Henryk Filcek

____________________________________________________________________________
Henryk FILCEK
Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków
Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) górotworu
Streszczenie
W pracy podano rozważania na temat możliwości wzbogacenia reologicznego równania
konstytutywnego o czynniki dynamiczne przez dodanie składników, zawierających drugie
pochodne względem czasu. Przeanalizowano szczególny przypadek dynamicznej formy
reologicznej równania konstytutywnego nazwanego standard dynamic. Zdefiniowano i opisano
zjawisko dynamicznego (przyspieszającego) pełzania oraz dynamicznej (pulsującej) relaksacji.
1. Równanie konstytutywne
Równanie konstytutywne wyraża – najprościej rzecz ujmując – związek między naprężeniem i odkształceniem:
  f ( )
(1.1)
gdzie:
 – naprężenie,
 – odkształcenie.
Naprężenia i odkształcenia są tensorami. Związek (1.1) powinien być napisany w formie
dwóch równań tensorowych: aksjatorowego i dewiatorowego. Dla prostoty wywodu
zastosujemy tutaj zapis dla jednoosiowego stanu naprężenia. Ogólnie znane jest równanie
konstytutywne zwane równaniem Hooke’a:
  E
(1.2)
gdzie:
E – moduł sprężystości (Younga).
Równania konstytutywne (1.1) i (1.2) odpowiadają sytuacji, kiedy odkształcenie traktuje się
jako (jednorazowe) zdarzenie. W rzeczywistości odkształcenie a właściwie odkształcanie (lub
odkształcanie się) jest zjawiskiem, które zachodzi z upływem czasu. Równanie konstytutywne,
powinno więc uwzględniać czynnik czasu. Przykładem takiego równania może być tzw.
reologiczne równanie konstytutywne, które w ujęciu różniczkowym można zapisać w postaci
(Filcek 1963):
____________________________________________________________________________
1
____________________________________________________________________________
  f ( , ,  , , ... (n 1) ,  (n 1) ,  (n) ,  (n) )
(1.3)
gdzie:
 ( n) ,  ( n) – pochodne względem czasu n-tego rzędu.
Najczęściej równanie (1.3) ogranicza się do pochodnych rzędu pierwszego, wobec czego:
  f ( , ,  )
(1.4)
gdzie:
 – prędkość (zmiany) odkształcenia,
 – prędkość (zmiany) naprężenia.
Jeśli ograniczyć się do równań liniowych, to równanie (1.4) można napisać w postaci:
  a0  a1  a2  a3
(1.5)
gdzie:
a0 , a1, a2 , a3 – współczynniki reologiczne (stałe).
Przykładem równania (1.5) (przy a0 = 0) może być reologiczne równanie konstytutywne
STANDARD:
  E    
(1.6)
gdzie:
 – współczynnik lepkości,
 – czas relaksacji.
Jeśli równanie (1.6) uzupełnimy o wyrazy zawierające pochodne drugiego rzędu względem
czasu, otrzymamy dynamiczną formę reologicznego równania konstytutywnego typu
STANDARD, które można nazwać „STANDARD DYNAMIC”:
  E        
(1.7)
gdzie:
 ,  – dynamiczne współczynniki reologiczne (stałe).
2. Pełzanie dynamiczne (przyspieszające)
Rozważmy szczególny przypadek równania dynamicznego (1.7) dla:
E  0,   0
otrzymamy wtedy równanie:
      
(2.1)
Załóżmy, że naprężenie jest stałe (niezmienne w czasie):
   0  const
____________________________________________________________________________
2
____________________________________________________________________________
Wtedy równanie (2.1) przyjmuje postać:
 
0
 const

(2.2)
Jeśli przyjąć, że w chwili początkowej (w chwili rozpoczęcia liczenia czasu), czyli:
t  0, jest    0 ,   0
to rozwiązanie równania (2.2) przyjmuje postać:

1 0 2
t  0 t   0
2 
(2.3)
gdzie:
 0  const – naprężenie,
t – czas,
 0 – odkształcenie początkowe,
0 – początkowa prędkość odkształcenia.
Z równania (2.3) wynika, że dla dynamicznego równania konstytutywnego (2.1)
i opisanego nim modelu ośrodka rzeczywistego, przy stałym (niezmiennym w czasie)
naprężeniu, odkształcenie jest zmienne i jest funkcją czasu. Model ciała rzeczywistego opisany
równaniem (2.1) wykazuje zatem zdolność do pełzania. Krzywą pełzania przedstawia
rysunek 2.1.
Pełzanie modelu opisanego równaniem konstytutywnym (1.8) ma charakter dynamiczny
(przyspieszający).
Dotychczas prezentowano zwykle krzywe pełzania ze stałą prędkością (pełzanie
ustabilizowane) według modelu Maxwella (rys. 2.2) lub z prędkością malejącą (pełzanie
wygasające, opóźnienie sprężyste) według modelu Kelvina – Voigta lub STANDARD
(rys. 2.3).
Wielokrotnie prezentowano wyniki doświadczeń, które prowadziły do krzywej pełzania
(tzw. kompletnej) przedstawionej na rysunku 2.3. Doświadczenia te sugerują, że ten sam
ośrodek umie przechodzić różne formy (fazy) pełzania:
I – opóźnienie sprężyste (Kelvin; STANDARD);
II – płynięcie lepkie (Maxwell);
III – pełzanie dynamiczne (przyspieszające).
Z doświadczeń wynika, że jeśli ośrodek wejdzie w III fazę pełzania, dochodzi zwykle do
jego zniszczenia. Ma to szczególne znaczenie w mechanice górotworu. Granica przejścia
w fazę pełzania dynamicznego B (rys. 2.4), podobnie jak granica przejścia od opóźnienia
sprężystego do pełzania ustabilizowanego A, musi być dla każdego górotworu wyznaczona
doświadczalnie.
____________________________________________________________________________
3
____________________________________________________________________________
=
0
= const
arctg
-1
2
0
0
2
0
t
0
-
0
0
Rys. 2.1. Pełzanie dynamiczne (przyspieszające)
Fig. 2.1. Dynamic creep (accelerating)
=
0
= const
arctg
0
0
t
Rys. 2.2. Pełzanie ze stałą prędkością, płynięcie lepkie (Maxwell)
Fig. 2.2. Creep with constant velocity risco – yielding (Maxwell model)
____________________________________________________________________________
4
____________________________________________________________________________
=
=
0
= const
0
E
0
t
T=
E
Rys. 2.3. Pełzanie z malejącą prędkością, opóźnienie sprężyste (Kelvin-Voigt, STANDARD)
Fig. 2.3. Creep with decreasing velocity, elastic delay (Kelvin-Voigt model, STANDARD model)
III
B
II
A
I
0
t
Rys. 2.4. Doświadczalna krzywa pełzania (kompletna)
Fig. 2.4. Experimental creep curve (complete process)
____________________________________________________________________________
5
____________________________________________________________________________
3. Relaksacja dynamiczna (pulsująca)
Rozważmy przypadek dynamicznego równania konstytutywnego (2.1):
      
przyjmując założenie, że odkształcenie jest stałe (niezmienne w czasie):
   0  const
wtedy równanie (2.1) przyjmuje postać:
 

1
    0


(3.1)
Dla
1

(4 
2
)0

oraz przy założeniu, że:
dla t = 0 jest    0 ,
rozwiązanie równania (3.1) przyjmuje formę (Kamke 1961):
 e

1
t
2
( 0 cos
1
2 
2
4
t 

2(2

   0 )
1
 0
sin
2
2 

4

4
2
 t)

(3.2)
Z równania (3.2) wynika, że dla dynamicznego równania konstytutywnego (2.1)
i opisanego nim modelu ośrodka rzeczywistego – przy stałym (niezmiennym w czasie)
odkształceniu, naprężenie jest zmienne (maleje) i jest funkcją czasu. Model ciała
rzeczywistego opisany równaniem (2.1) wykazuje zatem zdolność do relaksacji czyli
odprężenia. Krzywą relaksacji przedstawia rysunek 3.1.
Z równania (3.2) i rysunku 3.1 wynika, że relaksacja modelu ośrodka rzeczywistego
opisanego równaniem konstytutywnym (2.1), może mieć przebieg falisty. Wymuszone stałym
(niezmiennym w czasie) odkształceniem, naprężenie początkowo maleje z upływem czasu od
wartości początkowej  0 do zera, oscylując wokół wartości   0 z szybko zanikającą
amplitudą (z uwagi na czynnik tłumiący e

1
t
2
– rysunek 3.1).
____________________________________________________________________________
6
____________________________________________________________________________
=
0
= const
4
T=
4-
2
0
t
-
0
T
T
Rys. 3.1. Relaksacja dynamiczna (pulsująca)
Fig. 3.1. Dynamic relaxation (pulsating)
Częstotliwość pulsacji (drgań) wynosi:
1
f  
T
 4


4
i zależy od współczynników reologicznych  i  .
Trudno w tym przypadku podać bezpośrednią weryfikację doświadczalną. Można jedynie
stwierdzić, że wiele zjawisk w przyrodzie przebiega w podobny sposób, choćby przysłowiowy
kamień rzucony do wody, który wywołuje szybko zanikające kręgi fal wody.
Dla ścisłości należy zauważyć, że dla innej konfiguracji parametrów reologicznych niż
podano wcześniej uzyskuje się rozwiązania aperiodyczne, analogiczne do relaksacji statycznej
z malejącą prędkością według modelu Maxwella lub STANDARD (rys. 3.2).
____________________________________________________________________________
7
____________________________________________________________________________
res
0
STANDARD
MAXWELL
t
Rys. 3.2. Relaksacja statyczna z malejącą prędkością (Maxwell, STANDARD)
Fig. 3.2. Static relaxation with decreasing velocity (Maxwell model, STANDARD model)
Zjawisko relaksacji pulsującej (dynamicznej) jest niezwykle istotne dla mechaniki
górotworu. Charakter falowy zjawiska wywołanego wymuszeniem pewnego odkształcenia
przez człowieka lub naturę zasługuje na szczególną uwagę. Zmiana znaku naprężenia podczas
pulsacji ma dla ośrodka o silnie różniących się granicach wytrzymałości na ściskanie
i rozciąganie, do których należy górotwór, szczególnie istotne znaczenie.
Literatura
[1] Filcek H. 1963: Wpływ czasu na stan naprężenia i odkształcenia górotworu w sąsiedztwie wyrobiska
chodnikowego. Zeszyty Problemowe Górnictwa, t. 1, z. 1, PAN.
[2] Kamke E. 1961: Spravocznik po obyknowiennym dyferencjalnym uranieniam, GIF-ML, Mockva.
____________________________________________________________________________
8