Tematy do samodzielnego opracowania

Tematy do samodzielnego opracowania
1. Sploty (dla osób dysponujących programem, obliczającym splot dwóch funkcji)
Dany jest rozkład jednostajny na odcinku [−1, 1], jego gęstość zadana jest funkcją f (x) = 12 dla |x| ¬ 1
oraz f (x) = 0 dla |x| > 1.
a) Obliczyć splot f2 = f ∗ f , a potem f3 = f ∗ f ∗ fq= f2 ∗ fqi f4 = f3 ∗ f . Jeśli się uda, obliczyć f12 .
2
b) Porównać na wspólnym wykresie funkcje f3 (x), 4/3f4 ( 4/3 x) oraz √12π e−x /2 dla −3 < x < 3.
2
c) Jeśli uda się policzyć f12 , to porównać na wspólnym wykresie 2f12 (2x) oraz √12π e−x /2 dla −3 < x < 3.
Sposób przedstawienia wyników: podać wzory gęstości z punktu a) i wykresy z punktów b) i c).
2. Obliczanie pól nieregularnych figur płaskich metodą probabilistyczną
Obliczmy taką metodą pole koła. Na okręgu o promieniu 12 opisujemy kwadrat i ustawiamy tak w
układzie współrzędnych, że jest to kwadrat o bokach [0, 1] na osi Ox i [0, 1] na osi Oy.
Następnie generujemy punkt losowy (X, Y ) z tego kwadratu, generując zmienne X i Y o rozkładach
jednostajnych na [0, 1].
Powtarzamy takie postępowanie wielokrotnie (100, 1000 a może 100 000 razy), obliczając częstość wpadania wybranego punktu w koło (jaki warunek muszą spełniać X i Y , aby punkt (X, Y ) leżał w opisanym
kole?).
Przy bardzo wielu próbach ta częstość powinna być bliska polu koła o promieniu 1/2 (dlaczego?).
W ten sposób można oszacować wartość π.
Sposób przedstawienia wyników: podać opis algorytmu i przedstawić otrzymane częstości, a nastepnie
za ich pomoca oszacować π.
Uwaga: Podobnie można obliczać pola dowolnych figur, ale trudno wtedy sprawdzić, czy wybrany punkt
należy do figury. Dla koła takie sprawdzenie to łatwy warunek algebraiczny.
3. Symulacja rzutu kostką
Załóżmy, że mamy generator rozkładu jedostajnego na odcinku [0, 1], np. w kalkulatorach naukowych
wpisanie funkcji RND (random) powoduje wyświetlenie liczby „losowej” z przedzialu [0, 1].
a) Podać sposób symulacji gry w orła i reszkę za pomocą tego generatora.
b) Podać sposób symulacji rzutu kostką za pomocą tego generatora.
c) Niech X1 , X2 , ... będą kolejnymi wynikami rzutu kostką (z podpunktu b)). Zbadać średnią arytmetyczną
X1 + X2 + ... + Xn
n
dla n = 100, 1000 i n = 10 000. Do czego powinna (teoretycznie) dążyć ta średnia, gdy n → ∞?
4. Metoda Monte-Carlo http : //en.wikipedia.org/wiki/M onte− Carlo− method
Uwaga do artykułu w Wikipedii: zarówno Stanisław Ulam jak i John von Neuman to matematycy, ale
artykuły do Wikipedii piszą często osoby o skromnej wiedzy ...
Chcąc obliczyć całkę oznaczoną 01 f (x) dx z trudnej do scałkowania funkcji f postępujemy tak:
wybieramy losowo wiele punktów x1 , x2 , ..., xn z przedziału [0, 1] i używamy przybliżenia całki sumą
riemannowską:
Z 1
n
1X
f (x) dx ≈
f (xk ).
n k=1
0
R
Na mocy Prawa Wielkch Liczb ta suma zbiega (gdy n → ∞) do prawdziwej wartości całki.
Liczby x1 , x2 , ..., xn generujemy losowo Rz rozkładu jednostajnego
na odcinku [0, 1]
R
a) Obliczyć metodą Monte-Carlo całki 01 x2 dx oraz 01 sin(πx) dx dla n = 100 i n = 10 000 i porównać
wyniki z wartościami dokładnymi, obliczonymi teoretycznie.
R 1 −x2 /2
b) Obliczyć metodą Monte-Carlo całkę z funkcji, która ma nieelementarną
pierwotną:
dx. Po0 e
√
równać wynik z odczytanym z tablic funkcji Φ (nie zapominając o 2π).
c) Modyfikując
dpowiednio metodę
Monte-Carlo, opisaną powyżej, obliczyć całki po przedziałach innych
R
R
2
2
niż [0, 1], np 02 √12π e−x /2 dx i 03 √12π e−x /2 dx.