Analiza funkcjonalna Lista 1 Zad 1. Pokazać, że przestrzenie ciągów

Analiza funkcjonalna
Lista 1
Zad 1. Pokazać, że przestrzenie ciągów: sumowalnych w p-tej potędze lp , ograniczonych l∞ , zbieżnych c oraz zbieżnych do zera c0 , są (wraz ze standardowymi normami)
przestrzeniami Banacha.
Zad 2. Wykazać inkluzje
l1 ⊂ ... ⊂ lp ⊂ ... ⊂ lq ⊂ ... ⊂ c0 ⊂ c ⊂ l∞ ,
1<p<q<∞
i pokazać, że żadnej z nich nie można zastąpić równością.
Zad 3. Sprawdzić, czy ciąg xn elementów przestrzeni X jest zbieżny do ciągu a.
N
X
1.
l1
2.
l3
3.
c
4.
l8
xn
1
1
1
(sin n , sin n , ..., sin n , 0, ...)
2
2
2
|
{z
}
a
(0, 0, ..., 0, ...)
n2 n2
n2
, n , ..., n , 0, ...)
n
2 2
2
{z
}
|
(1, 0, ..., 0, ...)
n
(
n
4n + 1 n 4n + 1 n
4n + 1 n
((
) ,(
) , ..., (
) , 0, ...)
4n + 3
4n + 3
4n + 3
|
{z
}
(
cos
n
5
|
5.
l∞
6.
l2
1
n
,
cos
n
1
n
n
{z
, ...,
cos
n
n
1
1
1
(e− 2 , e− 2 , ..., e− 2 , ...)
1
n
, 0, ...)
}
(0, 0, ..., 0, ...)
3
(0, 78 , ..., nn−1
3 , 0, 0, ...)
1 1
1
( 2 , 2 , ..., 2 , n, 0, ...)
n n
n
|
{z
}
(0, 78 , ...,
3
k3 −1 (k+1) −1
, (k+1)3 , ...)
k3
(0, 0, ..., 0, ...)
n
Zad 4. Zbadać zbieżność ciągu xn w przestrzeni X.
N
1.
X
l∞
xn
1 n
1
1 n
(tg(1 + ) , tg(1 + ) , ..., tg(1 + )n , 0, 0, ...)
n
n
n
|
{z
}
N
6.
X
xn
l5
n+(n−1) n
(( n+1
)n , ( n+2
)n , ..., (
) , 0, 0, ...)
n
n
n
2
n
2.
l3
3.
l2
4.
c0
5.
l2
1
1
1
( √ , √ , ..., √ , 1, 0, ...)
n
n
n
|
{z
}
7.
c
8.
l1
9.
l∞
10.
l√5
n
1
1
1
(sin , sin , ..., sin , 0, 0, ...)
n
n
n
|
{z
}
n2
1
1
(tg( n
), tg( n12 ), ..., tg( n1k ), tg( nk+1
), ...)
1
1
(0, .., 0, √ , ..., √ , 0, 0, ...)
| {z }
n
n
|
{z
}
n
n
( 12 , 45 , ...,
n2
, 0, 0, ...)
n2 +1
sin 3n sin 3n
sin 3n
,
, ...,
, 0, 0, ...)
2
2
n
n
n2
|
{z
}
√ √n
√
(1, 2 2, 3 3..., n n, 0, 0, ...)
1
1
1
(sin √ , sin √ , ..., sin √ , 0, ...)
n
n
n
|
{z
}
(
n
Zad 5. Sprawdzić otwartość, domkniętość i ograniczoność podzbioru M przestrzeni lp .
N
1.
2.
p
1
2
M
{x : |x(k)| ≤ k1 }
{x : x(k) > 0}
N
3.
4.
p
∞
1
M
{x : ∃n ∀k>n x(k) = 0}
P
2
{x : ∞
k=1 |x(k)| < 1}