Logika i Teoria Mnogo±ci, zestaw 6

Logika i Teoria Mnogo±ci, zestaw 6
6.1. Granic¦ górn¡ (limes superior) i granic¦ doln¡ (limes inferior) indeksowanej rodziny zbiorów
An , n ∈ N ∪ {0}, deniuje si¦ jako:
Lim sup An =
∞ ∪
∞
∩
An+k ,
Lim inf An =
n=0 k=0
Prosz¦ udowodni¢, »e
(
∞
∩
n=0
An ⊂ Lim inf An ⊂ Lim sup An ⊂
)
∞ ∩
∞
∪
An+k .
n=0 k=0
∞
∪
An
n=0
1
6.2. Niech An = 0, 1 + n+1
b¦dzie rodzin¡ przedziaªów, podzbiorów osi rzeczywistej R. Prosz¦
wyznaczy¢ Lim sup An oraz Lim inf An .
6.3. Niech
 (
)
1

 1, 2 + n+1
, n = 0, 2, 4, . . . ,
Bn =
(
)

 1 − 1 , 3 , n = 1, 3, 5, . . . ,
n+1
b¦dzie rodzin¡ przedziaªów, podzbiorów osi rzeczywistej R. Prosz¦ wyznaczy¢ Lim sup Bn
oraz Lim inf Bn .
6.4. Niech X = {a, b, c, d} i niech X × X ⊃ R = {⟨a, a⟩, ⟨c, c⟩, ⟨a, b⟩, ⟨b, a⟩, ⟨a, d⟩, ⟨b, c⟩}. Prosz¦
zbada¢, czy R jest funkcj¡.
6.5. Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ wzorem f (x) = x2 − 3x + 2. Prosz¦ znale¹¢:
(a) f ((0, 1)),
(b) f ([−2, −1)),
(c) f −1 ((−∞, −6]),
(d) f −1 ({−4, −3}),
(e) f ({1, 2}).
6.6. Niech f : N2 → N b¦dzie okre±lone wzorem:
f (⟨m, n⟩) = m2 + n2 − 1.
(a) Czy f jest injekcj¡?
(b) Czy f jest surjekcj¡?
(c) Prosz¦ wyznaczy¢ f −1 ({12}).
6.7. Niech f : X → Y oraz niech A ⊂ X i B ⊂ Y. Przez f (A) oznaczamy obraz zbioru A, za±
przez f −1 (B) przeciwobraz zbioru B ze wzgl¦du na funkcj¦ f . Prosz¦ udowodni¢ wzory:
(a) je±li A1 ⊂ A2 , to f (A1 ) ⊂ f (A2 );
(b) f −1 (B1 ) \ f −1 (B2 ) = f −1 (B1 \ B2 );
(c) (f ◦ f −1 )(B) ⊂ B oraz A ⊂ (f −1 ◦ f )(A);
(d) f (A ∩ f −1 (B)) = f (A) ∩ B .
Prosz¦ pokaza¢, »e w powy»szych wzorach znak inkluzji nie mo»e by¢ w ogólnym przypadku
zast¡piony znakiem równo±ci.
Leszek Hadasz
[email protected]