Egzamin pisemny z rachunku prawdopodobie«stwa rok 1998/1999

Egzamin pisemny z rachunku prawdopodobie«stwa
rok 1998/1999
egzaminator: Wo jciech Sªomczy«ski
przedmiot semestralny
I termin
zad.1. Mamy szachownic¦ o wymiarach
7 × 7.
W lewym dolnym rogu szachown-
icy znajduje si¦ mysz, za± na polach o numerach
(3, 3), (3, 5), (5, 3)
i
(5, 5)
siedz¡
i cierpliwie czekaj¡ cztery koty. Mysz mo»e porusza¢ si¦ jedynie w gór¦ lub w prawo,
w ka»dym ruchu o jedno pole. Mysz ginie, gdy stanie na polu zaj¦tym przez kota.
Ile jest ró»nych dróg, którymi mysz mo»e dotrze¢ szcz¦±liwie do prawego górnego
rogu szachownicy?
zad.2.
Dwie podgórskie miejscowo±ci Pokopane i Zaprad ubiegaj¡ si¦ o organiza-
cj¦ jesiennych Igrzysk Olimpijskich. Decyzj¦ o przyznaniu igrzysk jednemu z dwóch
miast ma podj¡¢ wi¦kszo±ci¡ gªosów caªkowicie skorumpowany trzyosobowy komitet
wykonawczy.
Obie miejscowo±ci przeznaczaj¡ na przekupienie czªonków komitetu
sum¦ 6 mln euro. Pokopane ma zamiar wr¦czy¢ ka»demu z czªonków komitetu po
2
mln euro. Zaprad wysyªa do czªonków komitetu sze±ciu emisariuszy powierzaj¡c
ka»demu z nich po
1
mln euro.
Ka»dy z emisariuszy, którzy dziaªaj¡ w sposób
niezale»ny od siebie, wr¦cza caª¡ sum¦ jak¡ dysponuje losowo wybranemu czªonkowi
komitetu.
Ka»dy z czªonków komitetu gªosuje na to miasto, od którego dostanie
wi¦cej pieni¦dzy, gdy za± otrzyma od obu miejscowo±ci tyle samo wstrzymuje si¦
od gªosu. Gdyby pierwsze gªosowanie nie przyniosªo rozstrzygni¦cia, to w miesi¡c
pó¹niej odb¦dzie si¦ drugie i oba kurorty wyasygnuj¡ ponownie sum¦
6
mln euro
na przekupienie czªonków komitetu. Tym razem jednak Pokopane przejmie taktyk¦
Zapradu i wy±le emisariuszy, natomiast Zaprad rozdzieli pieni¡dze po równo. Gdy
i tym razem gªosowanie b¦dzie nierozstrzygnie to igrzyska zostan¡ odwoªane. Które
z dwóch miast ma wi¦ksz¡ szans¦ na przeprowadzenie igrzysk?
zad.3.
losowe:
Wybieramy losowo jeden dzie« w XX wieku.
ξ1
numer dnia w miesi¡cu,
ξ2
Rozwa»amy trzy zmienne
numer miesi¡ca,
ξ3
numer roku. Zbadaj
czy:
ξ1 i ξ2 s¡ niezale»ne;
b) ξ1 i ξ3 s¡ niezale»ne;
c) ξ2 i ξ3 s¡ niezale»ne.
a)
Uwaga: XX wiek zacz¡ª si¦ 1 I 1901 roku, sko«czyª si¦ 31 XII 2000 roku; w XX
wieku przest¦pne s¡ dokªadnie lata o numerach podzielnych przez 4, miesi¡ce maj¡
nast¦puj¡c¡ liczb¦ dni: I - 31, II - 28 (29), III - 31, IV - 30, V - 31, VI - 30, VII 31, VIII - 31, IX - 30, X - 31, XI - 30, XII - 31.
zad.4. Niech
(Ω, Σ, P )
b¦dzie przestrzeni¡ probabilistyczn¡, za±
losow¡ na tej przestrzeni.
n · P (ξ ≥ n) → 0 (n → ∞),
P (ξ ∈ N) = 1 i E|ξ| < ∞,
b) E|ξ| < ∞,
2
c) D ξ < ∞.
zachodzi:
ξ:Ω→R
zmienn¡
Przy ka»dym zaªo»eniu a), b), c) z osobna poka», »e
gdzie:
a)
zad.5.
Miasto K. liczy sobie 160 000 obywateli. Kasa chorych dziaªaj¡ca na jego
terenie podpisaªa kontrakty z 50 lekarzami rodzinnymi, z których ka»dy mo»e obsªugiwa¢ co najwy»ej 3300 pacjentów. Czy ta liczba lekarzy b¦dzie wystarczaj¡ca,
1
je»eli chcemy, by prawdopodobie«stwo, »e mieszkaniec K. nie zostanie zarejestrowany
u wybranego przez siebie lekarza byªo mniejsze od 0,05, zakªadaj¡c, »e obywatele miasta K. dokonuj¡ wyboru lekarza w sposób caªkowicie losowy i niezale»ny?
II termin
zad.1. ‘ciany i wierzchoªki czworo±cianu numerujemy losowo i niezale»nie liczbami
1, 2, 3, 4 w taki sposób, »e nie ma dwóch wierzchoªków, ani dwóch ±cian o tym
samym numerze. Niech
ξ
oznacza zmienn¡ losow¡ równ¡ liczbie ±cian, dla których
istnieje wierzchoªek tej ±ciany o numerze równym jej numerowi. Znajd¹
zad.2.
Eξ .
Student zaliczaj¡c przedmiot rachunek prawdopodobie«stwa musi kolejno:
zdoby¢ zaliczenie z ¢wicze«, zaliczy¢ egzamin pisemny i zaliczy¢ egzamin ustny (zakªadamy, »e s¡ to zdarzenia niezale»ne). Prawdopodobie«stwa pozytywnego przej±cia
kolejnych etapów procedury egzaminacyjnej wynosz¡ kolejno:
90%, 80% i 90%;
przy
czym przej±cie jednego etapu stanowi warunek konieczny przyst¡pienia do nast¦pnego. Student X b¦dzie musiaª w przyszªym roku powtórnie zalicza¢ rachunek prawdopodobie«stwa. Czy bardziej jest prawdopodobne, »e oblaª egzamin pisemny, czy
»e odpadª na którym± z pozostaªych etapów?
zad.3. Niech
(Ω, Σ, P )
b¦dzie przestrzeni¡ probabilistyczn¡, za±
ξ, η : Ω → R niezamin(ξ, η) oraz
le»nymi zmiennymi losowymi na tej przestrzeni. Czy zmienne losowe
max(ξ, η)
musz¡ by¢ niezale»ne?
zad.4. Losujemy w sposób jednorodny (zgodnie z miar¡ Lebesgue'a) liczb¦ z przedzi-
aªu
[0, 1].
Niech zmienna losowa
ξ
oznacza wªa±nie t¦ liczb¦, za±
najbli»szego ko«ca odcinka. Rozwa» zmienn¡ losow¡
a) rozkªad
b)
c)
ζ = ξ + η.
η
jej odlegªo±¢ od
Znajd¹:
ζ,
Eζ ,
D2 ζ .
zad.5. W miasteczku P. znajduj¡ si¦ dwa kina, które graj¡ wieczorem lm Jerzego
Homana Ogniem i mieczem. Ogl¡da¢ ma go zamiar 400 widzów, którzy losowo
i niezale»nie wybieraj¡ wieczorem kino, do którego maj¡ zamiar si¦ uda¢.
Iloma
miejscami powinno dysponowa¢ ka»de kino, aby prawdopodobie«stwo odesªania którego± z klientów z danego kina (z powodu braku miejsc) byªo mniejsze ni»
2
2%?