lista nr 1

Statystyka I
Lista 1
Zad. 1 Przytoczyć (przypominając sobie rachunek zbiorów) następujące prawa działań na zbiorach: (a)
rozdzielność koniunkcji zdarzeń względem alternatywy zdarzeń, (b) rozdzielność alternatywy zdarzeń
względem koniunkcji zdarzeń, (c) prawa De Morgana.
Zad. 2 Udowodnić, że dla dowolnych zdarzeń A, B, C i H zachodzi:
(a) (B \ A) ∪ A = A ∪ B
(b) (A ∩ B) ∪ (B ∩ A0 ) = B
(c) P (A ∩ B) = P (B) − P (B ∩ A0 )
(d) P (B \ A) = P (B) − P (A ∩ B)
(e) P (A ∪ B|H) = P (A|H) + P (B|H) − P (A ∩ B|H)
Zad. 3 Wiedząc że
(i)
P (A0 ) = 31 , P (A ∩ B) = 14 i P (A ∪ B) = 23 ; obliczyć P (B 0 ), P (A ∩ B 0 ) i P (B \ A).
(ii) P (A ∪ B) = 12 i P (A ∩ B) = 41 , ponadto P (A \ B) = P (B \ A); obliczyć P (A) i P (B \ A).
(iii) P (A0 ∩ B 0 ) = 21 i P (A0 ) = 23 , ponadto P (A ∩ B) = 14 ; obliczyć P (B) i P (A0 ∩ B).
(iv) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B); obliczyć P (A ∪ B ∪ C)
Zad. 4 Pokazać, że jeżeli A i B są niezależne, to niezależne są również: (1) A0 i B 0 , (2) A i B 0 , (3) A0 i B.
Zad. 5 Przyjmijmy, że zdarzenia A1 , A2 , . . . , An są wzajemnie niezależne i P (Ai ) = pi (i = 1, 2, . . . , n).
Obliczyć prawdopodobieństwo zajścia co najmniej jednego z tych zdarzeń.
Zad. 6 Zdarzenia A i B są niezależne, natomiast zdarzenia B i C się wykluczają. Obliczyć P ((A ∩ B)0 ∪ C),
jeśli P (A) = p, P (B) = q i P (C) = r.
Zad. 7 Na odcinku [0, 1] umieszczono losowo punkty A1 , A2 , A3 . Jaka jest szansa, że A1 ¬ A2 ¬ A3 ?
Zad. 8 Dwie osoby X i Y umówiły się na spotkanie w określonym miejscu między godziną 12 i 13 w
ten sposób, że osoba która przyjdzie pierwsza czeka jedynie 20 minut, po czym odchodzi. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że osoby X i Y spotkają się, jeżeli każda z nich przychodzi losowo w podanym
przedziale czasowym i niezależnie od siebie.
Zad. 9 Jakie jest prawdopodonieństwo tego, że w grupie ćwiczeniowej ze Statystyki I, liczącej 20 osób,
przynajmniej dwie z nich będą obchodziły urodziny tego samego dnia? Czy prawdopodobieństwo
zwiększy się znacznie, gdy grupa będzie liczyła 60 osób? Proszę naszkicować wykres zależności miedzy
liczebnością grupy a prawdopodobieństwem.
Zad. 10 Stacja nadawcza X przesyła sygnał do stacji Y, stacja Y zaś przesyła potwierdzenie odbioru.
Zarówno przesyłany sygnał, jak i jego potwierdzenie mogą nie dotrzeć do miejsca przeznaczenia z
prawdopodobieństwem p. Stacja X przesyła do stacji Y, ale nie otrzymała potwierdzenia. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że stacja Y otrzymała sygnał.
Zad. 11 Oszacowano, że w danych warunkach kiełkuje jedno ziarno na dziesięć. Ile powinniśmy zasadzić
ziaren, aby prawdopodobieństwo wykiełkowania przynajmniej jednego z nich było nie mniejsze niż
0.95.
Zad. 12 Z talii 52 kart losujemy dwie karty bez zwrotu. Nie wiemy, jakie to są karty. Wobec tego, czy
szanse wylosowania asa, z tak zredukowanej talii (50 kart), wzrosną w stosunku do losowania z pełnej
talii?
Robert Kapłon