Pochodna funkcji Interpretacja geometryczna i fizyczna

Pochodna funkcji
Def. 1. Pochodn¡ wªa±ciw¡ funkcji f w punkcie x0 nazywamy granic¦
f 0 (x0 ) := lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa. Funkcj¦ f nazywamy wtedy ró»niczkowaln¡.
Przy zaªo»eniu, »e f jest ci¡gªa w x0 analogicznie okre±lamy pochodne niewªa±ciwe +∞ i −∞. Pochodn¡ lewostronn¡ i prawostronn¡ nazywamy odpowiednio:
0
f−
(x0 ) := lim
x→x−
0
Ilorazem ró»nicowym
f (x) − f (x0 )
x − x0
0
i f+
(x0 ) := lim
x→x+
0
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
nazywamy wyra»enie
∆y
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
=
.
=
x − x0
∆x
∆x
Uwaga 1. W denicji pochodnej niewªa±ciwej zakªadamy dodatkowo ci¡gªo±¢
funkcji w punkcie x0 . Zaªo»enie, to jest zb¦dne dla pochodnej wªa±ciwej poniewa»
z istnienia granicy wªa±ciwej
f 0 (x0 ) := lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
wynika ci¡gªo±¢ funkcji w punkcie x0 . W ka»dym przypadku zachodzi:
Twierdzenie 1.
funkcja
f
Je±li istnieje wªa±ciwa lub niewªa±ciwa pochodna
jest ci¡gªa w
f 0 (x0 ),
to
x0 .
Interpretacja geometryczna i zyczna
• Pochodna wªa±ciwa w punkcie x0 jest wspóªczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie x0 .
• Je±li f 0 (x0 ) = ±∞, to styczna do wykresu jest prost¡ pionow¡ x = x0 .
• Równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f ró»niczkowalnej w punkcie
x0 :
y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ).
• Pochodna wyra»a szybko±¢ przyrostu funkcji w chwili x0 .
• Je±li s = s(t), jest funkcj¡ drogi w zale»no±ci od czasu, to pochodna s0 (t0 )
jest pr¦dko±ci¡ w chwili t0 .
• Je±li v = v(t), jest funkcj¡ pr¦dko±ci w zale»no±ci od czasu, to v 0 (t0 ) jest
przy±pieszeniem w chwili t0 .
1
Pochodne funkcji elementarnych
1. c0 = 0 (pochodna funkcji staªej jest równa 0),
2. (xr )0 = rxr−1 dla dowolnego r ∈ R,
3. (sin x)0 = cos x,
4. (tgx)0 =
(cos x)0 = − sin x,
1
,
cos2 x
(ctgx)0 = −
1
,
sin2 x
5. (ax )0 = ax ln a, (ex )0 = ex ,
6. (loga x)0 =
1
1
, (ln x)0 = ,
x ln a
x
7. (arcsin x)0 = √
8. (arctgx)0 =
1
1
, (arccos x)0 = − √
,
1 − x2
1 − x2
1
1
, (arcctgx)0 = −
.
2
1+x
1 + x2
Def. 2. Mówimy, »e funkcja f jest ró»niczkowalna
w zbiorze X ⊂ R gdy jest
ró»niczkowalna w ka»dym punkcie tego zbioru. Funkcj¦, która ka»demu x ∈ X
przyporz¡dkowuje pochodn¡ f 0 (x) w tym punkcie nazywamy pochodn¡ f 0 na
zbiorze X .
Twierdzenie 2.
f, g
Je±li
maj¡ pochodne w
x0 ,
1.
(f ± g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 ),
2.
(cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 ),
3.
(f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )
f 0
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
o
(x0 ) =
g
g 2 (x0 )
4.
Twierdzenie 3.
punkcie
f (x0 ),
gdzie
1. Je»eli
f
to
c ∈ R,
ile
g(x0 ) 6= 0.
ma pochodn¡ w punkcie
x0
a
g
ma pochodn¡ w
to
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 ))f 0 (x0 ).
2. Je»eli funkcja
f
jest ci¡gªa i ±ci±le monotoniczna w otoczeniu punktu
oraz ma pochodn¡
f 0 (x0 ) 6= 0,
to
(f −1 )0 (f (x0 )) =
2
1
.
f 0 (x0 )
x0
Wyra»enia wykªadniczo-pot¦gowe
f (x)g(x)
0
= eg(x) ln f (x)
0
= f (x)g(x) (g 0 (x) ln f (x) +
g(x)f 0 (x) .
f (x)
1. Wyznaczy¢ pochodn¡ funkcji f (x) = (sin x)cos x w dowolnym
punkcie dziedziny naturalnej.
Przykªad:
Def. 3.
Ró»niczk¡ funkcji f ró»niczkowalnej w x0 nazywamy funkcj¦ df przyrostu argumentu ∆x = x − x0 okre±lon¡ wzorem
df (∆x) = f 0 (x0 ) · ∆x.
2. Ró»niczka jest funkcj¡ liniow¡ przyrostu argumentu.
Uwaga 3. Ró»niczka szybciej zbiega do przyrostu warto±ci funkcji ∆f = f (x0 +
∆x) − f (x0 ) ni» ∆x → 0. Dokªadniej
Uwaga
∆f − df
= 0.
∆x
lim
∆x→0
Dlatego dla maªych ∆x stosujemy przybli»enie
f (x + ∆x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )∆x.
Przykªady:
√
3
1.
8, 03.
1. Wyznaczy¢ bez kalkulatora przybli»on¡ warto±¢ wyra»enia
2. Z jak¡ dokªadno±ci¡ wyznaczymy obj¦to±¢ sze±cianu je±li zmierzona z dokªadno±ci¡ do 1 cm dªugo±¢ jego kraw¦dzi jest równa 1 m?
Twierdzenie 4 (Rolle'a).
c ∈ (a, b),
»e
(a, b)
oraz
f 0 (c) = 0.
Twierdzenie 5 (Lagrange'a).
ró»niczkowalna na przedziale
Je»eli funkcja
(a, b),
Twierdzenie 6 (Cauchy'ego).
ró»niczkowalne na przedziale
c ∈ (a, b),
»e
f, g
g 0 (x) 6= 0
Je»eli funkcje
(a, b)
x→x0
c ∈ (a, b),
[a, b]
i
[a, b]
i
»e
oraz
s¡ ci¡gªe na przedziale
dla
x ∈ (a, b),
to istnieje taki
f 0 (c)
f (b) − f (a)
=
.
g 0 (c)
g(b) − g(a)
lim f (x) = lim g(x) = 0,
x→x0
jest ci¡gªa na przedziale
f (b) − f (a)
.
b−a
Twierdzenie 7 (Reguªa de L'Hospitala).
1.
f
to istnieje taki punkt
f 0 (c) =
punkt
f jest ci¡gªa na przedziale [a, b] i
f (a) = f (b), to istnieje taki punkt
Je»eli funkcja
ró»niczkowalna na przedziale
Je»eli funkcje
przy czym
3
g(x0 ) 6= 0
f, g
speªniaj¡ warunki:
w s¡siedztwie
x0 ,
2. istnieje
lim
x→x0
f 0 (x)
g 0 (x)
(wªa±ciwa lub niewªa±ciwa),
to
lim
x→x0
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
g(x) x→x0 g (x)
Twierdzenie jest równie» prawdziwe dla granic jednostronnych, granic w
niesko«czono±ci oraz przy pierwszym zaªo»eniu postaci:
1'. lim f (x) = lim g(x) = ∞.
x→x0
x→x0
Przykªady:
ln cos x
x + sin x
√1
; (2) lim x x ; (3) lim
.
x→∞
x→∞
x→0 ln cos 2x
x
2. Wyznaczy¢ granice: (1) lim
Def. 4. Pochodne wy»szych rz¦dów deniujemy indukcyjnie:
1.
f (1) (x) := f 0 (x),
2. Dla n > 1:
0
f (n+1) (x) := f (n) (x).
Stosujemy równie» oznaczenia
f 00 , f 000 , f iv , ...
oraz
f (0) (x) := f (x).
Przykªad:
2. Wyznaczy¢ wzór na n-t¡ pochodn¡ funkcji f (x) = xex .
Twierdzenie 8 (Wzór Taylora z reszt¡ Lagrange'a).
f (n−1)
[x0 , x]
c ∈ (x0 , x), »e
na przedziale
taki punkt
f (x) = f (x0 ) +
+
oraz pochodn¡
f (n)
Je»eli
f
na przedziale
ma ci¡gª¡ pochodn¡
(x0 , x),
to istnieje
f (2) (x0 )
f (n−1) (x0 )
f 0 (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + ... +
(x − x0 )n−1
1!
2!
(n − 1)!
f (n) (c)
(x − x0 )n .
n!
Wyra»enie
Rn =
nazywamy
.
f (n) (c)
(x − x0 )n
n!
reszt¡ w postaci Lagrange'a
a caª¡ reszt¦ sumy -
lora
4
wielomianem Tay-
Wn. 1 (Wzór Maclaurina).
f (x) = f (0) +
Przykªad
Dla
x0 = 0
wzór Taylora przyjmuje posta¢:
f 0 (0)
f (2) (0) 2
f (n−1) (0) n−1 f (n) (c) n
x+
x + ... +
x
+
x .
1!
2!
(n − 1)!
n!
1 (Szeregi Maclaurina dla funkcji ex , sin x i cos x:).
x3
x4
xn−1
xn c
x2
+
+
+ ...
+
e
2!
3!
4!
(n − 1)!
n!
2. sin x = x −
x5
x7
x9
x2n−1
x3
+
−
+
+ ... + (−1)n+1
cos c
3!
5!
7!
9!
(2n − 1)!
3. cos x = 1 −
x2
x4
x6
x8
x2n
+
−
+
+ ... + (−1)n
cos c
2!
4!
6!
8!
(2n)!
Wyznaczy¢ cos 0, 2 z dokªadno±ci¡ do 10−4 .
5
x
1!
1. ex = 1+ +