Równania całkowe

Równania całkowe
Zadania
1. Następujące zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego zwyczajnego zamienić na równanie całkowe Volterry:
(a) y 0 (t) + 7y(t) = 0, y(0) = −1,
(b) y 0 (t) + y(t) = cos t, y(0) = 0,
(c) y 00 (t) + 2y 0 (t) + y(t) = et , y(0) = 1, y 0 (0) = 0,
(d) y 00 (t) + ty 0 (t) + 2y(t) = t2 , y(0) = y 0 (0) = −1.
2. Dane równanie całkowe Volterry zamienić na zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego zwyczajnego, a następnie rozwiązać:
2t
Zt
(a) u(t) = e −
u(s)ds,
0
Zt
(b) u(t) = cos t + sin t +
u(s)ds,
0
Zt
(c) u(t) = 1 + t3 +
(t − s)u(s)ds,
0
Zt 2t
(d) u(t) = 3e − 2
3
t−s+
2
u(s)ds.
0
Odpowiedzi, wskazówki
Zt
1. (a) u(t) = 7 − 7
u(s)ds, gdzie u(t) = y 0 (t),
0
Zt
(b) u(t) = cos t −
u(s)ds, gdzie u(t) = y 0 (t),
0
t
Zt
(c) u(t) = −1 + e −
(t − s + 2)u(s)ds, gdzie u(t) = y 00 (t),
0
2
Zt
(d) u(t) = 2 + 3t + t −
(3t − 2s)u(s)ds, gdzie u(t) = y 00 (t).
0
2 2t 1 −t
e + e ,
3
3
(b) u0 (t) − u(t) = cos t − sin t, u(0) = 1, rozwiązaniem jest u(t) = sin t + et ,
7
5
(c) u00 (t) − u(t) = 6t, u(0) = 1, u0 (0) = 0, rozwiązaniem jest u(t) = −6t + et − e−t ,
2
2
00
0
2t
0
(d) u (t) + 3u (t) + 2u(t) = 12e , u(0) = 3, u (0) = −3, rozwiązaniem jest
u(t) = e2t − e−t + 3e−2t .
2. (a) u0 (t) + u(t) = 2e2t , u(0) = 1, rozwiązaniem jest u(t) =
Zadania pochodzą z książki: A. Wazwaz, Linear and nonlinear integral equations, New York 2011.
1