Pojedynczy punkt poruszający

Zasada d’Alemberta,
Równania Lagrange’a I
rodzaju
Rozpatrujemy ruch układu n punktów z dodatkowymi ograniczeniami ruchu
w postaci więzów
Więzy holonomiczne - jeżeli dane są przy pomocy równań lub nierówności
wiążących ze sobą położenia punktów materialnych
więzy dwustronne
lub więzy jednostronne
f k (rr1 , rr2 ,K , rrn , t ) = 0, k = 1,2,K , p
f k (rr1 , rr2 ,K , rrn , t ) ≤ 0, k = 1,2,K , p
Przykład więzów holonomicznych dwustronnych:
a) Punkt materialny poruszający się po powierzchni walca
o promieniu R i osi symetrii pokrywającej się z osią Oz
z
r
r
f1 (r , t ) = f1 (r ) = x 2 + y 2 − R 2 = 0
O
y
x
b) Punkt materialny poruszający się w przestrzeni trójwymiarowej po prostej leżącej
na przecięciu płaszczyzn o równaniach x+y+z=0 i x+2y+5z=0
r
r
f1 (r , t ) = f1 (r ) = x + y + z = 0
r
r
f 2 (r , t ) = f 2 (r ) = x + 2 y + 5 z = 0
c) Dwa punkty materialne połączone sztywnym prętem o długości l
r r
r r
2
2
2
f1 (r1 , r2 , t ) = f1 (r1 , r2 ) = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z 2 − z1 ) − l 2 = 0
Przykład więzów holonomicznych jednostronnych
Dwa punkty materialne połączone nierozciągliwą nicią o długości l
r r
r r
2
2
2
f1 (r1 , r2 , t ) = f1 (r1 , r2 ) = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z 2 − z1 ) − l 2 ≤ 0
Więzy holonomiczne nakładają ograniczenia nie tylko na położenia ale i na prędkości
punktów materialnych, które można otrzymać różniczkując równania więzów po czasie
r
r
np. z równania f1 (r , t ) = f1 (r ) = x 2 + y 2 − R 2 = 0 wynika iż df1
= 2 xx& + 2 yy& = 0
dt
Więzy nieholonomiczne mogą nakładać warunki na prędkości ale nie można ich
otrzymać różniczkując po czasie równań zależnych tylko od położenia punktów
materialnych i czasu. Wiezy te nie ograniczają położeń zajmowanych przez punkty
materialne, gdy rozpatrujemy ruch w skończonym przedziale czasu.
Więzy skleronomiczne - jeśli w równaniach więzów czas nie występuje
jawnie np. omawiane dotąd przykłady
Więzy reonomiczne - jeśli w równaniach więzów występuje jawnie czas
Np. ruch punktu materialnego po drgającej płaszczyźnie
r
f1 (r , t ) = x − A sin (ωt ) = 0
Równanie Newtona dla punktu swobodnego można przepisać w
następującej postaci
r
r& r
r& r
&
&
mr = F ⇒ F − mr ⋅ δr = 0
r
r
r
r
δr = δxi + δyj + δzk -wektor w przypadku punktu swobodnego ( na który nie
(
)
nałożono więzów) dowolny zwany wektorem przesunięcia wirtualnego określający
jego możliwe a priori kierunki przemieszczenia w trakcie ruchu
r
Z dowolności δr wynika iż
r
r&& r
r&& r
F − mr ⋅ δr = 0 ⇒ mr = F
(
)
W układzie kartezjańskim
r r
r
r
r
r
r
r r
r
r
r
F = Fx i + Fy j + Fz k a = &x&i + &y&j + &z&k δr = δxi + δyj + δzk
r
r& r
&
F − mr ⋅ δr = 0 ⇔ (Fx − m&x&)δx + (Fy − m&y&)δy + (Fz − m&z&)δz = 0
Z dowolności δrr wynika iż można przyjąć w powyższym równaniu iż
δy = δz = 0
(Fx − m&x&)δx = 0
Wówczas równanie redukuje się do postaci
Ponieważ ma być ono spełnione dla dowolnego δx to musi zachodzić
Fx = m&x&
r
r&
&
F = m&y&, F = m&z& → F = mr
(
)
Podobnie można pokazać iż
y
z
W przypadku ruchu punktu materialnego po gładkiej powierzchni o równaniu
r
f = f (r , t ) = 0 pojawia się siła reakcji więzów, prostopadła do powierzchni.
r
FR = λ ⋅ gradf ,
r
f = f (r , t )
λ
r&& r r
mr = F + FR ,
- skalarny współczynnik
Równanie ruchu Newtona:
W układzie kartezjańskim
r
∂f r
∂f r
∂f r
FR = λ i + λ
j +λ k
∂x
∂y
∂z
r
r
r
r
F = Fx i + Fy j + Fz k -siła wypadkowa działająca na ciało nie związana z więzami
Powyższe równanie Newtona można przepisać w następującej postaci
(zasada d’Alemberta dla punktu materialnego poruszającego się po
powierzchni).
r
r r
F − m&r& ⋅ δr = 0 ⇒ (Fx − m&x&)δx + (Fy − m&y&)δy + (Fz − m&z&)δz = 0,
r
f (r , t ) = 0
r
r
r
r
δr = δxi + δyj + δzk jest dowolnym wektorem stycznym do powierzchni
r
∂f
∂f
∂f
spełniającym warunek grad f ⋅ δr = 0 ⇒
δx + δy + δz = 0
∂x
∂y
∂z
(
)
r r
r r
r
r& r
r r
&
gradf ⋅ δr = 0 ⇒ FR ⋅ δr = 0 ⇒ F + FR − m r ⋅ δr = F − m &r& ⋅ δr
r
r& r r
r r
&
a zatem m r = F + FR ⇒ F − m&r& ⋅ δr = 0
r
δr - przesunięcie wirtualne zgodne z więzami określające możliwe kierunki
(
(
)
)
przemieszczenia punktu mat. względem powierzchni
(
)
Można również wykazać, że z zasady d’Alemberta dla rozważanego
przypadku wynikają równania Newtona.
Z równania
można gdy
r
∂f
∂f
∂f
gradf ⋅ δr = 0 ⇒ δx + δy + δz = 0
∂x
∂y
∂z
∂f
≠ 0 wyznaczyć δ x w funkcji δy, δz otrzymując
∂x
Wówczas otrzymujemy
∂f
∂f
δy + δz
∂y
∂z
δx = −
∂f
∂x
( Fx − m&x&)δx + ( Fy − m&y&)δy + ( Fz − m&z&)δz = 0 ⇒
∂f
∂y
( Fy − m&y& −
( F − m&x&))δy + ( Fz − m&z& −
∂f x
∂x
∂f
∂z ( F − m&x&))δz = 0
∂f x
∂x
Ponieważ powyższa równość musi zachodzić przy dowolnych δy, δz to wynikają z niej równania
∂f
∂y
( Fy − m&y& −
( F − m&x&)) = 0
( Fz − m&z& −
∂f x
∂x
Fx − m&x& Fy − m&y& Fz − m&z& ozn.
=
=
= −λ
∂f
∂f
∂f
∂x
∂y
∂z
∂f
∂z ( F − m&x&)) = 0 ⇒
∂f x
∂x
Fx − m&x& Fy − m&y& Fz − m&z&
=
=
= −λ ⇒
∂f
∂f
∂f
∂x
∂y
∂z
∂f
m&x& = Fx + λ
⇒ m&x& = Fx + FRx
∂x
∂f
⇒ m&y& = Fy + λ
⇒ m&y& = Fy + FRy
∂y
∂f
m&z& = Fz + λ
⇒ m&z& = Fz + FRz
∂z
Równania te są identyczne
z równaniami Lagrange’a
I rodzaju zapisanymi dla
punktu materialnego
poruszającego się po
powierzchni o równaniu
r
f = f (r , t ) = 0
Powyższy układ równań stanowi zapis w układzie kartezjańskim
wynikającego
z rII zasady dynamiki Newtona równania
r
r&
r
&
w
którym
mr = F + F
R
FR = λr ⋅ gradf
Pozwala on wraz z równaniem więzów f = f (r , t ) = 0 przy
znajomości warunków początkowych ruchu na określenie
x(t),y(t),z(t) i λ (t ) czyli wyznaczenie ruchu punktu i siły reakcji
W celu wykazania równoważności zasady d’Alemberta z równaniami Lagrangea’ I
rodzaju można posłużyć się także bardziej ogólną metodą mnożników Lagrange’a.
r
r
r& r
r& r
&
&
F − mr ⋅ δr = F + λgradf − mr ⋅ δr = 0
(
)
(
r
gradf ⋅ δr = 0
)
r
r
r
r
F = Fx i + Fy j + Fz k
mnożnik Lagrange’a


∂f
∂f
∂f




− m&x&δx +  Fy + λ
− m&y& δy +  Fz + λ
− m&z&δz = 0
 Fx + λ
∂x
∂y
∂z






r
Z równania gradf ⋅ δr = 0 ⇒
∂f
∂f
∂f
δx + δy + δz = 0 można wyznaczyć np. δx w
∂x
∂y
∂z
funkcji δy, δz. Wówczas δy, δz są dowolne, a δx - wyznaczone.
Dobierzmy λ tak, aby zachodziło Fx + λ ∂f − m&x& = 0 Wówczas
∂x


∂f
∂f


⇒  Fy + λ
− m&y& δy +  Fz + λ
− m&z&δz = 0
∂y
∂z




Stąd, ponieważ δy, δz są dowolne, można przyjąć np. iż δy=0 a równanie
∂f


redukuje się do postaci  Fz + λ − m&z&δz = 0
∂f
∂z


Fz + λ
− m&z& = 0
∂z
Z dowolności δz wynika iż musi być spełnione równanie
W podobny sposób można pokazać iż Fy + λ
∂f
− m&y& = 0
∂y
Ruch punktu materialnego po gładkiej krzywej możemy opisać jako ruch po linii
r
leżącej na przecięciu dwóch powierzchni o równaniach f1 (r , t ) = 0 oraz f 2 (rr, t ) = 0
Zasadę dynamiki Newtona dla ciała poruszającego się po krzywej przy uwzględnieniu
sił reakcji więzów oraz równania więzów holonomicznych dwustronnych narzuconych
na jego ruch można zapisać w postaci mającej postać równań Lagrange’a I rodzaju
r
r
r& r r
&
mr = F + FR1 + FR 2 = F + λ1 ⋅ gradf1 + λ2 ⋅ gradf 2
r
r
f1 (r , t ) = 0, f 2 (r , t ) = 0
mnożniki Lagrange’a
Można pokazać iż zasada d’Alemberta dla punktu
materialnego poruszającego się po krzywej przyjmuje postać
∂f1
∂f 2
+ λ2
∂x
∂x
∂f
∂f
m&y& = Fy + λ1 1 + λ2 2
∂y
∂y
∂f
∂f
m&z& = Fz + λ1 1 + λ2 2
∂z
∂z
m&x& = Fx + λ1
r
r& r
&
F − mr ⋅ δr = 0 ⇒ (Fx − m&x&)δx + (Fy − m&y&)δy + (Fz − m&z&)δz = 0,
r
r
f1 (r , t ) = 0, f 2 (r , t ) = 0
r
r
Wektor δr nazywamy wektorem
gdzie δr jest dowolnym wektorem
przesunięcia wirtualnego zgodnym
r
spełniającym warunki
z więzami. Wektor δr określa
możliwe kierunki przemieszczenia
r
∂f1
∂f1
∂f1
δx + δy + δz = 0, punktu materialnego w układzie
gradf1 ⋅ δr = 0 ⇒
∂x
∂y
∂z
inercjalnym gdy równania więzów nie
zależą jawnie od czasu (więzy są
r
∂f 2
∂f 2
∂f 2
gradf 2 ⋅ δr = 0 ⇒
δx +
δy +
δz = 0 skleronomiczne)
∂x
∂y
∂z
(
)
Przykład: Wyznaczenie ruchu ciała (punktu materialnego) o masie m
r po gładkiej
r
F
k
r
=
−
powierzchni
i ciężkości
r walca-pod wpływem jednocześnie siły harmonicznej h
r
Fc = − mgk -rozważania oparte na zasadzie d’Alemberta
z
Wypadkowa siła ( bez uwzględnienia siły reakcji) :
r r r
F = Fh + Fc = (− kx,−ky,−kz − mg )
r
Fh
Równanie więzów:
r
Fc
O
f ( x, y ) = x 2 + y 2 − R 2 = 0
Zasada d’Alemberta :
y
x
r
r r
F − m&r& ⋅ δr = 0 ⇒ (Fx − m&x&)δx + (Fy − m&y&)δy + (Fz − m&z&)δz = 0 ⇒
(
)
⇒ (− kx − m&x&)δx + (− ky − m&y&)δy + (− kz − mg − m&z&)δz = 0
(1)
r
Warunek na przesunięcie wirtualne δr = (δx, δy, δx ) wynikający z istnienia więzów
r
∂f
∂f
∂f
x
gradf ⋅ δr = 0 ⇒ δx + δy + δz = 0 ⇒ 2 xδx + 2 yδy = 0 ⇒ δy = − δx
∂x
∂y
∂z
y
Po uwzględnieniu powyższego warunku w równaniu (1) otrzymujemy
(− kx − m&x&)δx − x (− ky − m&y&)δx + (− kz − mg − m&z&)δz = 0 ⇒
y

mx&y& 
 − kx − m&x& + kx +
δx + (− kz − mg − m&z&)δz = 0
y 

( y ≠ 0)

mx&y& 
 − m&x& +
δx + (− kz − mg − m&z&)δz = 0
y 

Ze względu na brak wynikających z więzów ograniczeń na możliwe wartości δx, δz
równanie to musi być spełnione dla dowolnych δx, δz
δx dowolne

mx&y& 
mx&y&
&
&
&
&
δx = 0 ⇒ −mx +
= 0 ⇒ − &x&y + x&y& = 0
δz = 0 ⇒  − mx +
y 
y

δx =0 ⇒ (− kz − mg − m&z&)δz = 0 ⇒ − kz − mg − m&z& = 0
δz dowolne
Otrzymaliśmy dwa równania , które muszą być spełnione w trakcie ruchu ciała
− &x&y + x&y& = 0
− kz − mg − m&z& = 0
Trzeba je rozwiązać uwzględniając dodatkowo równanie więzów
f ( x, y ) = x 2 + y 2 − R 2 = 0
− kz − mg − m&z& = 0
k
− kz − mg − m&z& = 0 ⇒ &z& + z = − g
m
Rozwiązanie równania
Jest to równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach
niejednorodne.
Pełne rozwiązanie tego równania jest sumą rozwiązania ogólnego równania
jednorodnego
k
&z& + z = 0
m
oraz rozwiązania szczególnego równania pełnego
k
&z& + z = − g
m
Równanie jednorodne można zapisać w postaci
2
gdzie
ω2 =
k
m
&z& + ω z = 0
Równanie to ma taką postać jak równanie opisujące jednowymiarowy
oscylator harmoniczny nietłumiony i jego ogólne rozwiązanie ma postać
 k 
 k 


zog = A cos(ωt ) + B sin (ωt ) = A cos
t  + B sin 
t 
 m 
 m 
Rozwiązania szczególnego równania pełnego poszukujemy w rozważanym
przypadku w postaci stałej z szcz = C .
Po wstawieniu zapostulowanej postaci rozwiązania do pełnego równania
k
&z& + z = − g
m
otrzymujemy warunek
0+
k
mg
C = −g ⇒ C = −
m
k
A zatem rozwiązanie ogólne równania pełnego ma postać
z (t ) = zog + z szcz
 k 
 k  mg


= A cos
t  + B sin 
t  −
 m 
 m  k
Stałe A i B możemy określić z warunków początkowych ruchu
Zakładając np. iż z (t = 0) = 0, z& (t = 0 ) = 0
 k 
 k 
k
k
z& (t ) = − A
sin 
t  + B
cos
t 
m  m 
m
 m 
i uwzględniając to iż
mamy B=0,
mg
A=
k
mg
, z (t ) =
k
  k  
t  − 1
cos
  m  
Ruch ciała w kierunku pionowym ma charakter drgań harmonicznych
wokół punktu z = −
k
mg
ω
=
z częstością kołową
m
k
,
,
,
Rozwiązanie równania − &x&y + x&y& = 0
Równanie to należy rozwiązać z uwzględnieniem równania więzów
x2 + y2 − R2 = 0
W zasadzie można by wykorzystując równanie więzów uzależnić y od x i rozwiązać
otrzymane równanie różniczkowe dla zmiennej x. W praktyce w celu uzyskania
analitycznego rozwiązania celowe jest wprowadzić nowa zmienną ϕ taką iż
x = R cos(ϕ ) y = R sin (ϕ ) gdyż równanie więzów nie wprowadza ograniczeń na
wartości przyjmowane przez tą zmienną x 2 + y 2 − R 2 = R 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) − R 2 ≡ 0
Chcemy wyrazić równanie
x& =
− &x&y + x&y& = 0
dx ∂x
=
ϕ& = − R sin (ϕ )ϕ&
dt ∂ϕ
y& =
przy pomocy zmiennej ϕ
dy ∂y
=
ϕ& = R cos(ϕ )ϕ&
dt ∂ϕ
dx& ∂x&
∂x&
&
=
ϕ + ϕ&& = [− R cos(ϕ )ϕ& ]ϕ& + [− R sin (ϕ )]ϕ&& = − R cos(ϕ )ϕ& 2 − R sin (ϕ )ϕ&&
dt ∂ϕ
∂ϕ&
∂y&
dy& ∂y&
&y& =
=
ϕ& + ϕ&& = [− R sin (ϕ )ϕ& ]ϕ& + [R cos(ϕ )]ϕ&& = − R sin (ϕ )ϕ& 2 + R cos(ϕ )ϕ&&
dt ∂ϕ
∂ϕ&
&x& =
[
]
[
]
− &x&y + x&y& = 0 ⇒ − − R cos(ϕ )ϕ& 2 − R sin (ϕ )ϕ&& R sin (ϕ ) + R cos(ϕ ) − R sin (ϕ )ϕ& 2 + R cos(ϕ )ϕ&& = 0 ⇒
⇒ R 2 cos(ϕ )sin (ϕ )ϕ& 2 + R 2 sin 2 (ϕ )ϕ&& − R 2 sin (ϕ ) cos(ϕ )ϕ& 2 + R 2 cos 2 (ϕ )ϕ&& = 0 ⇒
[
]
⇒ R 2 sin 2 (ϕ ) + cos 2 (ϕ ) ϕ&& = 0 ⇒ ϕ&& = 0
ϕ&& = 0 ⇒ ϕ (t ) = At + B
x = R cos(ϕ ) = R cos( At + B )
y = R sin (ϕ ) = R sin ( At + B )
Stałe A i B możemy określić z warunków początkowych ruchu
Zakładając np. iż
y& 0
mamy B=0, A =
R
A zatem
 y& 0 
x = R cos t 
R 
 y& 0 
y = R sin t 
R 
x(t = 0) = R, y& (t = 0) = y& 0
Wyznaczenie ruchu punktu materialnego o masie m po powierzchni walca
oraz siły reakcji więzów -rozważania oparte na równaniach Lagrange’a I
z
rodzaju
Wypadkowa siła ( bez uwzględnienia siły reakcji) :
r
F = [− kx,−ky,−kz − mg ]
r
Fh
Równanie więzów
r
Fc
O
f ( x, y ) = x 2 + y 2 − R 2 = 0
y
Równania Lagrange’a I rodzaju
r&& r
mr = F + λ ⋅ gradf
gdzie
x
r
FR = λ ⋅ gradf
-siła reakcji
Po rozpisaniu na składowe w układzie kartezjańskim
∂f
m&x& = Fx + λ ⇒ m&x& = −kx + 2λx
∂x
∂f
⇒ m&y& = − ky + 2λy
∂y
∂f
m&z& = Fz + λ
⇒ m&z& = − kz − mg
∂z
m&y& = Fy + λ
r
 ∂f ∂f ∂f 
FR = λ ⋅ gradf = λ ⋅  , ,  =
 ∂x ∂y ∂z 
= λ ⋅ [2 x,2 y,0] = [2λx,2λy,0]
FRx = 2λx FRy = 2λy FRz = 0
m&x& + kx
m&x& = −kx + 2λx ⇒ λ =
2x
m&x& + kx
m&y& = − ky + 2λy ⇒ m&y& = − ky + 2 y
⇒
2x
⇒ mx&y& = − kxy + y (m&x& + kx ) ⇒ x&y& − y&x& = 0
m&z& = − kz − mg
Eliminacja mnożnika Lagrange’a λ pozwoliła na uzyskanie równań otrzymanych
wcześniej przy pomocy zasady d’Alemberta, których rozwiązanie przy uwzględnieniu
warunku więzów prowadzi do znalezienia ruchu ciała.
Składowe siły reakcji przy uwzględnieniu znalezionych wcześniej rozwiązań
 y& 
y = R sin 0 t 
R 
FRz = 0
 y& 
x = R cos 0 t 
R 
są równe

my& 02   y& 0 
 cos t 
FRx = 2λx = m&x& + kx =  kR −
R  R 

y& 02
 y& 
&x& = − cos 0 t 
R
R 
y& 02  y& 0 
&y& = − sin t 
R
R 

my& 02   y& 0 
 sin  t 
FRy = 2λy = m&y& + ky =  kR −
R  R 

Wyznaczenie ruchu punktu materialnego o masie m po powierzchni walca oraz sił reakcji
więzów -rozważania oparte na równaniach Lagrange’a I rodzaju w układzie cylindrycznym
Wypadkowa siła ( bez uwzględnienia siły reakcji) :
z
r
r
r
r
r
r
F = −kr − mgez = −kρeρ − kzez − mgez ⇒
r
Fh
⇒ Fρ = −kρ , Fϕ = 0, Fz = −kz − mg
Równanie więzów
r
Fc
O
f (ρ ) = ρ − R = 0
y
Równania Lagrange’a I rodzaju
r&& r
mr = F + λ ⋅ gradf
x
gdzie
r
FR = λ ⋅ gradf
-siła reakcji
Po rozpisaniu na składowe w układzie cylindrycznym
∂f
maρ = Fρ + λ
⇒ m ρ&& − ρϕ& 2 = −kρ + λ
∂ρ
(
)
1 ∂f
maϕ = Fϕ + λ
⇒ m(ρϕ&& + 2 ρ&ϕ& ) = 0
ρ ∂ϕ
∂f
ma z = Fz + λ
⇒ m&z& = − kz − mg
∂z
gradf =
∂f r 1 ∂f r ∂f r
eρ +
eϕ + ez
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
aρ = ρ&& − ρϕ& 2
aϕ = ρϕ&& + 2 ρ&ϕ&
a z = &z&
Z równania więzów wynika iż ρ = R ⇒ ρ& = .0 ⇒ ρ&& = 0 Warunki te trzeba
uwzględnić w równaniach ruchu co pozwala na ich uproszczenie
(
)
m ρ&& − ρϕ& 2 = −kρ + λ ⇒ −mRϕ& 2 = −kR + λ
(*)
(**)
m(ρϕ&& + 2 ρ&ϕ& ) = 0 ⇒ ϕ&& = 0
(***)
m&z& = − kz − mg
Równania (**) i (***) są identyczne z równaniami wcześniej otrzymanymi, zaś
równanie (*) pozwala na okreśrlenie mnożnika Lagrange’a λ = kR − mRϕ& 2
Siła reakcji FrR jest równa FR = λ ⋅ gradf
r
r
∂f r 1 ∂f r ∂f r
2 r
&
gradf =
eρ +
eϕ + ez , f = ρ − R = 0 ⇒ FR = λeρ = kR − mRϕ eρ
ρ ∂ϕ
∂ρ
∂z
(
)
Siła reakcji jest prostopadła do powierzchni bocznej walca
Składowe siły reakcji przy uwzględnieniu znalezionego wcześniej rozwiązania przy
zadanych warunkach początkowych ruchu
y& 0
y& 0
ϕ& =
ϕ= t
R
R
są równe
my& 02
2
FRρ = kR − mRϕ& = kR −
= const
FRz = 0
FRϕ = 0
R
Wyznaczenie ruchu punktu materialnego po przecięciu powierzchni kuli o promieniu R i
środku w początku układu współrzędnych oraz drgającej wzdłuż os OZ płaszczyzny
zgodnie z równaniem z = R sin (ωt ) w polu siły ciężkości –rozważania oparte na
z
równaniach Lagrange’a I rodzaju w układzie cylindrycznym
Na ciało działa siła zewnętrzna ( bez uwzględnienia
siły reakcji) o składowych w układzie cylindrycznym
Fρ = 0, Fϕ = 0, Fz = −mg
Równania więzów
f1 = ρ 2 + z 2 − R 2 = 0
ϕ
ρ
r
Fc
f 2 = z − R sin (ωt ) = 0
Równania Lagrange’a I rodzaju
r& r
&
mr = F + λ1 gradf1 + λ2 gradf 2
r
gdzie λ1 gradf1 + λ2 gradf 2 = FR
x
Po rozpisaniu na składowe w układzie cylindrycznym
∂f1
∂f 2
maρ = Fρ + λ1
+ λ2
⇒ m ρ&& − ρϕ& 2 = λ1 2 ρ
∂ρ
∂ρ
(
maϕ = Fϕ + λ1
)
1 ∂f1
1 ∂f 2
+ λ2
⇒ m(ρϕ&& + 2 ρ&ϕ& ) = 0
ρ ∂ϕ
ρ ∂ϕ
∂f1
∂f 2
ma z = Fz + λ1
+ λ2
⇒ m&z& = − mg + 2λ1 z + λ2
∂z
∂z
-siła reakcji
y
Równanie m(ρϕ&& + 2 ρ&ϕ& ) = 0
można przekształcić
m d 2
m(ρϕ&& + 2 ρ&ϕ& ) = 0 ⇒
ρ ϕ& = 0 ⇒ ρ 2ϕ& = const
ρ dt
(
)
Znaleźliśmy stałą (całkę) ruchu. Można wyznaczyć jej wartość gdy znamy
warunki początkowe ruchu. Załóżmy iż ϕ& (t = 0) = ϕ&0
Z równań więzów
wynika iż ρ (t = 0 ) = R
Wówczas
const = R 2ϕ&0
i otrzymujemy równanie ruchu
Przekształcając je przy uwzględnieniu warunku więzów ρ 2
z = R sin ω t otrzymujemy
( )
ϕ& =
R 2ϕ&0
ρ2
ρ 2ϕ& = R 2ϕ&0
= R2 − z2
oraz
ϕ&0
R 2ϕ&0
R 2ϕ&0
= 2
= 2
=
2
2
2
R −z
R − R sin (ωt ) cos 2 (ωt )
Rozwiązując to równanie otrzymujemy
ϕ&0
ϕ&0
ϕ=∫
dt + const = tg (ωt ) + const
2
ω
cos (ωt )
Stałą można określić z warunku początkowego ruchu . Wiedząc np. iż
ϕ&
mamy const = 0 ⇒ ϕ (t ) = 0 tg (ωt )
ω
ϕ (t = 0) = 0
Mnożnik Lagrange’a λ1 można wyznaczyć z równania
(
2
&
&
&
m
−
ρ
ρ
ϕ
m ρ&& − ρϕ& 2 = λ1 2 ρ ⇒ λ1 =
2ρ
(
)
Uwzględniając to iż
ρ&& = − Rω 2 cos(ωt )
(
m ρ&& − ρϕ& 2
λ1 =
2ρ
)
ϕ& =
)
ϕ&0
2
2
2
2
2
(ωt ) = R cos(ωt )
ρ
=
R
−
z
=
R
−
R
sin
,
2
cos (ωt )
dostajemy

ϕ&o2 
2

m − Rω cos(ωt ) − R cos(ωt ) 4
(
)
ω
cos
t
ϕ&02 
m 2


=
= − ω +

2 R cos(ωt )
2
cos4 (ωt )
Mnożnik Lagrange’a λ2 można wyznaczyć z równania
m&z& = − mg + 2λ1 z + λ2 ⇒ λ2 = −2λ1 z + m&z& + mg ⇒
 2
ϕ&02 
2
(
)
ω
ω
R
sin
t
−
m
R sin (ωt ) + mg =
λ2 = m ω +

4
cos (ωt ) 

mRϕ& 02 sin (ωt )
=
+ mg
4
cos (ωt )
ϕ&02 
m 2
λ1 = − ω +

2
cos4 (ωt ) 
mRϕ&02 sin (ωt )
+ mg
λ2 =
4
cos (ωt )
Składowe siły reakcji są równe
 2
ϕ&02 
FRρ = λ1 2 ρ = −mRω +
 cos(ωt )
4
cos (ωt ) 

ρ = R cos(ωt )
z = R sin (ωt )
FRϕ = 0
 2
mRϕ&02 sin(ωt )
ϕ&02 
+ mg =
FRz = 2λ1 z + λ2 = −mω +
 R sin(ωt ) +
4
4
cos (ωt )
cos (ωt )

= mg − mω 2 R sin(ωt )
Przestrzeń konfiguracyjna 3n-wymiarowa dla układu n punktów materialnych
Układ złożony z n punktów obrazujemy przez pojedynczy punkt
w przestrzeni konfiguracyjnej, którego położenie dane jest
wektorem 3n-wymiarowym x = ( x1 , x2 , K , x3n )
r
r
r
r
ri = xi i + yi j + zi k → (K, x3i − 2 , x3i −1 , x3i , K), i = 1,2,K , n
Podobnie wprowadzamy 3n-wymiarowy wektor siły
r
r
r r
Fi = Fix i + Fiy j + Fiz → (K, X 3i − 2 , X 3i −1 , X 3i ,K), i = 1,2, K, n
X 3i − 2 = Fix , X 3i −1 = Fiy , X 3i = Fiz
Równania rruchu dla punktu w przestrzeni konfiguracyjnej przyjmują postać
r
mi &r&i = Fi , i = 1,2, K n → m j &x&j = X j ,
j = 1,2, K,3n
mi → m3i − 2 = m3i −1 = m3i , i = 1,2,K , n
p równań więzów f k (x1 ,........, x3n , t ) = 0, k = 1,2, K, p ≤ 3n wprowadza
ograniczenia na wektor 3n wymiarowy określający możliwe położenia punktu
w przestrzeni konfiguracyjnej , wektor ten musi postawać na hiperpowierzchni
więzów o wymiarze f=3n-p równym liczbie stopni swobody układu .
Zakładamy ponadto iż więzy wprowadzają siłę reakcji więzów o składowych
XRJ , (która jest prostopadła do tej hiperpowierzchni)
Równania ruchu z uwzględnieniem sił reakcji
zapisane dla układu n punktów materialnych w przestrzeni 3-DIM
r&& r r
mi ri = Fi + FRi
i = 1,2,...., n
r r
r
f k (r1 , r2 ,...., rn , t ) = 0
k = 1,2,......, p
r
r
r
r
FRi = Fix i + Fiy j + Fiz k
r
r
r
r
FRi = FRix i + FRiy j + FRiz k
r
r
r
&rr& = &x& i + &y& j + &z& k
i
i
i
i
zapisane dla punktu obrazującego układ n punktów materialnych w
przestrzeni konfiguracyjnej
m j &x&j = X j + X Rj ,
j = 1,2, K ,3n
f k (x1 ,.........., x3n , t ) = 0, k = 1,2, K , p
X 3i − 2 = Fix , X 3i −1 = Fiy , X 3i = Fzi
X R 3i − 2 = FRix , X R 3i −1 = FRiy , X R 3i = FRzi
x3i − 2 = xi , x3i −1 = yi , x3i = zi
&x&3i − 2 = &x&i , &x&3i −1 = &y&i , &x&3i = &z&i
Przesunięcie wirtualne zgodne z więzami w przestrzeni konfiguracyjnej
- dowolny wektor 3n-wymiarowy δx = (δx1 , δx2 ,.........., δx3n )
taki iż
3n
∂f k
δx j = 0
∑
j =1 ∂x j
k = 1,2,....., p
Wektor przesunięcia wirtualnego punktu w przestrzeni konfiguracyjnej
δx = (δx1 , δx2 ,.........., δx3 N )
jest wektorem stycznym do hiperpowierzchni
więzów na którym pozostaje punkt w przestrzeni konfiguracyjnej.
Wektor przesunięcia wirtualnego i-tego punktu materialnego w przestrzeni 3-DIM
r
r
r
r
δri = δxi i + δyi j + δzi k = (δxi , δyi , δzi ) = (δx3i −2 , δx3i −1 , δx3i )
3 składowe 3n- wymiarowego wektora przesunięcia wirtualnego w przestrzeni
konfiguracyjnej
Wektory przesunięcia wirtualnego punktów materialnych zgodne z
więzami w przestrzeni 3 DIM spełniają warunki
n
 ∂f k

r
∂f k
∂f k

grad i f k ⋅ δri = 0 ⇒ ∑ 
δxi +
δyi +
δzi  = 0
∑
∂yi
∂zi
i =1
i =1  ∂xi

n
k = 1,2,....., p
Związek przesunięcia wirtualnego z przesunięciem rzeczywistym
Wektor przesunięcia rzeczywistego punktu w przestrzeni konfiguracyjnej
o składowych dx = x& dt
dx = (dx1 , dx2 ,.........., dx3n )
j
j
jest jednym z przesunięć wirtualnych gdy więzy są skleronomiczne
Różniczkując bowiem zupełnie po czasie równanie więzów f k ( x, t ) = 0
otrzymujemy
df k ( x, t ) 3n ∂f k
∂f
=∑
x& j + k = 0
dt
∂t
j =1 ∂x j
3n
3n
3n
∂f k
∂f k
∂f k
∂f
x& j = 0 ⇒ ∑
x& j dt = 0 ⇒ ∑ k dx j = 0
=0⇒∑
∂t
j =1 ∂x j
j =1 ∂x j
j =1 ∂x j
czyli wektor przesunięcia rzeczywistego spełnia te same równanie co wektor
przesunięcia wirtualnego
δx = (δx1 , δx2 ,.........., δx3n )
3n
∂f k
δx j = 0
∑
j =1 ∂x j
k = 1,2,....., p
Zakładamy iż suma prac sił reakcyjnych na dowolnych przesunięciach
wirtualnych zgodnych z więzami znika, gdy nie występują siły tarcia lub
siły tarcia włączamy do sił zewnętrznych
r r
∑ X Rj ⋅ δx j = ∑ FRi ⋅δri = 0
3n
n
j =1
i =1
Ponieważ wektor przesunięcia wirtualnego w przestrzeni
konfiguracyjnej jest styczny do hiperpowierzchni więzów to wynika z
tego iż siła reakcji więzów musi być prostopadła do hiperpowierzchni
więzów
Praca sił reakcyjnych na przesunięciach rzeczywistych znika wtedy
więzy nie zależą od czasu
r
r
Założenie ∑ FRi ⋅ δri = 0
n
r
FR1
r r
r1 − r2
i =1
możemy sprawdzić na przykładzie
dwóch punktów materialnych
zmuszonych do pozostania w stałej
odległości l od siebie
r
r1
r
FR 2
r
r2
Równanie więzów:
r r 2 2
2
2
2
f = (r1 − r2 ) − l = 0 = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + ( z1 − z 2 ) − l 2 = 0
Warunek na przesunięcia wirtualne zgodne z więzami
r
r
0 = grad1 f ⋅ δr1 + grad 2 f ⋅ δr2 = 2( x1 − x2 )δx1 + 2( y1 − y2 )δy1 + 2(z1 − z 2 )δz1 − 2(x1 − x2 )δx2 +
r r
r
r r
r
r r
r r
− 2( y1 − y2 )δy2 − 2( z1 − z2 )δz 2 = 2(r1 − r2 ) ⋅ δr1 − 2(r1 − r2 ) ⋅ δr2 = 2(r1 − r2 ) ⋅ (δr1 − δr2 )
Siły reakcji
r r
r
r
r1 − r2
FR1 = r r FR = − FR 2
r1 − r2
Praca sił reakcji na przesunięciach wirtualnych
2 r
r r
r r
r
r r
FR r r
FRi ⋅ δri = FR1 ⋅ δr1 + FR 2 ⋅ δr2 = r r (r1 − r2 ) ⋅ (δr1 − δr2 ) = 0
∑
r1 − r2
i =1
Zakładamy iż suma prac sił reakcyjnych na dowolnych przesunięciach
wirtualnych zgodnych z więzami znika, gdy nie występują siły tarcia lub
siły tarcia włączamy do sił zewnętrznych
r r
∑ X Rj ⋅ δx j = ∑ FRi ⋅δri = 0
3n
n
j =1
(*)
i =1
Założenie (*) zapewnia iż
3n
∑ (X
3n
j
+ X RJ − m&x&j )δx j = ∑ (X j − m&x&j )δx j
j =1
j =1
a zatem równania ruchu
m j &x&j = X j + X RJ
3n
możemy zapisać w postaci
∑ (X
j =1
j
− m&x&j )δx j = 0
Zasada d’Alemberta dla układu n punktów materialnych
nieswobodnych o więzach holonomicznych dwustronnych
3n
sformułowana w przestrzeni
konfiguracyjnej
∑ (X
j
− m j &x&j ) δx j = 0
j =1
f k ( x, t ) = 0, k = 1,2, K, p
gdzie
sformułowana w przestrzeni
3-DIM w układzie
kartezjańskim
n
3n
∂f k
δx j = 0, k = 1,2,K, p
∑
j =1 ∂x j
r
r&& r n
Fi − mi ri ⋅ δri = ∑ ((Fix − mi &x&i )δxi + (Fiy − mi &y&i )δyi + (Fiz − mi &z&i )δzi ) = 0
∑(
)
i =1
i =1
r
r
f k (r1 ,......., rn , t ) = 0, k = 1,2, K , p
gdzie

r n  ∂f k
∂f k
∂f k
grad i f k ⋅ δri = ∑ 
δxi +
δyi +
δzi  = 0, k = 1,2,K, p
∑
∂yi
∂zi
i =1
i =1  ∂xi

n
r
r
r
r
Fi = Fix i + Fiy j + Fiz k
-wypadkowa siła zewnętrzna działająca na i-ty punkt materialny
( bez uwzględnienia sił reakcji innych niż siła tarcia)
Zasada Lagrange’a (zasada prac wirtualnych)
W stanie równowagi praca sił zewnętrznych na przesunięciach
wirtualnych wynosi zero
3n
w przestrzeni konfiguracyjnej
&x&j = 0, x& j = 0 ⇒
X j ( x, x& = 0 )δx j = 0
∑
j =1
f k ( x, t ) = 0, k = 1,2, K, p
3n
∂f k
δx j = 0, k = 1,2,K, p
∑
j =1 ∂x j
n r
&rr& = 0 ⇒ F ⋅ δrr = 0
∑ i i
i
gdzie
w przestrzeni 3-DIM
i =1
r r
r
f k (r1 , r2 ,...., rn , t ) = 0, k = 1,2, K , p
n
r
r
r
r
Fi = Fix i + Fiy j + Fiz k
r
grad
f
⋅
δ
r
∑ i k i = 0, k = 1,2,K, p
i =1
-wypadkowa siła zewnętrzna działająca na i-ty punkt materialny
( bez uwzględnienia sił reakcji innych niż siła tarcia)
t ≥ 0 warunku &x&j = 0, j = 1,2, K ,3n zapewnia
Spełnienie dla dowolnego
to iż wtedy
gdy x& j (t = 0) = 0 to x& j (t > 0) = 0
Zerowanie się pracy sił zewnętrznych na przesunięciach wirtualnych jest warunkiem
dostatecznym na to by położenie układu spełniające ten warunek było położeniem
równowagi wtedy gdy równania więzów oraz siły działające nie zależą od czasu.
Równania Lagrange’a I rodzaju dla układu n punktów materialnych
3n
∑ (X
Z zasady d’Alemberta
j
− m j &x& j )δx j = 0
j =1
3n
∂f k
δx j = 0, k = 1,2,K , p
∑
j =1 ∂x j
p


∂f k

− m j &x& j δx j = 0
X j + ∑ λk
∑


∂x j
j =1 
k =1

3n
mnożniki Lagrange’a
Niezależność funkcji
fk, k=1,2,...,p,
definiujących więzy,
gwarantuje
istnienie niezerowego
podwyznacznika
rzędu p macierzy p x 3n
 ∂f1
 ∂x
 1
 M
 ∂f p
 ∂x1

∂f1 
...
∂x3n 

M
M 
∂f p 
∂x3n 
Wówczas p spośród 3n
składowych δxj można
wyznaczyć z równań
Np. jeśli
∂f k
δx j = 0,
∑
j =1 ∂x j
∂f1
∂x1
M
∂f p
∂f1
...
∂x p
M
M ≠0
∂f p
k = 1,2,K , p
∂x1
∂x p
3n
to składowe
δx j ,
j = 1,2,K , p
można wyrazić przez
δx j , j = p + 1, p + 2,K ,3n
Uważamy
δx j , j = 1,2,K , p
za znane i dobieramy λk , k
= 1,2,K , p
tak, aby zachodziło
p
X j + ∑ λk
k =1
∂f k
− m j &x&j = 0,
∂x j
j = 1,2, K , p
Wówczas z zasady d’Alemberta wynika
p


∂
f
k
 X j + ∑ λk
− m j &x& j δx j = 0
∑


∂x j
j = p +1 
k =1

δx j , j = p + 1, p + 2,K ,3n są dowolne
3n
δxi
W szczególności można je dobrać jako δx j =  0

dla i=p+1,p+2,....,3n
gdy
gdy
j = i

j≠i 
kolejno
Stąd dla każdego j wynika
p
∂f
m j &x&j = X j + ∑ λk k ,
∂x j
k =1
j = 1,2, K ,3n
f k (x1 , x2 , K, x3n , t ) = 0, k = 1,2, K , p
Równania Lagrange’a I rodzaju
dla układu n punktów materialnych
p
r& r
&
mi ri = Fi + ∑ λk grad i f k , i = 1,2, K, n
k =1
r r
r
f k (r1 , r2 , K , rn , t ) = 0, k = 1,2, K, p
Wyznaczenie przyspieszenia klocków pokazanych na rysunku połączonych nierozciągliwą
nicią przy pomocy zasady d’Alemberta
Równanie więzów
R
f ( z1 , z 2 , z3 ) = z1 + 2( z 2 − d ) + z3 + 3πR − l = 0
r
g
l-długość nici, R-promienie bloczków
Ruch wszystkich klocków zachodzi wzdłuż osi OZ
czyli efektywnie w przestrzeni jednowymiarowej
Zasada d’Alemberta
n =3
m1
z
m2
d
m3
r
r r
Fi − mi &r&i ⋅ δri = 0 ⇒ (m1 g − m1&z&1 )δz1 + (m2 g − m2 &z&2 )δz 2 + (m3 g − m3 &z&3 )δz3 = 0
∑(
)
(1)
i =1
r
r
gdzie przesunięcia wirtualne klocków δri = δzi k
i = 1,2,3
muszą spełniać
poniższe równanie wynikające z warunku więzów
n =3
r
∂f
∂f
∂f
grad
f
⋅
δ
r
=
0
⇒
δ
z
+
δ
z
+
δz3 = δz1 + 2δz2 + δz3 = 0 ⇒ δz3 = −δz1 − 2δz2
∑
i
i
1
2
∂z1
∂z 2
∂z3
i =1
Uwzględnienie powyższego warunku w równaniu (1) prowadzi do relacji
(m1 g − m1&z&1 − m3 g + m3 &z&3 )δz1 + (m2 g − m2 &z&2 − 2m3 g + 2m3 &z&3 )δz2 = 0
Przy tym równanie więzów nie nakłada żadnych ograniczeń na δz1 oraz δz2
Gdy δz1=0⇒
(m1 g − m1&z&1 − m3 g + m3&z&3 )δz1 + (m2 g − m2 &z&2 − 2m3 g + 2m3&z&3 )δz2 = 0 ⇒
⇒ (m2 g − m2 &z&2 − 2m3 g + 2m3 &z&3 )δz 2 = 0 ⇒ m2 g − m2 &z&2 − 2m3 g + 2m3 &z&3 = 0
δz2 dowolne
Gdy δz2=0⇒
(m1 g − m1&z&1 − m3 g + m3&z&3 )δz1 + (m2 g − m2 &z&2 − 2m3 g + 2m3 &z&3 )δz2 = 0 ⇒
⇒ (m1 g − m1&z&1 − m3 g + m3 &z&3 )δz1 = 0 ⇒ m1 g − m1&z&1 − m3 g + m3 &z&3 = 0
δz1 dowolne
Otrzymaliśmy układ dwóch równań
m2 g − m2 &z&2 − 2m3 g + 2m3 &z&3 = 0
m1 g − m1&z&1 − m3 g + m3 &z&3 = 0
które rozwiązujemy przy wynikającym z równania więzów
z1 + 2 z 2 + z3 + 3πR − 2d − l = 0 ⇒ z3 = l + 2d − 3πR − 2 z 2 − z1
warunku powstałym w wyniku zróżniczkowania powyższego równania dwukrotnie
po czasie &z& = −2 &z& − &z&
3
2
1
Uwzględnienie warunku &z&3 = −2 &z&2 − &z&1
z dwoma niewiadomymi &z&1 , &z&2
prowadzi do układu dwóch równań
2m3 &z&1 + (m2 + 4m3 )&z&2 = (m2 − 2m3 )g
(m1 + m3 )&z&1 + 2m3 &z&2 = (m1 − m3 )g
W wyniku jego rozwiązania otrzymujemy
m1 m2 − 3m2 m3 + 4m1 m3
&z&1 =
g
m1 m2 + m2 m3 + 4m1 m3
m1 m2 + m2 m3 − 4m1 m3
&z&2 =
g
m1 m2 + m2 m3 + 4m1 m3
Ponadto
− 3m1m2 + m2 m3 + 4m1m3
&z&3 = −2&z&2 − &z&1 =
g
m1m2 + m2 m3 + 4m1m3
Znaleźć przy pomocy zasady Lagrange’a położenie równowagi łańcucha złożonego
z n prętów o długościach 2a i masach m każdy, połączonych przegubowo, którego
jeden koniec jest zawieszony, a na drugi działa poziomo siła F. Łańcuch jest
umieszczony w polu grawitacyjnym ziemskim.
Składowe wektora wodzącego środka
masy i-tego pręta
i −1
xi = a sin (α i ) + ∑ 2a sin (α j )
2a
j =1
i −1
a
zi = a cos(α i ) + ∑ 2a cos(α j )
j =1
Składowe wektora wodzącego końca
łańcucha
n
n
i =1
i =1
xB = ∑ 2a sin (α i ) z B = ∑ 2a cos(α i )
Powyższe równania przedstawiają w postaci uwikłanej równania więzów nałożonych na
składowe wektorów wodzących określających położenie środków mas kolejnych prętów
łańcucha (poprzez uzależnienie położenia środka masy i-tego pręta (i=2,3,....,n) z kątami jakie
pręty 1,...,i tworzą z osią OZ).
Z zasady Lagrange’a wynika iż musi być spełnione równanie
n
r r r r
∑ Fi ⋅ δri + F ⋅ δrB = 0 ⇒ ∑ mi gδzi + FδxB = 0
n
i =1
(*)
i =1
Ostatni wyraz wynika z faktu iż elementy łańcucha nie są punktami materialnymi i siła
pozioma F jest przyłożona do końca ostatniego elementu łańcucha a nie do środka
jego masy. Przy zapisie pozostałych wyrazów przyjęto iż można przyjąć iż siłę r
r
ciężkości działającą na i-ty pręt przykładamy do środka masy i określa ją wzórFi = mi gk
Na skutek istnienia więzów przesunięcia wirtualne δzi , δxB nie są dowolne
Więzy nie wprowadzają ograniczeń na przesunięcia wirtualne δα i związane ze
zmianami kątów α i jakie poszczególne ogniwa łańcucha tworzą z osia OZ, gdyż
kąty te mogą być dowolne.
Można uzależnić przesunięcia wirtualne δzi , δxB od przesunięć wirtualnych δα i
n
n
n
∂xB
xB = ∑ 2a sin (α i ) ⇒ δxB = ∑
δα i =∑ 2a cos(α i )δα i
i =1
i =1 ∂α i
i =1
i −1
i −1
j =1
j =1
zi = a cos(α i ) + ∑ 2a cos(α j ) ⇒ δzi = −a sin (α i )δα i − ∑ 2a sin (α j )δα j
Uwzględnienie powyższych relacji w równaniu (*) prowadzi do równania
i −1
n


mi g − a sin (α i )δα i − ∑ 2a sin (α j )δα j  + F ∑ 2a cos(α i )δα i = 0
∑
i =1
j =1
i =1


n
i −1
n


mi g − a sin (α i )δα i − ∑ 2a sin (α j )δα j  + F ∑ 2a cos(α i )δα i = 0
∑
i =1
j =1
i =1


Można je uwzględniając fakt iż mi=m (i=1,….,n) przepisać w postaci
n
n
∑ [− mga(2n − 2i + 1) sin(α ) + F 2a cos(α )]δα
i
i
i
=0
i =1
Z dowolności przesunięć wirtualnych δα i wynika iż muszą być
spełnione równania
− mga(2n − 2i + 1) sin (α i ) + F 2a cos(α i ) = 0
(i=1,…,n)
(*)
skąd wynika wzór pozwalający określić kąty jakie każde z ogniw
łańcucha tworzy z osia OZ
2F
tg (α i ) =
mg (2n − 2i + 1)
Znalezienie współrzędnych w ilości równej liczbie stopni swobody układu, dla których
więzy nie wprowadzają ograniczenia na wartości przyjmowane przez te współrzędne
jest krokiem prowadzącym do sformułowania równań ruchu w postaci równań
Lagrange’a II rodzaju, z których wynika m.in. w omawianym szczególnym przykładzie
(gdy szukając położenia równowagi zakładamy iż pręty spoczywają czyli dla
dowolnego i mamy α& i = 0, α&&i = 0 ) układ równań (*)