Całki powierzchniowe

Budownictwo, semestr II
Lista X.
Matematyka
rok ak. 2008/2009
Całki powierzchniowe
Całki powierzchniowe niezorientowane
10.1. Obliczyć
podane całki powierzchniowe niezorientowane po wskazanych płatach:
¨
(x2 + y 2 )dS, S – sfera x2 + y 2 + z 2 = R2 ;
(a)
S
¨
(b)
(x + y + z)dS, S – część płaszczyzny x + y + z = 1 położona w I oktancie układu
S
współrzędnych;
¨ q
√
x2 + y 2 dS, S – powierzchnia boczna stożka z = x2 + y 2 , z ¬ 3;
(c)
S
¨
(x2 + z 2 )dS, S – część sfery x2 + y 2 + z 2 = 4 dla 0 ¬ z ¬ 1;
(d)
S
¨
xdS, S – powierzchnia półkuli z =
(e)
√
1 − x2 − y 2 .
S
10.2. Obliczyć pola powierzchni podanych płatów:
(a) S – część płaszczyzny 2x + 3y + z − 6 = 0 wycięta przez walec x2 + y 2 = 4;
(b) S – część paraboloidy z = x2 + y 2 odcięta przez płaszcyznę z = h, h > 0;
(c) S – powierzchnia boczna stożka ściętego o promieniach podstaw r, R i wysokości h,
gdzie r < R;
(d) S – część sfery x2 + y 2 + z 2 = 25 dla z ­ 3;
(e) S – część walca x2 + y 2 = 2x wewnątrz sfery x2 + y 2 + z 2 = 4.
Elementy analizy wektorowej
10.3. Wyznaczyć potencjały podanych pól wektorowych:
(a) F~ (x, y, z) = [x, y, z];
(b) F~ (x, y, z) = [z(1 + xy)exy , x2 zexy , xexy ].
10.4. Wyznaczyć rotacje podanych pól wektorowych:
(a) F~ (x, y, z) = [x, y, z];
(b) F~ (x, y, z) = [x3 y, 2yz 2 , xz];
(c) F~ (x, y, z) = [cos x, cos y, cos z];
(d) F~ (x, y, z) = [x + 2z, z − 3y, 4x + 5z].
10.5. Wyznaczyć dywergencje podanych pól wektorowych:
(a) F~ (x, y, z) = [x, y, z];
(b) F~ (x, y, z) = [x3 y, 2yz 2 , xz];
(c) F~ (x, y, z) = [xz 3 , 2x2 y 4 , 5yz 2 ];
(d) F~ (x, y, z) = [exy , − cos y, sin2 z].
10.6. Obliczyć:
(a) rot(grad U ), gdzie U (x, y, z) = xyz; (b) div (grad U ), gdzie U (x, y, z) = xy+yz +xz;
(c) div(rot F~ ), gdzie F~ (x, y, z) = (x + y + z, x2 + y 2 + z 3 , −z);
(d) rot(rotF~ ), gdzie F~ (x, y, z) = (x2 y, y 2 z, x2 + y 2 );
√
(e) grad(divF~ ), gdzie F~ (x, y, z) = (z sin xy, yz , x2 + z 2 ).
20
Budownictwo, semestr II
Matematyka
rok ak. 2008/2009
Całki powierzchniowe zorientowane
10.7. Obliczyć podane całki powierzchniowe zorientowane:
‹
(a)
xdydz + ydxdz + zdxdy, S – wewnętrzna strona półsfery x2 + y 2 + z 2 = R2 , z 6 0;
S
‹
xydydz + yzdzdx + xzdxdy, S – zewnętrzna strona powierzchni czworościanu
(b)
S
ograniczonego
płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z + 1;
¨
(c)
zdydz − xdxdz + ydxdy, S – górna strona płaszczyzny 3x + 6y − 2z = 6 odciętej
S
płaszczyznami
układu współrzędnych.
‹
z 2 dxdy, S – zewnętrzna strona sfery x2 + y 2 + z 2 = 4;
(d)
S
10.8. Obliczyć strumienie wskazanych pól wektorowych przez wskazane płaty:
x
2z
(a) F~ = ~i + z 2 − x2 ~j + ~k, S – zewnętrzna powierzchnia całkowita walca x2 + y 2 6
3
3
4, 0 6 z 6 1;
(b) F~ = [5x + z, x − 3y, 4y − 2z], S – górna część płaszczyzny x + y + z = 2 zwarta w I
oktancie układu.
10.9. Obliczyć podane całki przy pomocy twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego. Sprawdzić
uzyskane wyniki, obliczając te całki bezpośrednio:
‹
(a)
2xdydz − y 2 dxdz + 2zdxdy, S – zewnętrzna strona powierzchni ograniczającej
S
obszar:
x2 + y 2 + z 2 6 9, x > 0, y > 0, z > 0;
‹
x3 dydz + y 3 dxdz + z 3 dxdy, S – wewnętrzna strona walca: x2 + y 2 6 1, 0 6 z 6 1;
(b)
S
‹
(x + z)dydz + (x + y)dxdz + (y + z)dxdy, S – zewnętrzna strona powierzchni
(c)
S
ograniczającej obszar: x2 + y 2 6 4, x + y + z 6 2, z > 0.
10.10. Korzystając z twierdzenia Stokesa obliczyć podane całki krzywoliniowe. Sprawdzić
otrzymane wyniki obliczając te całki bezpośrednio:
‰
(a) (x−y)dx+(y −z)dy +(z −x)dz, L – brzeg górnej strony paraboloidy z = 1−x2 −y 2
L
odciętej
płaszczyzną z = 0;
‰
(b)
x2 y 3 dx + dy + zdz, L – okrąg x2 + y 2 = R2 , z = 0, zorientowany dodatnio;
L
‰
xdx + (x + y)dy + (x + y + z)dz, L – x = sin t, y = cos t, z = sin t + cos t, t ∈ [0, 2π];
(c)
L
‰
(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz, L – okrąg x2 + y 2 + z 2 = R2 , x = y.
(d)
L
21