Przykład 1.1.

Przykład 1.1. Wyznaczanie równań ruchu, prędkości, przyśpieszenia oraz
toru punktu
Pręt AB o długości 3l pokazany na rysunku
1.A porusza się w ten sposób, że koniec B
przesuwa się wzdłuż prostej pionowej,
a koniec A wzdłuż prostej poziomej. Prędkość
punktu A jest stała i równa Vo.
Po jakim torze porusza się punkt M pręta ?
Jaka jest jego prędkość i przyśpieszenie ?
Położenie początkowe przedstawiono na
rysunku 1.A.
rys. 1. A
ROZWIĄZANIE
1. Wyznaczenie równań ruchu i toru punktu M
Przyjmując układ osi xy jak na rysunku 1.B, możemy określić odległość punktu A od
początku układu jako:
OA = AB cos ϕ (t ) = 3l cos ϕ (t ) .
Współrzędna xM w dowolnej chwili wynosi:
x M = OA − AM cos ϕ (t ) = 3l cos ϕ (t ) − l cos ϕ (t ) = 2l cos ϕ (t ) ,
natomiast współrzędna yM (wyznaczona analogicznie jak xM ) wynosi
y M = AM sin ϕ (t ) = l sin ϕ (t ) .
Równania xM. i yM. stanowią równania ruchu punktu M.
rys. 1. B
Korzystając z zależności trygonometrycznej
sin 2 (ϕ ) + cos 2 (ϕ ) = 1 , możemy
wyrugować z równań i otrzymać równanie toru.
Przekształćmy równania określające współrzędne punktu M w następujący sposób:
1
ϕ (t )
xM
= cos ϕ (t ) ,
2l
yM
= sin ϕ (t ) .
l
Podnosząc równania stronami do kwadratu i dodając do siebie otrzymamy
2
2
 yM 
 xM 
+
 = 1.



 l 
 2l 
rys. 1.C
Torem punktu M jest zatem wycinek elipsy o półosiach równych 2l i l. Jeżeli
założymy, że w chwili początkowej pręt AB znajdował się w pozycji pionowej, a w chwili
końcowej w pozycji poziomej, to punkt M porusza się po wycinku elipsy leżącym w
dodatniej ćwiartce układu współrzędnych. Promień wodzący punktu M obraca się zgodnie ze
wskazówkami zegara, a punkt M rozpoczyna swój ruch z położenia określonego
(
)
współrzędnymi 2l cos ϕ , l sin ϕ co przestawia rys. 1.C.
o
o
2. Wyznaczenie prędkości punktu M
Otrzymane równania ruchu punktu M przedstawione są w funkcji kąta ϕ(t). Oznacza
to, że obliczenie składowych wektora prędkości z równań:
V Mx =
V My =
dx M (ϕ )
dt
dy M (ϕ )
dt
=
dx M (ϕ ) dϕ (t )
⋅
,
dϕ
dt
=
dy M (ϕ ) dϕ (t )
⋅
,
dϕ
dt
•
wymaga znalezienia ϕ (t ) .
rys. 1.D
2
Rozważmy ponownie odległość OA określoną przez kąt ϕ związkiem
OA = 3lcosϕ(t).
Jednocześnie (porównaj rysunek 1.D) równanie ruchu punktu A ma postać
x A = OA = V A ⋅ t .
_
Z porównania obydwu zapisów odcinka OA uzyskujemy cos ϕ (t ) =
VA
⋅t ,
3l
i po zróżniczkowaniu po czasie , możemy obliczyć, że
•
ϕ (t ) = −
ponieważ
VA
,
3l sin ϕ (t )
•
V
d
(cos ϕ (t ) ) = − ϕ (t ) sin ϕ (t ) = A .
dt
3l
Teraz możemy już obliczyć składowe wektora prędkości punktu M
d
2
2l cos ϕ( t )] = VA
[
dt
3
•
d
1
= [l sin ϕ( t )] = l cos ϕ( t ) ϕ( t ) = − VA ctgϕ( t ).
dt
3
VMx =
VMy
Długość wektora prędkości wynosi:
2
2
2 

1
2
2
V M = V Mx
+ V My
=  V A  +  V A ctgϕ (t ) =
3 

3
1
= V A 4 + ctg 2ϕ (t )
3
Wektor prędkości punktu M przedstawia rysunek 1.E.
rys. 1.E
3. Wyznaczenie przyśpieszenia punktu M
Podobnie jak przy wyznaczeniu prędkości, składowe wektora przyśpieszenia możemy
określić z zależności różniczkowych
3
a Mx =
a My =
dV Mx (ϕ )
dt
dV My (ϕ )
dt
=
dV Mx (ϕ ) dϕ (t )
⋅
,
dϕ
dt
=
dV My (ϕ ) dϕ (t )
⋅
.
dϕ
dt
Dla punktu M uzyskujemy:
a Mx =
a My
d 2

 VA  = 0,


dt 3
VA2
d 1

.
=  VA ctgϕ( t ) = −

dt  3
9l sin 3 ϕ( t )
Stąd dwa wnioski:
• wektor przyśpieszenia punktu M ma stały kierunek, prostopadły do osi x,
• długość wektora przyśpieszenia wynosi:
a M = a My =
VA2
9l sin 3 ϕ( t )
.
Ilustrację tych wniosków przedstawia rysunek 1.F.
M
aM
rys. 1.F
4