Wstęp do teorii miary

Wstęp do teorii miary
SPPI, rok II
Lista 1
1. Udowodnić wzór
(A ∪ B) M (C ∪ D) ⊂ (A M C) ∪ (B M D).
(M oznacza różnicę symetryczną)
2. Pokazać, że:
(a) (lim An )c = lim(Acn ),
(lim An )c = lim(Acn )
(b) lim(An ∩ Bn ) = lim An ∩ lim Bn ,
lim(An ∩ Bn ) ⊂ lim An ∩ lim Bn
(c) lim(An ∪ Bn ) = lim An ∪ lim Bn ,
lim An ∪ lim Bn ⊂ lim(An ∪ Bn )
(d) A M lim Bn ⊂ lim(A M Bn ),
A M lim Bn ⊂ lim(A M Bn ).
3. Niech An = (−2n, −n) ∪ (−1, − n1 ) ∪ [2, 5 + (−1)n ]. Opisać lim inf n An i lim supn An
4. Niech
1A oznacza funkcję charakterystyczną zbioru A. Pokazać, że:
1lim An = lim 1An
1lim An = lim 1An .
i
Jeżeli dolna granica ciągu zbiorów jest równa górnej granicy tego ciągu, to definiuje
def
się granicę ciągu (An )n∈N jako lim An = lim An = lim An .
n→∞
n→∞
n→∞
5. Wykazać, że monotoniczny (wstępujący lub zstępujący) ciąg (An ) jest zbieżny i opisać
jego granicę. Podobnie dla ciągu zbiorów parami rozłącznych.
6. Wykazać, że: lim An = A
n→∞
⇐⇒ ∀x lim
n→∞
1An (x) = 1A (x).
7. Udowodnić, że podciąg (Ank )k∈N ciągu zbieżnego (An )n∈N jest zbieżny i to do tej
samej granicy.
8. Dana jest rodzina A = {[3, +∞), (7, +∞)}. Opisać σ-ciało generowane przez A. Odpowiedź uzasadnić.
9. Znaleźć σ-ciało podzbiorów R generowane przez rodzinę zbiorów
(a) A = {[n, n + 1) : n ∈ Z}
(b) B = {[n, +∞) : n ∈ Z}
Znaleźć też odpowiednie generowane ciała. Wskazówka: W celach pomocniczych można wykonać odpowiedni rysunek.
10. Wykazać, że jeżeli A jest skończoną rodziną zbiorów, to ciało generowane przez rodzinę A również jest skończone i pokrywa się z σ-ciałem generowanym przez A. Dla
A o n elementach oszacować (od góry) liczbę elementów tego ciała. Czy zawsze ta
maksymalna liczba elementów ciała generowanego przez A zostaje osiągnięta?
11. Niech A będzie ustaloną rodziną zbiorów w X. Znaleźć inkluzje zachodzące pomiędzy
rodzinami zbiorów:
(a) najmniejszym pierścieniem zawierającym A
(b) najmniejszym σ-pierścieniem zawierającym A
(c) najmniejszym ciałem zawierającym A
(d) najmniejszym σ-ciałem zawierającym A
(e) najmniejszą rodziną monotoniczną zawierającą A.
12. Dla podanych A opisać rodziny (a)-(e) z poprzedniego zadania:
(a) X = N,
A = {{n} : n ∈ N}
(b) X = R,
A = {{x} : x ∈ R}
(c) X = R,
A = {E ⊂ R : R \ E - przeliczalny}
(d) X = N,
A = {E ⊂ N : N \ E - skończony}.