Lista zadań 4

Zadania z fizyki
Wydział PPT
4
Opis ruchu w przestrzeni (I)
Uwaga: Zadania oznaczone przez ‘(c)’ należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach.
Zad. 1(c). W animacji komputerowej punkt na ekranie komputera ma położenie r(t) = [4,0 cm +
(2,5 cm/s2 )t2 ]ı̂ + (5,0 cm/s2 )t̂. (a) Podaj wartość i kierunek średniej prędkości punktu pomiędzy
t1 = 0 a t2 = 2,0 s. (b) Podaj wartość i kierunek prędkości chwilowej punktu w t = 0, t = 1,0 s i
t = 2,0 s. (c) Naszkicuj tor ruchu punktu od t = 0 do t = 2,0 s i zaznacz prędkości obliczone w
punkcie (b).
Zad. 2. Wiewiórka ma w chwili t1 = 0 współrzędne (1,1 m; 3,4 m), a w chwili t2 = 3,0 s –
(5,3 m; −0,5 m). Znaleźć dla tego przedziału czasu (a) składowe prędkości średniej, (b) wartość
i kierunek prędkości średniej.
Zad. 3. Nosorożec znajduje się w chwili t0 = 0 w początku układu współrzędnych. Jego prędkość
średnia w przedziale czasu od t0 do t1 = 12 s ma składową vx równą −3,8 m/s, a składową vy
równą 4,9 m/s. Jakie są współrzędne x i y nosorożca w chwili t1 ? (b) Jak daleko od początku
układu współrzędnych znajduje się on w tej chwili?
Zad. 4. Położenie wiewiórki w parku dane jest jako funkcja czasu wzorem r(t) = [(0,280 m/s)t +
(0,0360 m/s2 )t2 ]ı̂ + (0,0190 m/s3 )t3 ̂. (a) Znajdź zależność od czasu składowych prędkości vx i vy
wiewiórki. (b) Jak daleko od punktu początkowego (t = 0) jest wiewiórka w chwili t = 5,00 s? (c)
Jaka jest wartość i kierunek prędkości wiewiórki w chwili t = 5,00 s?
Zad. 5. Jeśli r(t) = bt2 ı̂ + ct3 ̂, gdzie b i c są dodatnimi stałymi, to kiedy wektor prędkości tworzy
kąt 45◦ z osiami układu współrzędnych?
Zad. 6(c). Samolot odrzutowy leci na stałej wysokości. W chwili t1 = 0 ma on składowe prędkości
vx = 90 m/s i vy = 110 m/s. W chwili t2 = 30,0 s składowe prędkości wynoszą vx = −170 m/s
i vy = 40 m/s. (a) Naszkicuj wektory prędkości w chwilach t1 i t2 . Jaka jest różnica pomiędzy
tymi wektorami? (b) Oblicz składowe średniego przyspieszenia w tym przedziale czasu. (c) Oblicz
wartość i kierunek średniego przyspieszenia w tym przedziale czasu.
Zad. 7. Biegacz wyrusza z punktu A i biegnie z prędkością o
stałej wartości 6,0 m/s po kołowym torze o średnicy 100 m, pokazanym na rysunku obok. Znajdź składowe średniej prędkości
i średniego przyspieszenia biegacza pomiędzy punktami (a) A i
B, (b) (a) A i C, (c) C i D, (d) A i A (pełne okrążenie). (e)
Znajdź wartość średniej prędkości pomiędzy punktami A i B.
Czy jest ona równa wartości jego prędkości chwilowej? Dlaczego
lub dlaczego nie?
1
Zad. 8(c). Biegnący przez pole pies ma w chwili t1 = 10,0 s prędkość o składowych vx = 2,6 m/s
i vy = 1,8 m/s. W przedziale czasu od t1 do t2 = 20,0 s średnie przyspieszenie psa ma wartość
0,45 m/s2 i skierowane jest pod kątem 31,0◦ do osi x. (a) Znaleźć składowe prędkości psa w chwili
t2 . (b) Znaleźć wartość i kierunek prędkości w chwili t2 . (c) Naszkicować wektory prędkości w
chwilach t1 i t2 . Jaka jest ich różnica?
Zad. 9(c). Współrzędne ptaka lecącego w płaszczyźnie xy dane są wzorami x(t) = αt i y(t) =
3,0 m − βt2 , gdzie α = 2,4 m/s, a β = 1,2 m/s2 . (a) Naszkicuj tor lotu ptaka w przedziale czasu
od t = 0 do t = 2,0 s. (b) Oblicz wektory prędkości i przyspieszenia ptaka jako funkcje czasu. (c)
Znajdź wartość, kierunek i zwrot przyspieszenia ptaka w t = 2,0 s. (c) Naszkicuj wektory prędkości
i przyspieszenia w t = 2,0 s. Czy w tej chwili czasu ptak przyspiesza, zwalnia czy też wartość jego
prędkości w tym momencie się nie zmienia? Czy ptak zakręca? jeśli tak, to w jakim kierunku?
Zad. 10. Mały samolot-zabawka leci w płaszczyźnie xy, równoległej do powierzchni Ziemi. W
przedziale czasu od t = 0 do t = 100 s jego prędkość jako funkcja czasu dana jest zależnością
v(t) = (1,20 m/s2 )tı̂ + [12,0 m/s − (2,00 m/s2 )t]̂. W jakiej chwili czasu prędkość samolotu będzie
prostopadła do jego przyspieszenia?
Zad. 11(c). Największe przyspieszenie normalne, przy którym pewien samochód nie wpada w
boczny poślizg, wynosi 9,4 m/s2 . Jaki jest najmniejszy promień łuku, który ten samochód może
pokonać z prędkością 40 m/s?
Zad. 12. (Zawroty głowy). Równowagę utrzymujemy, przynajmniej w pewnym stopniu, dzięki
płynowi znajdującemu się w błędniku w uchu wewnętrznym. W wyniku obrotów płyn ten przemieszcza się, co powoduje zawroty głowy. Załóżmy, że łyżwiarz wykonuje piruet w bardzo szybkim
tempie 3,0 obrotów na sekundę wokół pionowej osi przechodzącej przez środek głowy. Przyjmijmy, że ucho wewnętrzne jest około 7,0 cm od osi obrotów (odległość ta jest oczywiście różna dla
różnych osób). Jakie jest przyspieszenie normalne (w m/s2 i w jednostkach g) płynu w błędniku?
Zad. 13. („Hipergrawitacja”). W Ames Research Center NASA wykorzystuje „wirówkę 20-G”
do testowania wpływu dużych przyspieszeń („hipergrawitacji”) na pilotów testowych i astronautów. W tym urządzeniu, ramię o długości 8,84 m, zamocowane na jednym końcu, obraca się w
płaszczyźnie poziomej, a astronauta przypięty jest na drugim końcu. Załóżmy, że jest on ustawiony wzdłuż ramienia z głową do zewnątrz. Maksymalne przyspieszenie, jakiemu poddawani są
ludzie w tym urządzeniu, wynosi zwykle 12,5g. (a) Jaka musi być prędkość głowy astronauty, aby
doświadczyć tego maksymalnego przyspieszenia? (b) Jaka jest różnica pomiędzy przyspieszeniem
głowy i nóg, jeśli astronauta jest ma 2,00 m wzrostu? (c) Jak szybko (w obrotach na minutę) musi
obracać się ramię w celu uzyskania tego maksymalnego przyspieszenia?
Zad. 14. Punkt materialny porusza się po okręgu z prędkością o wartości v = αt, gdzie α =
0,50 m/s2 . Znaleźć jego przyspieszenie po n = 0,10 obrotu.
Zad. 15*. Cząstka porusza się ze stałą co do wartości prędkością po elipsie. Znaleźć jej przyspieszenie w wierzchołkach elipsy (na końcach osi wielkiej). Wskazówka: Elipsę można otrzymać
rozciągając koło. Jak zmieni się wtedy promień krzywizny w wierzchołku?
Zad. 16*. Znaleźć prędkość, z jaką cień Księżyca porusza się po powierzchni Ziemi w momencie
całkowitego zaćmienia Słońca.
2
Zad. 17(c). Winda jedzie w górę ze stałą prędkością 2,50 m/s. Poluzowana śruba w suficie 3,00 m
nad podłogą windy w pewnym momencie spada. (a) Jak długo trwa spadanie śruby do momentu
uderzenia w podłogę windy? Jaka jest prędkość śruby w momencie uderzenia w podłogę: (b)
według obserwatora w windzie? (c) według obserwatora stojącego na jednym z pięter budynku?
(d) Według obserwatora z punktu (c), jaką odległość przebyła śruba pomiędzy sufitem a podłogą
windy?
Zad. 18(c). (Boczny wiatr). Kompas samolotu wskazuje, że zmierza on w kierunku północnym,
a jego prędkościomierz pokazuje, że porusza się w powietrzu z prędkością 240 km/h. Jaka jest
prędkość samolotu względem ziemi, jeśli z zachodu na wschód wieje wiatr z prędkością 100 km/h?
W jakim kierunku należy skierować samolot, by poruszał się on dokładnie na północ? Jaka będzie
wtedy jego prędkość?
Zad. 19. W czasie meczu piłkarskiego Alicja podaje do Ewy, która biegnie na północ z prędkością 6,00 m/s. Prędkość piłki względem Ewy wynosi 5,00 m/s, 30◦ na wschód od kierunku
południowego. Jakie są wartość i kierunek prędkości piłki w stosunku do ziemi?
Zad. 20*. Dwa czołgi biorą udział w ćwiczeniach na poziomym terenie. Pierwszy z nich wystrzeliwuje pocisk ćwiczebny z prędkością wylotową 250 m/s pod kątem 10,0◦ od poziomu, jadąc w
kierunku drugiego czołgu z prędkością 15,0 m/s względem ziemi. Drugi czołg usiłuje się wycofać
z prędkością 35,0 m/s względem ziemi, ale zostaje trafiony. Można pominąć opór powietrza i założyć, że miejsce trafienia jest na tej samej wysokości nad ziemią, z jakiej został oddany strzał.
Wyznacz odległości pomiędzy czołgami (a) w momencie wystrzału oraz (b) w chwili trafienia.
3