⎟⎠
T
m
m
m
⎝m
r
r
E ≠ 0, B , ∇µ , ∇T = 0
r
r
2
j = q K 11E
Przewodność elektryczna i ruchliwość nośników
ładunku
j = σE → σ = q 2K11
r
v
qK11
µ≡ r →µ=
n
E
25
2014-01-01
Przewodność elektryczna i ruchliwość nośników
ładunku
Półprzewodnik
p
niezdegenerowany
g
y
∞
E rτ s
∫0 q 2τ 2 2 dn
1+ *2 B
n
2 n
m
Krs' =
= *
*
m
3kT m
∫ dn
E rτ s
q 2τ 2
1+ *2 B2
m
Przewodność elektryczna i ruchliwość nośników
ładunku
Półprzewodnik
p
niezdegenerowany
g
y
∞
E rτ s
∫0 q2τ 2 2 dn
1+ *2 B
2 n
n
'
m
= *
K rs =
*
3kT m
m
∫ dn
E rτ s
q 2τ 2 2
1+ * 2 B
m
∞
∫ E τ dn
1 1
K11 =
n
2 n
Eτ =
*
m
3kT m*
0
∫ dn
=
n
τ
m*
26
2014-01-01
Przewodność elektryczna i ruchliwość nośników
ładunku
UWAGA: W półprzewodniku, a w szczególności w
półprzewodniku samoistnym w przewodnictwie
elektrycznym uczestniczą dwa rodzaje nośników ładunku
σ = σ n + σ p = neµ n + peµ p
Przewodność elektryczna i ruchliwość nośników
ładunku
Metal i ppółprzewodnik
p
zdegenerowany
g
y
Krs' =
2
3m*V
µrτ s
G(µ)
q2τ 2 2
1+
m*2
B
27
2014-01-01
Przewodność elektryczna i ruchliwość nośników
ładunku
Metal i ppółprzewodnik
p
zdegenerowany
g
y
3
K11 =
2 11
µ τ G(µ)
3m*V
1
2
⎛ 2m * ⎞ 2
K11 = * µτ 4πV ⎜ 2 ⎟ µ 2
3m V
⎝ h ⎠
µ
3
2
1
⎛ 2m * ⎞
n = ∫ 4π ⎜ 2 ⎟ E 2 dE
⎝ h ⎠
0
K11 =
nτ
m*
Przewodność elektryczna i ruchliwość nośników
ładunku
⎧ ne2 τ n
⎫
→ półprz.⎪⎪
⎪⎪
∗
σ = ⎨ m2
⎬
⎪ ne τ ( µ ) → metal ⎪
⎪⎩ m∗
⎪⎭
28
2014-01-01
Transport ciepła
r ⎛
r
∇T
∇T ⎞
W = ⎜ qK 21' E − K 21' ∇µ − K 31'
+ K 21' µ
⎟+
T ⎠
T
⎝
⎛ q2 ' r q '
∇T q ' ∇T ⎞ r
q
⎟×B +
+ ⎜⎜ * K 22E − * K 22∇µ − * K 32'
+ * K 22 µ
m
m
T
m
T ⎟⎠
⎝m
r ⎛ q3
r q2
q2
∇ T q 2 ' ∇T ⎞ r
+ B ⋅ ⎜⎜ * 2 K 23' E − * 2 K 23' ∇µ − * 2 K 33'
+ * 2 K 23 µ
⋅B
m
m
T
m
T ⎠
⎝m
Założenie:
∇T≠0, B=0;
Transport ciepła
gdy
∇T≠0, B=0;
r ⎛
r
∇T
∇T ⎞
W = ⎜ qK 21' E − K 21' ∇µ − K 31'
+ K 21' µ
⎟
T
T ⎠
⎝
W tych samych warunkach, gęstość prądu wynosi:
r ⎛ 2 ' r
∇T
∇T ⎞
j = ⎜ q K11E − qK11' ∇µ − qK21'
+ qK11' µ ⎟
T
T ⎠
⎝
29
2014-01-01
Transport ciepła
Pole elektryczne związane z przepływem prądu w
obecności gradientu temperatury:
r
1 r 1
K ∇T 1 ∇T
− µ
E = 2 j + ∇µ + 21
q K11 q
qK11 T q T
Omowy
spadek
potencjału
Niejednorodność
materiału
Pole wynikające
y ją z
nieizotermicznych
warunków
Wstawiając wyrażenie na pole elektryczne do r-nia na W:
Transport ciepła
2
r K 31K11 − K 21
∇T
j−
K11T
q 2K11
r
r
W = Πj − κ el ∇T
r
W =
Transport
p ciepła
p
wskutek
uporządkowanego
ruchu ładunków
1
Transport
p ciepła
p wskutek zjawisk
j
dyfuzyjnych wynikających z istnienia
gradientu temperatury
30
2014-01-01
Całkowite przewodnictwo cieplne ciała stałego jest sumą
przewodnictwa elektronowego i sieciowego. W metalach poniżej
temperatury Debye’a dominuje przewodnictwo elektronowe. W
półprzewodnikach dopiero w wysokich temperaturach
pprzewodnictwo elektronowe staje
j sięę istotne (InSb
(
T>500K,, Si
T>1000K)
Wyniki doświadczalne:
NaF (przewodnictwo
wyłącznie fononowe
miedź
Przewodność elektryczna, cieplna i ruchliwość
nośników ładunku
⎧e2 τ n
⎫
⎧ ne2 τ n
⎫
r
pół
prz.
→
⎪
⎪⎪
→ półprz.⎪⎪
v
qK 11 ⎪ m ∗
⎪⎪
∗
2
µ
≡
µ
=
→
m
r
⎨
⎬
σ = q K11 = ⎨ 2
⎬
n ⎪ e 2τ ( µ )
E
ne
(
)
τ
µ
⎪
→
metal
⎪
⎪
⎪⎩ m ∗
⎪⎭
⎪⎩ m ∗ → metal ⎪⎭
κ el =
K 31K 11 − K 212 1 π 2 k 2 nτT
=
K 11T
3 m*
W metalu (w
półprzewodniku
można zaniedbać)
31
2014-01-01
Transport ładunku i ciepła: zależność od
temperatury
ƒ Przewodność elektryczna i cieplna zależy od: koncentracji
nośników ładunku, ich masy efektywnej oraz od czasu relaksacji.
W przypadku metali tylko czas relaksacji zależy od temperatury.
temperatury
W półprzewodnikach: również koncentracja nośników ładunku.
W obu przypadkach, zatem, aby zbadać zależność od
temperatury, należy najpierw przeanalizować zależność
temperaturową czasu relaksacji.
ƒ Istnieje wiele mechanizmów rozpraszania elektronów:
–
–
–
–
–
–
na fononach
d i k h zjonizowanych
domieszkach
j i
h
domieszkach obojętnych
innych defektach (np. dyslokacjach)
domieszkach magnetycznych (efekt Kondo)
elektronach
Przewodnictwo elektryczne: zależność od
temperatury
ƒ Wszystkie procesy rozpraszania są obecne
jednocześnie. O tym, który z nich, w danych warunkach
dominuje decyduje proces najszybszy (reguła
Matthiesena).
ƒ Reguła Matthiesena: prawdopodobieństwo
rozproszenia elektronu jest sumą prawdopodobieństw
rozproszenia za pomocą poszczególnych procesów:
1
τ
=∑
1
τi
32
2014-01-01
UWAGA: Przybliżenie czasu relaksacji
Czas relaksacji daje informację o szybkości powrotu do
r-gi. Ma on sens fizyczny wtedy, gdy zależy tylko od
właściwości materiału,a nie od rodzaju i wielkości
zaburzenia. Dokładne wyrażenie pozwalające obliczyć
zmianę funkcji rozkładu wskutek zderzeń jest postaci:
(
∂f
) =
∂t c
∫ {w ( k ' , k )f ( k ' ) (1 − f ( k ) ) − w ( k , k ' )f ( k ) (1 − f ( k ' ) )}d
3
k'
Gdzie
Gd
i w(k,k’)
(k k’) jjestt prawdopodobieństwem
d d bi ń t
rozproszenia
i z k do
d k’
k’,
a f jest nierównowagową funkcją rozkładu.
Przybliżenie czasu relaksacji
zakłada:
(
∂f
f(r, k, t) - f 0 (r, k)
)c = ∂t
τ (k)
UWAGA: Przybliżenie czasu relaksacji
Dopóty, dopóki (∂f/∂t)c nie zależy od E i grad T, czas
relaksacji zależy tylko od właściwości materiału,a nie od
rodzaju i wielkości zaburzenia.
Warunek ten jest spełniony w następujących
przypadkach:
a) Zderzenia sprężyste
b) W przypadku zderzeń niesprężystych, gdy różnica
energii między stanem końcowym a początkowym jest
mniejsza niż kT.
33
2014-01-01
UWAGA: Przybliżenie czasu relaksacji
ƒ W przypadkach, gdy nie jest spełnione założenie o
niezależności czasu relaksacji od zaburzenia można
nadal posługiwać się tym pojęciem, ale wtedy czasy
relaksacji np. dla przewodnictwa elektrycznego i
cieplnego będą inne.
ƒ Bardziej precyzyjna analiza zjawisk rozpraszania
tam,gdzie załamuje się przybliżenie czasu relaksacji
posługuje się metodami wariacyjnymi lub iteracyjnymi.
Rozpraszanie
ƒ Pojęcia:
– Przekrój czynny σ;
– Czas relaksacji τ;
– Średnia droga swobodna λ;
1
τ
= nVσ
λ q = v τ
Z i
Związane
ze sobą
b
Gdzie n jest koncentracją centrów
rozpraszających, a V prędkością elektronu
Gdzie q jest „efektywnością” rozpraszania – ile
zderzeń potrzeba, aby elektron powrócił do r-gi.
34
2014-01-01
Rozpraszanie w przewodnictwie elektrycznym i
termicznym
ƒPrąd elektryczny:
„rozpraszanie pędu”; ważne jest
jak zmienił
mienił się pęd elektronu:
elektron
ƒPrąd ciepła: „rozpraszanie
energii”
∆k = k (1− cosϑ )
1
τσ
=
1
τ
(1 − cosϑ )
1
τκ
=
1
τ
θ
Przewodnictwo elektryczne
Metal i półprzewodnik zdegenerowany;
Pół
Półprzewodnik
d ik niedegenerowany;
i d
35
2014-01-01
Rozpraszanie elektron-fonon
ƒ Niech rozpraszanie elektronu ze stanu k do k’ zachodzi
z udziałem fononu o wektorze falowym q. Zatem:
r r r r
k '= k ± q ± G
ƒ W takim procesie fonon jest albo wytworzony, albo
pochłonięty. Zmiana energii elektronu wynosi ħωq.
E ' = E ± hωq
Rozpraszanie elektron-fonon
ƒ Proces N:G=0
ƒ Proces U: G≠0
r r r r
k '= k ± q ±G
ƒ Procesy U efektywniej rozpraszają elektrony, ale są
mniejj pprawdopodobne,
p
, pponieważ abyy odpowiednie
p
fonony były wzbudzone, musi być temperatura,
ponieważ wektor falowy musi być większy od
minimalnego.
36
2014-01-01
Rozpraszanie elektron-fonon w metalu
ƒ Maksymalna zmiana pędu przy rozpraszaniu elektronu
ze stanu k do k’ z udziałem fononu o wektorze falowym
q może
ż być
b ć duża.
d ż Tzn.
T wektor
kt falowy
f l
Fermiego
F i
jest
j t
porównywalny z wektorem falowym q0 (promień kuli
Debye’a).
ƒ Maksymalna zmiana energii elektronu wynosi kθD,
(około 0.025 eV), co jest znacznie mniejsze niż energia
Fermiego (np.
(np 5 eV).
eV) Zderzenie takie można jednak
traktować jako quasisprężyste tylko jeśli zmiana energii
elektronu jest mała w porównaniu z kT.
Rozpraszanie elektron-fonon w metalu
ƒ Zatem:
g fononu jjest p
porównywalna
y
z kT
ƒ Gdyy T< θD energia
i zderzenie jest niesprężyste.
ƒ Ponadto,gdy T<< θq dominującą rolę odgrywają
fonony o energiach ħωq≈kT<<k θD i pędzie
q<<q0.Tak więc, w niskich temperaturach elektrony
rozpraszane są tylko pod małymi kątami.
ƒ Gdy T> θD energia fononu jest mniejsza niż kT i
zderzenie może być traktowane jako quasisprężyste.
37
2014-01-01
Rozpraszanie elektron-fonon w metalu
ƒ V = V na poziomie Fermiego = const
– T>θD:
• Dominuje
D i j rozpraszanie
i wysokokątowe,
k k t
które
któ jjestt
rozpraszaniem izotropowym (nie ma wyróżnionego
kierunku), czyli <1-cosθ>=1; 1
1
1
= (1 − cosϑ ) =
• Zatem:
τσ
τ
τ
• średnia droga swobodna elektronu jest odwrotnie
proporcjonalna do koncentracji fononów, tzn: λ ∝ T-1;
• Czas relaksacji :
τσ =
λ
v
∝
T −1
∝ T −1
const
Rozpraszanie elektron-fonon w metalu
– T<θD
• W niskich temperaturach w metalu zachodzi niskokątowe
rozpraszanie elektron-fonon,
elektron fonon w którym:
1
τσ
=
1
τ
(1 − cosϑ )
≠
1
τ
Dla małych kątów cosinus można rozwinąć w szereg
1
τσ
=
(ϑ ) ,
τ
1
2
ϑ ∝ q, q =
1
kT
hv
τσ
1
Średnia droga swobodna:
Zatem:
τ σ ∝ T −2
λ
λ
v
∝
= nfon =
1
∝ T2
τ
E drgan ∫ Cv dT T 4
=
∝
∝T3
E fononu
kT
T
T −2T −3
∝ T −5
const
38
2014-01-01
Rozpraszanie elektron-fonon w metalu
Wysoka temperatura
ƒ Powyżej θD;
1
τσ
1
λ
=
Niska temperatura
ƒ Poniżej θD;
1
1
τ
τσ
1
∝ T2
τ
1
∝T1
λ
τ σ ∝ T −1
∝T3
τ σ ∝ T −5
Rozpraszanie elektron-fonon w półprzewodniku
niezdegenerowanym
ƒ V = <V> ∝T1/2
ƒ W zakresie temperatur, w którym istotne jest
rozpraszanie elektron-fonon w półprzewodnikach jest to
proces quasisprężysty
– średnia droga swobodna elektronu jest odwrotnie
proporcjonalna do koncentracji fononów, tzn.: λ ∝ T-1;
– Czas relaksacji :
τσ =
λ
v
∝
T −1
∝ T −3 / 2
0.5
T
39
2014-01-01
Rozpraszanie na domieszkach zjonizowanych
•Jest to rozpraszanie sprężyste, ale silnie zależne od prędkości
elektronu (<q>∝v4)
λ q = v τ
ƒMETAL I PÓŁPRZEWODNIK
ZDEGENEROWANY
ƒPÓŁPRZEWODNIK
NIEZDEGENEROWANY
ƒV = V na poziomie Fermiego = const
ƒV jest proporcjonalne do T1/2
średnia droga swobodna elektronu jest odwrotnie proporcjonalna do
koncentracji domieszek λ = const
ƒCzas relaksacji :
ƒCzas relaksacji :
ƒτ ∝ <v4 >λ/v = const
ƒ<τ> ∝ < v4>l/v ∝ T3/2.
Rozpraszanie elektron-elektron
•W bardzo czystych metalach, w niskich temperaturach
obserwuje się wkład do oporu od rozpraszania
elektron-elektron.
Oba elektrony uczestniczące w
rozpraszaniu muszą mieć energię w
zakresie kT wokół energii Fermiego.
Dl t
Dlatego
prawdopodobieństwo
d d bi ń t
rozproszenia jest zależne od
temperatury w sposób:
1
τ
∝
(kT )2
E F2
40
2014-01-01
Inne defekty
Domieszki obojętne, dyslokacje, naprężenia i inne defekty
wnoszą wkład do oporu resztkowego (albo bardzo słaba
zależność od temperatury,
temperatury albo stały czynnik)
czynnik).
Efekt Kondo
•W niektórych metalach
zawierających domieszki
magnetyczne obserwuje się
tzw. efekt Kondo: minimum
oporu w pewnej, niskiej
temperaturze. Za to zjawisko
odpowiedzialne jest
rozpraszanie elektronów ze
zmianą spinu.
41
2014-01-01
Podsumowanie
ƒ Obserwowana zależność czasu relaksacji / ruchliwości /
oporu od temperatury zależy od rodzaju materiału.
– Półprzewodniki niezdegenerowane
– Metale i półprzewodniki zdegenerowane.
Zależność ruchliwości (czasu relaksacji) od temperatury w
półprzewodniku niezdegenerowanym.
42
2014-01-01
Zależność ruchliwości (czasu relaksacji) od temperatury w
półprzewodniku niezdegenerowanym wraz z prawdziwymi
wynikami.
Zależność ruchliwości (czasu relaksacji) od koncentracji domieszek
w temperaturze pokojowej
43
2014-01-01
O przewodnictwie półprzewodnika decyduje zależność
koncentracji nośników ładunku od temperatury. W
przypadku półprzewodnika domieszkowanego:
100
ρ∝T
10
Zależność oporu
metalu i
półprzewodnika
zdegenerowanego
od temperatury w
całym
ł zakresie:
k i
Resistivvity (nΩ m)
1
ρ (nΩ m)
0.1
ρ ∝ T5
0.01
ρ∝T
2
1.5
ρ ∝ T5
1
0.5 ρ = ρR
0
0 20 40 60
0.001
ρ = ρR
0.0001
3.5
3
2.5
80 100
T (K)
0.00001
1
10
100
1000
10000
Temperature (K)
Fig.2.7: The resistivity of copper from lowest to highest temperatures
(near melting temperature, 1358 K) on a log-log plot. Above about
100 K, ρ ∝ T, whereas at low temperatures, ρ ∝ T 5 and at the
lowest temperatures ρ approaches the residual resistivity ρR . The
inset shows the ρ vs. T behavior below 100 K on a linear plot ( ρR
is too small on this scale).
From Principles of Electronic Materials and Devices, Second Edition, S.O. Kasap (© McGraw-Hill, 2002)
http://Materials.Usask.Ca
44
2014-01-01
Przewodnictwo termiczne (elektronowe)
Metal i półprzewodnik zdegenerowany;
1 π 2k 2nτT
κ el =
3
m*
W metalach znane jest również eksperymentalne prawo
Wiedemannna – Franza dotyczące związku między
przewodnictwem elektrycznym i cieplnym:
2
1 ⎛ πk ⎞
κ
L=
= ⎜ ⎟ = const
σT 3 ⎝ e ⎠
45
2014-01-01
1 π 2k 2nτT
κ el =
3
m*
L=
κ
1 ⎛ πk ⎞
= ⎜ ⎟
σT 3 ⎝ e ⎠
2
σ =
ne 2τ
m*
11. Temperatury wysokie (fonony o wszystkich możliwych
energiach są wzbudzone)
τ ∝ T −1
−1
τ ∝T
κ el ∝ τT = const
σ ∝ T −1
L=
κ el =
κ
const
∝ −1 = const
σT T T
1 π 2k 2nτT
3
m*
L=
κ
1 ⎛ πk ⎞
= ⎜ ⎟
σT 3 ⎝ e ⎠
2
σ =
ne 2τ
m*
2. Temperatury
p
y niskie ((wzbudzone sąą fononyy o energii
g rzędu
ę
kT)
nfon =
E drgan ∫ Cv dT T 4
=
∝
∝T3
E fononu
kT
T
τ σ ∝ τT −2 ∝ T −5
σ ∝ T −5
τ ∝ T −3
κ el ∝ τT = T −2
L=
T −2
κ
∝ −4 ∝ T 2
σT T
46
2014-01-01
1 π 2k 2nτT
κ el =
3
m*
L=
κ
1 ⎛ πk ⎞
= ⎜ ⎟
σT 3 ⎝ e ⎠
2
σ =
ne 2τ
m*
3. Temperatury
p
y jjeszcze niższe (fonony
(
y można zaniedbać,
rozpraszanie na domieszkach)
τ = 1/λ = const
κ el ∝ τT ∝ T
σ
= const
L jest znowu stałe
Przewodność elektryczna, cieplna i ruchliwość
nośników ładunku- zależność od pola
elektrycznego
W silnych polach w półprzewodnikach pojawia się zależność od pola elektrycznego.
Odchylenia od prawa Ohma pojawiają się już – 103V/cm.
47
2014-01-01
Zależność od pola elektrycznego
ƒ Ruchliwość:
– Rozgrzewanie nośników ładunku
– Rozpraszanie międzydolinowe;
ƒ Koncentracja:
–
–
–
–
Jonizacja zderzeniowa
Termopolowa jonizacja domieszek
Polowa jonizacja domieszek
Efekt Zenera (tunelowanie międzypasmowe).
Rozgrzewanie nośników ładunku
ƒ Ten efekt ma znaczenie, gdy energia
nabyta w polu elektrycznym staje się
porównywalna z energią termiczną.
ƒ Wpływ E na czas relaksacji zależy od
mechanizmu rozpraszania: zależności
od T pozostają te same, ale T to teraz
temperatura elektronu a nie sieci
3
eE λ ≥ kT
2
48
2014-01-01
Rozpraszanie międzydolinowe
∆E(GaAs)=0 31 eV
∆E(GaAs)=0.31
Elektrony
przechodzą do
minimum lokalnego o
większej masie
efektywnej
Rozpraszanie międzydolinowe
49
2014-01-01
Wpływ pola elektrycznego na koncentrację
nośników
ƒ Jonizacja zderzeniowa: energia nabyta w polu elektrycznym jest
wystarczająca aby procesy rozpraszania spowodowały
generację międzypasmową
międ pasmo ą (w
( Ge,
Ge 300 K,
K pole po
powyżej
żej
5
10 V/cm).
Wpływ pola elektrycznego na koncentrację
nośników
ƒ Termopolowa jonizacja domieszek (efekt Poole’a Frenkla): w
silnym polu elektrycznym następuje obniżenie bariery potencjału
dla jonizacji
joni acji domieszek
domies ek (proporcjonalnie do pier
pierwiastka
iastka z pola
elektrycznego)
50
2014-01-01
Wpływ pola elektrycznego na koncentrację
nośników
ƒ Tunelowanie międzypasmowe
w silnym polu (efekt Zenera).
ƒ Uwaga: przerwa
energetyczna nie jest barierą
potencjału w sensie zwykłym.
Efekt Zenera polega na
wzroście
prawdopodobieństwa
przejścia elektronu z pasma
do pasma bez wykonania
pracy.
Zjawiska galwanomagnetyczne
ƒEfekt Halla
ƒMagnetorezystancja
M
t
t j (G
(Gaussa))
51
2014-01-01
Zjawisko Halla
Warunki zewnętrzne:
B=(0,0,B); E=(Ex,0,0)
Wszelkie inne gradienty = 0
Są dwie możliwe konfiguracje:
11.
jak na rysunku
rysunku, czyli
przypadek skończony (jy=0)
2.
przypadek nieskończony
(Ey=0)
Zjawisko Halla
Przypadek słabego pola magnetycznego. Warunek:
ƒ 1 tor elektronu w czasie pomiędzy jednym
zderzeniem a drugim (w czasie τ) w polu
magnetycznym jest słabo zakrzywiony
ωc
2πm ∗
<< 1 ⇔ B <<
qτ
2πτ
ƒ 2 mianowniki występujące w wyrażeniach na
współczynniki kinetyczne można zaniedbać
B <<
m∗
qτ
ƒ Warunek 2 jest silniejszy
52
2014-01-01
Zjawisko Halla: przypadek skończony, słabe pole, jeden
rodzaj nośników ładunku
r ⎛ 2 ' r
∇T
∇T ⎞
+ qK 11' µ
j = ⎜ q K 11E − qK 11' ∇µ − qK 21'
⎟+
T ⎠
T
⎝
r q2
⎛ q3
∇T q 2 ' ∇ T ⎞ r
q2
⎟×B +
+ ⎜⎜ * K 12' E − * K 12' ∇µ − * K 22'
+ * K 12 µ
m
T
m
m
T ⎟⎠
⎝m
r ⎛ q4
r q3
∇T q 3 ' ∇T ⎞ r
q3
⎟⋅B
+ B ⋅ ⎜⎜ * 2 K 13' E − * 2 K 13' ∇µ − * 2 K 23'
+ * 2 K 13 µ
T ⎟⎠
T
m
m
m
⎝m
Zjawisko Halla: przypadek skończony, słabe pole, jeden
rodzaj nośników ładunku
(
)
⎛ q3 ' r ⎞ r
r
' r
j = q 2 K 11
E +⎜
K E⎟×B
⎜ m * 12 ⎟
⎝
⎠
Korzystając z warunku zerowania się prądu w kierunku y:
53
2014-01-01
Zjawisko Halla: przypadek skończony, słabe pole, jeden
rodzaj nośników ładunku
(
)
⎛ q3 ' r ⎞ r
r
' r
j = q 2 K 11
E +⎜
K E⎟×B
⎜ m * 12 ⎟
⎝
⎠
Korzystając z warunku zerowania się prądu w kierunku y:
⎛K ⎞
j x = q 2K11 E x − q 3 ⎜⎜ 12 ⎟⎟Ey B
⎝ m∗⎠
(
)
Otrzymujemy wyrażenie,które
pozwala wyznaczyć i stałą Halla i
współczynnik magnetooporu
⎛K ⎞
0 = j y = q 2K11 E y − q 3 ⎜⎜ 12∗ ⎟⎟E x B
⎝m ⎠
(
)
⎛K ⎞
q ⎜⎜ 12∗ ⎟⎟ExB
m
Ey = − ⎝ ⎠ ≡ EH = R(B× j )
K11
( )
Stała Halla:
qK '12
R=
m ∗K '11
2
⎛
q 2 ⎛ K '12 ⎞ 2 ⎞⎟
⎜
⎜
⎟
q K '11 ⎜ 1 +
⎜
⎟ B ⎟
m ∗2 ⎝ K '11 ⎠
⎠
⎝
2
54
2014-01-01
qK '12
Stała Halla
R=
m ∗K '11
2
⎛
q 2 ⎛ K '12 ⎞ 2 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟ B
q 2K '11 ⎜⎜ 1 +
⎟
m ∗2 ⎝ K '11 ⎠
⎝
⎠
W słabym
y ppolu magnetycznym
g y y wyrażenie
y
w mianowniku R
jest znacznie mniejsze niż 1, oraz :
σ = e K11 =
2
Przyjmiemy
oznaczenia:
A=
e2n τ
K 12 =
m∗
τ2
τ
Zatem:
2
I stała Halla:
R=
n τ2
K12 =
m∗
nA τ
2
m∗
1
A
qn
Gdy dwa rodzaje nośników ładunku (w słabym polu):
⎛Kp
Kn
j x = j nx + j px = e 2 K 11p + e 2 K 11n E x − e 3 ⎜⎜ 12p − 12n
m
⎝m
(
)
⎞
⎟⎟ E z B
⎠
⎛Kp
Kn ⎞
0 = j z = j nz + j pz = e 2 K 11p + e 2 K 11n E z − e 3 ⎜⎜ 12p − 12n ⎟⎟ E x B
m ⎠
⎝m
(
E
z
)
⎛ K p
K n ⎞
e 3 ⎜⎜ 12p − 12n ⎟⎟ E x B
m ⎠
⎝ m
=
p
2
e K 11 + e 2 K 11n
(
)
Licznik może=0 nawet, gdy
są swobodne nośniki
ładunku
55
2014-01-01
Zjawiska termomagnetyczne
Zjawiska obserwowane w obecności B i grad T
Efekt Righi-Leduca
Pojawienie się poprzecznego gradientu temperatury
(analogicznie do efektu Halla ). W następujących warunkach:
r
dT
j = 0; B = (0,B,0), ∇T ( przylozony) = ( ,0,0)
dx
Pojawia się poprzeczny gradient temperatury:
∇zT = ARLB∇xT
56
2014-01-01
Efekt Righi-Leduca (fenomenologicznie)
Niech pole magnetyczne będzie prostopadle do kartki.
kartki
Wyobraź sobie bryłkę materiału:
zimno
gorąco
Ponieważ wypadkowy strumień elektronów jest skierowany od
strony gorącej do zimnej, to więcej gorących elektronów
znajdzie się po jednej stronie bryłki, niż po drugiej.
Poprzeczne zjawisko Nernsta -Ettingshausena
W warunkach takich samych jak w zjawisku RL pojawia się
poprzeczne pole elektryczne (termogalwanomagnetyczny efekt).
Skoro, jak w zjawisku RL powstaje gradT w kierunku z, to
wywołuje on przepływ elektronów od ściany ciepłej do zimnej.
Następuje akumulacja ładunku na jednej ścianie i powstaje pole
elektryczne które wywołuje prąd przeciwny tak że w sumie prądy
elektryczne,
termiczny i elektryczny wzdłuż z się znoszą.
EzNE = A⊥NEB∇xT
57
2014-01-01
Efekt Maggie-Righi-Leduca
W warunkach takich jak w zjawisku RL, pojawia się również
podłużny gradient temperatury (lub zmiana przewodności
cieplnej w kierunku gradientu temperatury).
Gradientowi temperatury odpowiada, jak zwykle, pole
elektryczne: podłużne zjawisko Nernsta
Ettingshausena:
Podłużne zjawiska Nernsta -Ettingshausena
Niech pole magnetyczne będzie prostopadle do kartki.
kartki
Znowu wyobraź sobie bryłkę materiału:
zimno
gorąco
Gorące elektrony mając większą prędkość są słabiej
zakrzywiane niż te zimniejsze i w związku z tym docierają dalej.
W związku z tym powstaje dodatkowy, oprócz wytworzonego,
gradient temperatury, który z kolei powoduje powstanie pola
elektrycznego wzdłuż próbki.
58
2014-01-01
Zjawiska termoelektryczne
gdy
∇T≠0, B=0;
r ⎛
r
∇T
∇T ⎞
W = ⎜ qK 21' E − K 21' ∇µ − K 31'
+ K 21' µ
⎟
T
T ⎠
⎝
r ⎛ 2 ' r
∇T
∇T ⎞
j = ⎜ q K11E − qK11' ∇µ − qK21'
+ qK11' µ ⎟
T
T ⎠
⎝
r
K ∇T 1 ∇T
1 r 1
E = 2 j + ∇µ + 21
− µ
q K11 q
qK11 T q T
r K r K K − K 212
∇T
W = 21 j − 31 11
K 11T
qK 11
r
r
W = Π j − κ el ∇T
Zjawiska termoelektryczne
W ogólności, w obecności gradientu temperatury i innych
czynników (prąd lub pole elektryczne) mogą zachodzić
rozmaite zjawiska.
zjawiska
Analiza ogólna:
2
1 r K31K11− K21
j−
∇T
K11T
q2K11
r
r
W = Πj −κel∇T
r
W=
r ⎛ 2 ' r
∇T
∇T ⎞
j = ⎜ q K11E − qK11' ∇µ − qK21'
+ qK11' µ ⎟
T
T ⎠
⎝
r
K ∇T 1 ∇T
1 r 1
E = 2 j + ∇µ + 21
− µ
q K11 q
qK11 T q T
Moc wydzielana przy przepływie prądu, na jednostkę
objętości:
vr j2 1 r
K − µK11 r ∇T
P = j E = + j ∇µ + 21
j
qK11
σ q
T
59
2014-01-01
Zjawisko Seebecka.
r
K ∇T 1 ∇T
1 r 1
− µ
E = 2 j + ∇µ + 21
q K11 q
qK11 T q T
Zachodzi w układzie dwóch materiałów będących ze sobą w kontakcie. Jeśli
jedno złącze ma inną temperaturę niż drugie, to pojawia się różnica
potencjałów. j=0.
W każdym z materiałów powstaje pole elektryczne:
1
K − µK11 ∇T
ET = ∇µ + 21
= α∇T
q
qK11 T
α – bezwzględna siła termoelektryczna
Zjawisko Seebecka.
1
K − µK11 ∇T
ET = ∇µ + 21
= α∇T
q
qK11 T
α – bezwzględna siła termoelektryczna
1 dµ K21 − µK12
+
)
q dT
K11T
α= (
αpp ≈
1 ⎛ K21 − µK11 1 ⎞
⎜
qK11 ⎜⎝ qK11 T ⎟⎠
metal (10-6 V/K),
półprzewodnik (10-3 V/K)
60
2014-01-01
Zjawisko Seebecka.
W złączu dwóch materiałów, powstająca różnica potencjałów
zależy od materiałów i od różnicy temperatur.
T2
∆V = − ∫ ET dl = ∫ (α B − α A )dT
T1
ES. Jest jednym ze sposobów wyznaczania znaku dominujących nośników ładunku.
Zjawisko Peltiera.
Zachodzi w układzie dwóch materiałów będących ze sobą w kontakcie. Jeśli
przez układ materiałów płynie prąd, to złącze się albo ogrzewa, albo
oziębia.
Przez każdy z materiałów płynie
strumień ciepła, towarzyszący
przepływowi prądu:
r
r
W = Πj
Gd jest
Gdy
j t złącze:
ł
r
r
r
r
W1 = Π1 j , W2 = Π 2 j
W złączu musi się albo wydzielić różnica, albo zostać pochłonięta z
otoczenia.
61
2014-01-01
Zjawisko Thomsona.
Zachodzi w przewodniku, przez który płynie prąd w obecności
zewnętrznego gradientu temperatur. Polega na tym, że albo wydziela się,
albo jest absorbowane ciepło (powyżej bądź poniżej ciepła Joule’a –Lenza).
r
PT = −τ (∇Tj )
Ogrzewanie następuje wtedy, gdy zewnętrzne i termoelektryczne pole są
skierowane zgodnie.
a: ogrzewanie
b: chłodzenie
62