1. (3p.) Znale¹¢ Macierz Jacobiego funkcji f : R 2) w punkcie (1,−1

1. (3p.) Znale¹¢ Macierz Jacobiego funkcji
f : R2 → R2 , f (x, y) = (x4 + y 4 , 3x + 5y 2 ) w punkcie (1, −1).
.
2. (5p.) Rozwi¡» ukªad równa«

 x+y−z =1
x − y + 2z = 3

3x − y + 3z = 7
wykorzystuj¡c rachunek macierzowy.
3. (3p.) Znale¹¢ równanie prostej prostopadªej do pªaszczyzny
punkt
P = (1, 2, 4).
x + 2y − z + 1 = 0
przechodz¡cej przez
Znale¹¢ odlegªo±¢ tego punktu od zadanej pªaszczyzny.
4. (6p.) Oblicz ekstrema lokalne funkcji zadanej wzorem
5. (6p.) Oblicz caªki powierzchniowe
RR
x2 y 2 zdxdy
f (x, y) = x2 + y 2 + x − y − 7.
po wewn¦trznej stronie póªkuli
p
z = − 9 − x2 − y 2 .
S
6. (7p.) Rozwi¡» równanie ró»niczkowe
7. (5p.) Oblicz
RR
y 00 + y 0 = x.
(x3 y + y 2 )dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y = |x|, y =
√
9 − x2 .
D
8. (4p.) Obliczy¢ dªugo±¢ krzywej
y = ln(x2 − 1), 0 6 x 6 12 .
9. (4p.) Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi
y = x2 , 2x − y + 3 = 0.
10. (7p.) Oblicz obj¦to±¢ bryªy ograniczonej powierzchniami
6,
y = 0,
z = 0.
1
x + y + z = 3,
3x + y = 3,
3x + 2y =