5. M.Palej: O pewnym uzupełnieniu konstrukcji papierkowej elipsy.

Marian PALEJ
oŚrodek Geometrii i Grafiki Inżynierskicj
Politechniki Sląskiej .'uv
Gliwicach.
o PEIVNYM UZUPEŁNIE|{IU KONSTRUKCJI PAPIERK0WEJ ELIPSY
Konstrukcjapapierkowaelipsyjestjednym z najczęściej
uzywanychsposobow kreślenia
teJ krzywej. obok danych w załoŻeniuśrednicsprzęzonych wymaga bowiem jednej tylko
dodatkowej prosteJi nie pozostawia zbędnych dla wyniku elementow pomocniczych.Jest
przl1t.aczana
nieomal we wszystkichkra.1olvych
i obcojęzycznychpodręcznikach.Dziwi 1ednak
fakt, ze |ak dotąd, nie zostałaona wykorzystanaw pełni't.j.ze nie zwrocono uwagi na
mozliwoścłatwego,po.;awia;ącego
się niejako na marginesietej konstrukcji dodatkowego
uzupetnieniainformacji o kreślonejelipsie - informacjiustalającejkierunki jej osi.Niniejvy
prryCzynek1estprobąusunięciatej luki.
.
Niech danabędziepara ŚrednicSprzęzonychelipsy Ap
I
i
CD
/rys.
1/.1.{a
prostejprzechodzącejprzez koniec jednej z
\\
tych średnicnp. A prostopadledo pozostałejśredniey
/CDl
,r'\
odmierzmy po je$ej '_!*g'9-stronie punktu A potowę
średnicy
CD t.l. iA : n : Co'Za,*aŻmy,ie proste OI i
\
02 to t.zw' ,,prostekierownicze,,17l,po kttlrychśIizga.1ą
\
się
odpowiednie punkty '.,inStrumentu''kreślącegokrzywą
..Ó
C
r,vedług
,'konsirukcjina Sumę''lub ,,na roznicę; odcinkow
IA i 43.
\_
okazuje się,zesymetralnekątow ] 02 i 20I pokqywają
B
się z osiami elipsy o średnicach
AB i CD . Tak więc
konstruując metodą papierkową elipsę otrzymac mozna
natychmiastkierunkiosi tej krzywejjako dwusiecznekątow
Rys. I
utworzonych przez dwie proste kierownicze konstrukcji
papierkowej.
Dowod stusznościopisanej konstrukcji mieści się w dowodach uzasadniających
pełniejszerozwaiania doryczącejednocześnie
clługości
osi. Tak np w podręczniku l2l Autar
wyprowadza go z relacji geometrycznychodwołującychsię do wspołśrodkowychokręgow
opisanychna osiach elipsy,natomiastw pracy l3lpod,stawądowodu Są za|eŻności
wynik aj-ące,z
interpretacjielipsyjako rzufu rownoległegookręgu'
Wydaje się nie od rzecry
wspomniecw tym miejscuo mozliwości
wykorzystania w dowodzie niektorych
kra;owych
wynikow
doĘczących
przekształcen
krzyvrych
stopnia
drugiego.W szczegolności,w pracach
l4l, l5l wykazano, Że dla dowolnej
stozkowej o o średnicachsprzęzonych
AB i CD lrys.2l istnieje taki zbior
punktow S, z ktorych rzuty tej stozkowaj
na płaszczyznę tęCD
fworzą pęk
okręgow /punkty C i D są punktami
podstawowymi tego pęku/
Rys. 2
Zbi6r
I
-42-
punktow5 jest stozkową o , ktorejjednąz średnic
jestlR . Jestoczywiste, zejezeli @ jest
elipsąto do zbioru s' nalezątakze dwa punkty niewłaściwe
Lr' i ,* . istniejąbowiem rzuty
rownoległeprzeprowadzająceelipsę O na okrąg PQku /okrąg o średnicachCD i MN l
Stozkowa o jest więc hiperbolą . ZauwaŻmy,Że punkty Lr'. , I,^, to kierunki prostych
łączącychkonce średnicyAB stozkowej a z koilcami M^i
rU'srednicy okręgu sprzęzonejz CD Kierunki te ustalają
kierunki asymptot hiperboli o. zinterpretujmy powyzsze
ustaleniana płaskimrysunku/rys.3/rozumiejąc,ze obydwie
stozkowe O i o zostały zrzutowane na płaszczyznę
'
rysunku.W rysi:nku takim srednice A,B, i C,D Są
średnicami
sprzęzonymielipsy- a), a kierunki B,M,, B,N,
kierunkamiasymptothiperboli - 6
W pracachl5l, 16l udowodniono,Że stoŻkowecr.li o
\
Są wspołosiowe.Wnosimy
więc, ze kierunki osi elipsyjako
identycznez kierunkami osi hiperboli są ustalone przez
dwusiecznekątowutworzonychprzez kierunkiasymptot,tJ.
Rys. 3
prosteIJ,lvt,i B,N,.Ieże|ipotraktujemyrysunek l jako taki,
ktoryjowstaje Z przesunięciaw ryS,3 układu prostych
zaczepronychw punkcie B' o wektor B,O', otrzymamyopisanąna wstępiekonstruk.ję,ktorą
nalezałoudowodnic.
Dodajmy Jeszcze, ie w okreŚlonych syuacjach moze nie byc bez znaczenla, iz
prezentowanametodapozwala na znalezięnieosi elipsybez uŻyciacyrkla /w połowieniukąta
mozna posłuzyc się prostymi rownoodległymrod jego ramion/, co w innych znanych
konstrukcjach/powinowactwo,metoda
Ntzal nie iestmozliwe.
Literatura:
lll
S.Szerszen - ,,Naukao rzutach"- PWN, Warszawa,1977
l2l J.Kounovsky - F. Vycichlo - ,,Deskriptivnigeometrie"-NakladatelstvrCeskoslovenske
AkademieVED,Praha,I 953
l3l J.Simek
,,O nekterechkonstrukcichelipsyodvozenychz prostoru"- Sbornik Vysoke
Skoly Pedagogicke v Olomcuci, Prirodni Vedy IV. Statni Pedagogicke
Nakladatelstvi,
Praha, I 958
l4l A.Pogonowska - ,,Stozkowe środkowo.pociobne
jako rzuĘ krzywych stopnia drugiego i
kwadryk krzywoliniowych" - rozprawa doktorska - Gliwice-Warszawa.
i 985.
.
l5l T.Dyduch
,,9 pewnychwspołosiowychprzekształceniach
środkowo-kolineacyjnych
w
lE3l - Wybrane zagadnienia geometrii wykreŚlnej - Mono grafia-6+
PolitechnikaKrakowska,Krakow, 1988.
16l M.Palej,A.Pogonowska- ,,o relacjachzachodzącychpomiędzyrzutami t.zw'stozkowych
środkowi stozkovyych podstawowych'' - Zeszyty Naukowe Politechnikl
Sląskiejs'Matematyka.Fi
zyka Z,53, Gliwice' 1989.
A SUPPLEMENT
OF T}IE SO CALLED
'PAPER
CONSTRUCTION
OF ELLIPSE'
Well known paper constructionof ellipsseis completed.The author shows how to find
the direction of the axes of ellipsesif a pail of conjugateddiametersof this curve is given.
.43-