Przekształcenie całkowe Fouriera

Przekształcenie całkowe Fouriera
1
Postać zespolona szeregu Fouriera
Niech dana będzie funkcja f spełniająca w przedziale [−d, d] warunki Dirichleta. Wtedy szereg
Fouriera tej funkcji jest do niej zbieżny, tj.
∞
a0 X
nπt
nπt
+
an cos
+ bn sin
f (t) =
2
d
d
n=1
(1)
przy czym
a0 =
1 Zd
f (t) dt,
d −d
oraz dla n = 1, 2, . . .
1 Zd
nπt
f (t) cos
dt,
d −d
d
1 Zd
nπt
bn =
f (t) sin
dt.
d −d
d
Dokonując prostych przekształceń trygonometrycznych możemy szereg (1) przedstawić w postaci
zespolonej
∞
X
nπt
f (t) =
cn exp i
(2)
d
n=−∞
an =
gdzie
1 Zd
nπt
cn =
f (t) exp −i
dt,
n = 0, ±1, ±2, . . .
2d −d
d
Jeżeli 2d jest okresem funkcji f , to powyższy wzór można przekształcić do postaci
cn =
Przykład
1 Z 2d
nπt
f (t) exp −i
dt,
2d 0
d
n = 0, ±1, ±2, . . .
Rozwinąć w szereg zespolony Fouriera funkcję okresową
u(t) =















U
2
U
T
dla t = 0
t
dla 0 < t < T
U
2
dla t = T
u(t) = u(t + T ),
t∈R
która przedstawia napięcie półkształtne wytwarzane w tzw. generatorach podstawy czasu. Napięcie
takie może służyć do okresowego odchylania wiązki elektronów padającej na wewnętrzną stronę
ekranu telewizora. Mamy tutaj 2d = T , stąd πd = 2π
= $, gdzie $ jest pulsacją analizowanego
T
napiecia okresowego.
1
Korzystając ze wzorów na współczynniki cn mamy kolejno
U
1 ZT U
t dt =
T 0 T
2
c0 =
cn =
U
1 ZT U
t exp [−i n$t] dt = −
,
T 0 T
i$T n
n = ±1, ±2, . . .
Stąd
cn =



U
2


U
i 2nπ
dla n = 0
dla n = ±1, ±2, . . .
Szukane rozwinięcie jest więc następujące
u(t) =
∞
X
U
iU
+
exp [i n$t]
2
n=−∞ 2nπ
(n6=0)
Definicja Ciąg liczb {An }, n = 0, ±1, ±2, . . ., gdzie An = |cn | nazywamy widmem amplitudowym funkcji okresowej
∞
X
u(t) =
cn exp [i n$t]
n=−∞
Definicja
Ciąg liczb {φn }, n = 0, ±1, ±2, . . ., gdzie


arg cn






φn =







gdy Im cn 6= 0
0
gdy cn ­ 0
π sgn n
gdy cn < 0
nazywamy widmem fazowym funkcji okresowej
∞
X
u(t) =
cn exp [i n$t]
n=−∞
Symbol arg cn oznacza argument główny liczby cn , a więc −π < arg cn ¬ π.
Przykład Wyznaczymy widmo amplitudowe i fazowe napięcia półkształtnego z poprzedniego
przykładu.
Z uwagi na rozwinięcie tej funkcji mamy



An = 

U
2
U
2π|n|
oraz
φn =
2
dla n = 0
dla n = ±1, ±2, . . .
π
sgn n
2
n = 0, ±1, ±2, . . .
Wzór całkowy Fouriera
Podamy teraz twierdzenie Fouriera
Twierdzenie Jeżeli funkcja f spełnia warunki Dirichleta w każdym przedziale skończonym, a
ponadto całka
Z ∞
f (t) dt
−∞
2
jest bezwzględnie zbieżna, to
Z ∞
1 Z∞
dω
f (τ ) cos ω(t − τ ) dτ
f (t) =
π 0
−∞
t∈R
(3)
Całkę w powyższym wzorze rozumiemy nastepująco
f (t) =
1 Z∞ Z∞
f (τ ) cos ω(t − τ ) dτ dω
π 0
−∞
Korzystając z wzoru na cosinus różnicy kątów wzór (3) możemy zapisać w postaci
f (t) =
∞
Z
[ a(ω) cos ωt + b(ω) sin ωt ] dω
(4)
0
gdzie funkcje a i b są określone wzorami
1 Z∞
a(ω) =
f (τ ) cos ωτ dτ
π −∞
(5)
1 Z∞
b(ω) =
f (τ ) sin ωτ dτ
(6)
π −∞
Całkę po prawej stronie równości (4) nazywamy całką Fouriera.
Na podstawie wzorów (5) i (6) można stwierdzić, że funkcja a jest parzysta, a funkcja b - nieparzysta.
Jeżeli f jest funkcją parzystą, to
b(ω) = 0,
a(ω) =
oraz
f (t) =
2 Z∞
f (τ ) cos ωτ dτ
π 0
∞
Z
a(ω) cos ωt dω
(7)
0
Jeżeli f jest funkcją nieparzystą, to
a(ω) = 0,
b(ω) =
oraz
f (t) =
2 Z∞
f (τ ) sin ωτ dτ
π 0
∞
Z
a(ω) sin ωt dω
(8)
0
Wzór (7) nazywamy cosinusowym wzorem całkowym Fouriera, a wzór (8) - sinusowym
wzorem całkowym Fouriera.
Przykład Przedstawimy za pomocą wzoru całkowego Fouriera funkcję
f (t) =


1













dla |t| < 1
1
2
dla |t| = 1
0
dla |t| > 1
Ponieważ podana funkcja jest parzysta, więc b(ω) = 0 oraz
a(ω) =
2 Z∞
2 Z1
2
f (τ ) cos ωτ dτ =
cos ωτ dτ =
sin ω
π 0
π 0
πω
Podstawiając obliczoną wartość a(ω) do wzoru (7), otrzymujemy
f (t) =
2 Z ∞ sin ω
cos ωt dω
π 0
ω
3
Równość ta stanowi przedstawienie podanej funkcji za pomocą cosinusowego wzoru całkowego
Fouriera.
Uwaga Porównując otrzymany wzór całkowy z wzorem podanej funkcji możemy zapisać
∞
Z
0








π
2
dla |t| < 1
π
4
dla |t| = 1



 0
dla |t| > 1
sin ω
cos ωt dω =

ω


a więc na przykład dla t = 0 otrzymamy
Z
∞
0
sin ω
π
dω =
ω
2
Podobnie jak w zastosowaniach szeregów Fouriera, zachodzi niekiedy potrzeba przedstawienia
za pomocą całki Fouriera funkcji, która jest określona jedynie dla dodatnich wartości argumentu.
Często zdarza się, że nasze żądania są bardziej sprecyzowane: chcemy przedstawić funkcję f za
pomocą cosinusowego wzoru całkowego Fouriera, wtedy przedłużamy funkcję w sposób parzysty


f (−t)






f˜(t) =
dla t < 0
f (0+)
dla t = 0
f (t)
dla t > 0







bądź za pomocą sinusowego wzoru całkowego Fouriera, wtedy przedłużamy funkcję w sposób nieparzysty


−f (−t)
dla t < 0


f˜(t) =











Przykład
0
dla t = 0
f (t)
dla t > 0
Przedstawimy funkcję
(
f (t) =
1−t
0
dla t ∈ (0, 1]
dla t ∈ (1, ∞)
za pomocą cosinusowego, a następnie sinusowego wzoru całkowego Fouriera.
W pierwszym przypadku przedłużamy funkcję w sposób parzysty
f˜(t) =


0





 1+t
1



1−t




0
dla t ∈ (−∞, −1)
dla t ∈ [−1, 0)
dla t = 0
dla t ∈ (0, 1]
dla t ∈ (1, ∞)
Mamy b(ω) = 0 oraz
2 Z1
2 1 − cos ω
(1 − τ ) cos ωτ dτ =
a(ω) =
π 0
π
ω2
skąd otrzymujemy cosinusowy wzór całkowy Fouriera
f (t) =
2 Z ∞ 1 − cos ω
cos ωt dω
π 0
ω2
4
t>0
W drugim przypadku przedłużamy funkcję w sposób nieparzysty
f˜(t) =


0





 −1 − t
dla t ∈ (−∞, −1)
dla t ∈ [−1, 0)
dla t = 0
dla t ∈ (0, 1]
dla t ∈ (1, ∞)
0



1−t




0
Mamy a(ω) = 0 oraz
2 ω − sin ω
2 Z1
b(ω) =
(1 − τ ) sin ωτ dτ =
π 0
π
ω2
skąd otrzymujemy sinusowy wzór całkowy Fouriera
2 Z ∞ ω − sin ω
f (t) =
sin ωt dω
π 0
ω2
3
t>0
Postać zespolona wzoru całkowego Fouriera
Wzór całkowy Fouriera w postaci zespolonej jest następujący
f (t) =
Z
∞
c(ω) exp [iωt] dω
(9)
−∞
gdzie
1 Z∞
f (τ ) exp [−iωτ ] dτ
c(ω) =
2π −∞
Zgodnie ze wzorem Eulera mamy
exp [−iωτ ] = cos ωτ − i sin ωτ
można wyrazić c(ω) przez a(ω) i b(ω) określone wzorami odpowiednio (5) i (6)
c(ω) =
Przykład
a(ω) − i b(ω)
2
Przedstawimy za pomocą wzoru całkowego Fouriera w postaci zespolonej funkcję


1






f (t) = 
dla |t| < 1
1
dla |t| = 1
2





 0
dla |t| > 1
Ponieważ podana funkcja jest parzysta, więc b(ω) = 0 oraz
2 Z∞
2 Z1
2
a(ω) =
f (τ ) cos ωτ dτ =
cos ωτ dτ =
sin ω
π 0
π 0
πω
Wobec tego mamy
c(ω) =
1
sin ω
πω
oraz
f (t) =
1 Z ∞ sin ω
exp [iωt] dω
π −∞ ω
5
4
Przekształcenie całkowe Fouriera
Rozważmy wzór całkowy Fouriera w postaci zespolonej (9). Jeśli wprowadzimy oznaczenie
∞
Z
F (iω) =
exp[−iωt]f (t) dt
(10)
−∞
to wzór (9) można zapisać w postaci
1 Z∞
f (t) =
exp[iωt]F (iω) dω
2π −∞
(11)
Wzór (10) przyporządkowuje funkcji f zmiennej rzeczywistej t funkcję F zmiennej urojonej iω.
Przyporządkowanie to nazywa się przekształceniem Fouriera funkci f i oznacza sie symbolem F:
F (iω) = F [f (t)]
(12)
Funkcja f nazywa się transformatą Fouriera funkcji f .
Wzór (11) określa odwrotne przekształcenie Fouriera, które funkcji F zmiennej urojonej iω
przyporządkowuje funkcję f zmiennej rzeczywistej t. Przekształcenie to znaczamy symbolem F −1 ,
więc
f (t) = F −1 [F (iω)]
(13)
Przykład
Obliczyć transformatę Fouriera funkcji
f (t) =








dla |t| < 1
t
1
2
dla |t| = 1
sgn t







dla |t| > 1
0
Mamy
F (iω) =
Z
1
te
−iωt
dt =
−1
Z
1
t cos ωt dt − i
−1
Z
1
t sin ωt dt
−1
Część rzeczywista obliczanej transformaty jest równa zeru z uwagi na nieparzystość funkcji
t cos ωt, natomiast część urojona jest równa
Z
1
t sin ωt dt = 2
−1
Z
1
t sin ωt dt = −
0
2 cos ω 2 sin ω
+
ω
ω2
stąd
F (iω) =
4.1
2i
(ω cos ω − sin ω)
ω2
Własności przekształcenia Fouriera
1. liniowość przekształcenia F
F [λ1 f1 (t) + λ2 f2 (t)] = λ1 F [f1 (t)] + λ2 F [f2 (t)]
gdzie λ1 , λ2 ∈ R
6
2. pochodna F-transformaty
h
i
dk F (iω)
k
k
=
(−i)
F
t
f
(t)
dω k
k = 1, 2, . . . , n
3. przesunięcie argumentu funkcji
F [f (t − t0 )] = e−iωt0 F [f (t)]
t0 ∈ R
4. przesunięcie argumentu transformaty
h
i
F eiω0 t f (t) = F (j(ω − ω0 ))
ω0 ∈ R
5. F-transformata pochodnej
jeżeli pochodne f (k) , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 spełniają warunki
lim f (k) (t) = 0
t→−∞
lim f (k) (t) = 0
t→+∞
to
h
i
F f (n) (t) = (iω)n F [f (t)]
4.2
Cosinusowe i sinusowe przekształcenie Fouriera
Wzór
Fc (ω) =
∞
Z
określa cosinusowe, a wzór
Fs (ω) =
f (t) cos ωt dt
(14)
f (t) sin ωt dt
(15)
0
Z
∞
0
sinusowe przekształcenie Fouriera.
Przykład Niech f (t) = e−αt , α > 0, t ∈ (0, ∞). Wtedy
Fc (ω) =
oraz
Fs (ω) =
∞
Z
e−αt cos ωt dt =
0
Z
∞
e−αt sin ωt dt =
0
α2
α
+ ω2
α2
ω
+ ω2
Można sprawdzić, że jeżeli funkcja f jest parzysta, to
F (iω) = 2Fc (ω)
a jeżeli f jest nieparzysta, to
F (iω) = −2iFs (ω)
Wzór
2 Z∞
f (t) =
Fc (ω) cos ωt dω
π 0
określa odwrotne cosinusowe, a wzór
2 Z∞
f (t) =
Fs (ω) sin ωt dω
π 0
odwrotne sinusowe przekształcenie Fouriera.
7
(16)
(17)