Międzyszkolne Zawody Matematyczne
Transkrypt
Międzyszkolne Zawody Matematyczne
Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I z rozszerzonym programem nauczania matematyki Etap rejonowy 3.12.2005 Czas rozwiązywania zadań - 150 minut. Zadanie 1. ( 2 pkt. ) Ustal zbiór tych liczb naturalnych dodatnich, dla których forma zdaniowa: n staje się zdaniem logicznym prawdziwym. Odpowiedź uzasadnij. 4 n 7 Zadanie 2. ( 2 pkt. ) Wykaż, że liczba 318 2 18 jest podzielna przez 19. Zadanie 3. ( 3 pkt. ) Usuń niewymierność z mianownika ułamka: 3 9 3 5 6 3 4 . Zadanie 4. ( 3 pkt. ) Liczby a, b, c, d, e, f, g to różne liczby ze zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . Wykaż, że liczba a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 f 6 g 7 jest liczbą parzystą. Zadanie 5. ( 4 pkt. ) W pięciokącie ABCDE wpisanym w okrąg przekątna AC przechodzi przez środek okręgu i zawiera się w dwusiecznej kąta EAB. Wykaż, że zarówno pole jak i obwód trójkąta ABC są mniejsze od odpowiednio pola i obwodu czworokąta ACDE. Zadanie 6. ( 4 pkt. ) Wyznacz wszystkie liczby całkowite n, dla których liczba n 2 4n 9 jest podzielna przez n 1. Zadanie 7. ( 4 pkt. ) W kwadrat o boku długości a wpisano koło K. Oblicz pole koła stycznego zewnętrznie do koła K i do dwóch boków kwadratu. Zadanie 8. ( 4 pkt. ) Wykaż, że jeżeli pomiędzy każde dwie kolejne cyfry liczby 121 wpiszemy tę samą liczbę zer to otrzymamy kwadrat pewnej liczby naturalnej. Zadanie 9. ( 5 pkt. ) Niech r i R oznaczają odpowiednio długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na R ośmiokącie foremnym. Wykaż, że 4 2 2. r Zadanie 10. ( 5 pkt. ) K-tą iteracją funkcji f k N nazywamy funkcję f k taką, że wartość tej funkcji dla dowolnego f k x argumentu x wyznaczamy w f f f ... f f x ... . Wyprowadź wzór na f k następujący x w zależności od k jeżeli k razy f x 1 1 x . Oblicz f 2004 sposób: 2005 . Życzymy powodzenia! Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa II z rozszerzonym programem nauczania matematyki Etap rejonowy 3.12.2005 Czas rozwiązywania zadań - 150 minut. Zadanie 1. ( 2 pkt. ) Wyznacz wszystkie liczby całkowite nieujemne n spełniające nierówność: n 9 4 5 4 n3 5 . Zadanie 2. ( 2 pkt. ) Wyznacz cyfry X, Y, Z takie, że XYZ ZX ZZX . (Uwaga: zapis ABC oznacza liczbę: 100 A 10 B C .) Zadanie 3. ( 3 pkt. ) Reszta z dzielenia wielomianu W x przez x 2 resztę z dzielenia wielomianu W x przez x 2 4 x 2 równa jest x 2 3x 6 . Wyznacz 4. Zadanie 4. ( 3 pkt. ) W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki AD i DB o długościach 4 3 AD , DB 4 3 . Oblicz długości odcinków, na które symetralna boku AB dzieli bok 3 BC wiedząc, że BC 8 . Zadanie 5. ( 4 pkt. ) Wykaż, że nie istnieją liczby całkowite x, y, z, dla których prawdziwa jest równość: x 2 y 2 4z 3 . Zadanie 6. ( 4 pkt. ) Wiadomo, że rozwiązaniami równania x 2 Wykaż, że liczba a 2 b 2 jest złożona. ax 1 b 0 są liczby naturalne dodatnie. Zadanie 7. ( 4 pkt. ) Rozwiąż równanie: x 6 6 x. Zadanie 8. ( 4 pkt. ) Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia x 3 Zadanie 9. ( 5 pkt. ) Dana jest funkcja g x 2 y3 xy wiedząc, że x y f x . Określ dziedzinę funkcji g 4. Dg wiedząc, że f x 4 x ( x - cecha liczby x - jest to największa liczba całkowita, która nie jest większa od x), a następnie narysuj wykres funkcji f dla x Dg . Zadanie 10. ( 5 pkt. ) Prostokąt ABCD o bokach długości AB 18 i BC 12 zginamy wzdłuż prostej AP tak, aby pole trójkątów PCE i EB’F były równe. Wyznacz stosunek pola trójkąta ADF do pola prostokąta ABCD. Rysunek pomocniczy: Życzymy powodzenia! Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa III z rozszerzonym programem nauczania matematyki Etap rejonowy 3.12.2005 Czas rozwiązywania zadań - 150 minut. Zadanie 1. ( 2 pkt. ) Oceń wartość logiczną zdania: “Istnieje trójkąt prostokątny, którego długości boków są liczbami naturalnymi, z których każda przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 2. ( 2 pkt. ) log 1 x 1 Sporządź wykres funkcji: f x 2 2 . Zadanie 3. ( 3 pkt. ) Wiadomo, że sin127 a . Wyznacz przy pomocy a wartość: cos23 . Zadanie 4. ( 3 pkt. ) W pewnym turnieju szachowym każdy zawodnik rozegrał dokładnie jedną partię z każdym innym uczestnikiem turnieju. Trzech szachistów przegrało tylko po jednej partii, a jeden przegrał wszystkie. Pozostali uczestnicy turnieju wygrali dokładnie po 2 partie. Ilu szachistów brało udział w turnieju, jeżeli wiadomo, że żadna partia nie zakończyła się remisem? Zadanie 5. ( 4 pkt. ) n 4 3n 2 1 Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej nie mniejszej niż 2 ułamek: 4 jest n n 2 2n 1 ułamkiem właściwym. Zadanie 6. ( 4 pkt. ) Suma długości dwóch boków trójkąta jest równa 2, a kąt między nimi zawarty ma miarę 120 . Dla jakich długości boków obwód trójkąta jest najmniejszy? Zadanie 7. ( 4 pkt. ) Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie: m2 sin x 3m 4 sin x ma rozwiązanie w przedziale: , 2 . Zadanie 8. ( 4 pkt. ) W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku C jest dwa razy większy od kąta przy wierzchołku B. Dwusieczna kąta przy wierzchołku C przecina bok AB w punkcie D. Wykaż, że 2 AC AB AD . Zadanie 9. ( 5 pkt. ) Liczby naturalne dodatnie pogrupowano w następujący sposób: 1 , 2, 3 , 4, 5, 6 , 7, 8, 9,10 , itd ... W której grupie jest liczba 2005? Oblicz sumę liczb z tej grupy. Oblicz sumę liczb z n-tej grupy. Zadanie 10. ( 5 pkt. ) Ciąg a n określony jest rekurencyjnie: 3 4 a1 an 1 1 1 n 1 2 an dla n 1 Sformułuj hipotezę dotyczącą wzoru na n-ty wyraz ciągu oraz udowodnij słuszność hipotezy stosując zasadę indukcji matematycznej. Życzymy powodzenia! Propozycja punktowania zadań dla klas pierwszych z rozszerzonym programem nauczania matematyki na etapie rejonowym Międzyszkolnych Zawodów Matematycznych. Zad 1.(2 pkt.) Jeżeli uczeń wyznaczy tylko zbiór: 5, 6, 7 Jeżeli skomentuje poprawnie ten wybór (Razem nie więcej niż 1 punkt) Jeżeli uczeń właściwie ustali zbiór: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Jeżeli skomentuje poprawnie ten wybór Zad 2. (2pkt.) Zapisanie 318 218 w postaci iloczynu: 39 2 9 39 29 Zapisanie 318 218 w postaci iloczynu: 33 2 3 36 63 Zapisanie 318 218 w postaci iloczynu: 19 36 63 0,5 0,5 1 1 0,5 2 6 39 2 6 39 29 29 i udzielenie odpowiedzi Zad 3.(3 pkt.) Rozszerzenie ułamka przez 3 3 3 2 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów i zapisanie liczby w postaci 3 3 3 2 Zad 4. (3 pkt.) Zauważenie, że w podanym zbiorze jest więcej liczb nieparzystych niż parzystych zatem w jednym z nawiasów otrzymamy różnicę liczb nieparzystych czyli liczbę parzystą Sformułowanie wniosku: Iloczyn liczb, z których jedna jest parzysta jest liczbą parzystą Zad 5. (4 pkt.) Sporządzenie rysunku Zauważenie, że trójkąty AEC i ABC są przystające, zatem mają równe pola Zapisanie: PAEDC P AEC P EDC p ABC P EDC p ABC Stwierdzenie, że z nierówności trójkąta mamy: ED CD EC BC co dowodzi odpowiedniej nierówności między obwodami czworokąta ACDE i trójkąta ABC. Zad 6. (4 pkt.) Zapisanie sumy n 2 n2 4n 9 w postaci n 1 n 3 0,5 1 2 1 2 1 1 1 1 1 6 ewentualnie 4n 9 6 zapisanie ułamka: w postaci n 3 n 1 n 1 Zapisanie założenia: n 1 n 1 | 6 co oznacza, że: Zauważenie, że n 1 | n 2 4n 9 1,5 0,5 1 n 1 6, 6, 3, 3, 2, 2,1, 1 Wyznaczenie n spełniających n 5, 7, 2, 4,1, 3, 0, 2 warunki zadania: Zad 7. (4 pkt.) Sporządzenie rysunku i przyjęcie stosownych oznaczeń Zapisanie zależności między a i r w postaci równania np: a 2 a r r 2 2 2 3 2 2 Wyznaczenie r z równania: r a 2 Uwaga! (Istnieje wiele metod uzależnienia r od a. Proponujemy przyznać 1,5 punktu za poprawność metody wyznaczenia r oraz 1 punkt za poprawność rachunkową.) Wyznaczenie pola koła Zad 8. (4 pkt.) Zapisanie liczby w postaci 100...0200...01 (wstawiamy między cyfry 1, 2, 1 po n zer) Sprowadzenie liczby do postaci: 10 2n 2 2 10 n Zapisanie liczby w postaci: 10 n 1 1 x f k x 1 k 1 1,5 1 0,5 1 1 1 2 Zad 9. (5 pkt.) Sporządzenie rysunku i przyjęcie stosownych oznaczeń Istnieje wiele metod rozwiązania tego zadania. Proponujemy: Za poprawność metody rozwiązywania zadania Za poprawność rachunkową Za przedstawienie stosunku długości promieni w wymaganej postaci Uwaga! Uważamy, że jeżeli uczeń zostawi wynik zawierający np: cos 22,5 to za całość rozumowania możemy przyznać maksymalnie 2 punkty: 1 punkt za rysunek i jeden punkt za wynik Zad 10. (5 pkt.) Wyznaczenie f f x , f f f x . Zapisanie wzoru funkcji f 1 2 1 1 2 1 1 1 x : dla k 3n, n N dla k 3n 1, n N 1 x 1 x dla k 3n 2, n N x Zauważenie, że liczba 2004 jest podzielna przez 3 Obliczenie i udzielenie odpowiedzi: f 2004 2005 2005 . 2,5 0,5 1 Propozycja punktowania zadań dla klas drugich z rozszerzonym programem nauczania matematyki na etapie rejonowym Międzyszkolnych Zawodów Matematycznych. Zad 1.(2 pkt.) 1 Zauważenie, że 9 4 5 5 2. Rozwiązanie nierówności: n 4 . 0, 1, 2, 3 . Udzielenie odpowiedzi: n 0,5 0,5 Zad 2. (2pkt.) Udzielenie poprawnej odpowiedzi: X 9, Y 7, Z 8 . Uwaga! Uważąmy, że za rozwiązania nie dające prawidłowego wyniku nie przyznajemy punktów. Zad 3.(3 pkt.) Zauważenie, że reszta z dzielenia wielomianu W x przez x 2 2 2 reszta z dzielenia x 3x 6 przez x Podzielenie i wyznaczenie reszty: R x 4 to 2 4. 3x 2 . 1 Zad 4. (3 pkt.) Uwaga! Zadanie można rozwiązać wieloma metodami. Proponujemy: Za zastosowanie prawidłowej metody rozwiązania zadania Za poprawność rachunkową i udzielenie odpowiedzi. ( Długości 8 16 odcinków równe są odpowiednio: , ) 3 3 Zad 5. (4 pkt.) Wykazanie, że gdy x, y są parzyste to równość nie jest spełniona Wykazanie, że gdy x, y są nieparzyste to równość nie jest spełniona Wykazanie, że gdy x, y są różnej parzystości to równość nie jest spełniona Sformułowanie ostatecznego wniosku. Zad 6. (4 pkt.) Skorzystanie ze wzorów Viéte’a: x1 x 2 Wyznaczenie a 2 Zapisanie a 2 b2 2 1 x1 x 2 b 2 w postaci: x12 2 x1 1 x2 x 6 1 1 1 1 1 1 a. 2 2 x 1 x2 . x2 Stwierdzenie, że a 2 b 2 jest liczbą złożoną, zauważenie, że dla 2 2 dowolnych x1 , x 2 naturalnych dodatnich liczby 1 x1 i 1 x2 są większe od 1 Zad 7. (4 pkt.) Zapisanie założenia x 0 . Zapisanie równania w postaci: 2 1 1 1 b , x1 2 2 2 6 1 0,5 0,5 0,5 0,5 Zapisanie założenia x 6. Zapisanie równania w postaci: x 4 12 x 2 x 30 0 Rozwiązanie powyższego równania: 1 21 1 21 x 2 x 3 x x . 2 2 Wybranie x spełniającego warunek zadania: x 3 . 1,5 0,5 Zad 8. (4 pkt.) Zapisanie danego wyrażenia w postaci funkcji jednej zmiennej: f x 11x 2 44 x 64 Powołanie się na własności funkcji kwadratowej, zauważenie, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość dla odciętej wierzchołka paraboli będącej wykresem danej funkcji. Obliczenie najmniejszej wartości tej funkcj: 20 i udzielenie odpowiedzi Zad 9. (5 pkt.) Rozwiązanie nierówności f x 0 x 2 1 1 2 2, 3 . 2, 2 lub x Za podanie rozwiązania w postaci: x 2, 2 proponujemy przyznać 1 pkt, w innych sytuacjach przyznajemy 0 punktów Sporządzenie właściwego wykresu funkcji: Uwaga! Za sporządzenie poprawnego wykresu funkcji: dla x 2, 2 lub 3 x 2, 2 proponujemy przyznać 2 pkt. Za sporządzenie poprawnego wykresu w innych przedziałach proponujemy przyznać maksymalnie 1 punkt. Zad 10. (5 pkt.) PEC . Zauważenie, że EFB ' Zauważenie, że EFB ' ~ ADF . Ułożenie układu równań pozwalającego obliczyć DF . Rozwiązani powyższego układu równań, obliczenie DF Obliczenie stosunku pól: 1 . 4 1 1 1 9. 1,5 0,5 Propozycja punktowania zadań dla klas trzecich z rozszerzonym programem nauczania matematyki na etapie rejonowym Międzyszkolnych Zawodów Matematycznych. Zad 1.(2 pkt.) Wykazanie, że reszta z dzielenia a 2 b 2 przez 3 jest równa 2 Wykazanie, że reszta z dzielenia c 2 przez 3 jest równa 1. Udzielenie odpowiedzi: “Zdanie jest fałszywe.” 1 0,5 0,5 Zad 2. (2pkt.) Określenie dziedziny funkcji f: D f 0,5 \ 1 1 Zapisanie funkcji f w postaci: f x x 1 . 1 Narysowanie wykresu funkcji f. Zad 3.(3 pkt.) Zapisanie cos 23 cos 150 127 różnicy kątów. Obliczenie cos150 . Obliczenie sin150 . i zastosowanie wzoru na cosinus 0,5 0,5 0,5 1 1 a2 . Obliczenie cos127 a Obliczenie cos23 0,5 3 1 a2 0,5 2 Zad 4. (3 pkt.) Wyznaczenie liczby rozegranych partii gdy w turnieju uczestniczy n nn 1 zawodników: . 2 Ustalenie założenia: n 5, n N . Wyznaczenie liczby partii wygranych przez zawodników: 3n 2 2n 4 Zapisanie równania: nn 1 3n 2 2 Rozwiązanie powyższego równania: n 4 n 7 Wskazanie n sełniającego warunki zadania: n 7 . n 1 n2 Zapisanie mianownika w postaci iloczynu: n 2 n2 n 1 n2 n 1 Uzasadnienie, że ułamek jest właściwy. Zad 6. (4 pkt.) Zapisanie ułamka w postaci: 0,5 0,5 0,5 2n 4 . Zad 5. (4 pkt.) Zapisanie licznika w postaci iloczynu: n 2 0,5 0,5 0,5 n 1 . n 1 n2 n 1 . 1,5 1 0,5 1 Wyznaczenie długości boku przeciwległego kątowi o mierze 120 : c2 a 2c 4 , wykonanie założenia: c 1,5 0, 2 . Stwierdzenie że obwód trójkąta jest najmniejszy, gdy c 2 2c 4 przyjmuje wartość najmniejszą (powołanie się na własności funkcji kwadratowej, ewentualnie zastosowanie rachunku różniczkowego do wyznaczenia minimum funkcji ) Wyznaczenie c, dla którego obwód jest najmniejszy: c 1 Wyznaczenie długości boków trójkąta o najmniejszym obwodzie: 1, 1, 3 . 1,5 0,5 0,5 Zad 7. (4 pkt.) Zapisanie równania m2 sin x 3m m 2 m 2. Zauważenie,że dla m sprzeczne 2 m 2 równanie: m2 sin x 3m gdy 1 3m m2 3m m2 4 dla 0,5 4 sin x jest 0,5 Zauważenie, że równanie sin x ,2 4 sin x w postaci: sin x 4 Rozwiązanie nierówności: 3m m2 4 ma rozwiązanie w przedziale 1 0 3m m2 4 3m Rozwiązanie nierówności: 2 m 4 m , 4 2, 1 2, . m 0: , 2 0, 2 0,5 1: 1 Wyznaczenie m spełniających warunki zadania: m , 4 0,1 . Zad 8. (4 pkt.) Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń. Zauważenie, że w trójkącie ACD ADC 2 ACD . Zauważenie podobieństwa trójkątów ABC i ADC. (powołanie się na odpowiednią cechę podobieństwa) AC AB Zapisanie proporcji: . AD AC Przekształcenie proporcji do postaci AC 2 AB AD . Zad 9. (5 pkt.) Ustalenie, że liczba 2005 jest w 63 grupie (wraz z uzasadnieniem) Obliczenie sumy liczb tej grupy: 125055 n n2 1 Obliczenie sumy liczb n - tej grupy: S n wraz z 2 uzasadnieniem 0,5 0,5 1 1 1 0,5 2 1 2 Zad 10. (5 pkt.) Postawienie hipotezy: n N : an 3n 1 . (Za obliczenie kilku 8n początkowych wyrazów ciągu bez postawienia prawidłowej hipotezy proponujemy przyznać 0,5 punktu.) Dowód I kroku indukcyjnego Dowód II kroku indukcyjnego Powołanie się na zasadę indukcji matematycznej celem stwierdzenia prawdziwości hipotezy. 2,5 0,5 1,5 0,5