zadania powtórzeniowe przed pierwszym kolokwium

Zadania domowe z AM1 dla grup E1-E4 (semestr zimowy, 2016/2017)
Czȩść 1
Zadania domowe z Analizy Matematycznej I - czȩść 1
(indukcja, kresy, funkcje cyklometryczne, granica cia̧gu, granica dolna i górna)
Zadanie 1. Wykazać, że
∀n∈N∧n≥3
1
1
1
3
+
+ ... +
> .
n+1 n+2
2n
5
Zadanie 2. Niech A bedzie
niepustym i ograniczonym z góry podzbiorem R, niech λ > 0 oraz niech
,
λA = {λa : a ∈ A}.
Udowodnić, że
sup(λA) = λ sup A.
Zadanie 3. (a) Niech f, g : A 7→ R bed
, a, funkcjami ograniczonymi z dolu. Udowodnić, że
inf (f (x) + g(x)) ≥ inf f (x) + inf g(x).
x∈A
x∈A
x∈A
(b) Niech f, g : A 7→ R bed
, a, funkcjami ograniczonymi. Udowodnić, że
− (f (x) − g(x)) .
| inf f (x) − inf g(x)| ≥ inf (f (x) − g(x)) i | inf f (x) − inf g(x)| ≥ inf
x∈A
x∈A
x∈A
x∈A
x∈A
x∈A
(c) Niech f, g : A 7→ R bed
, że
, a, funkcjami ograniczonymi. Czy jest prawda,
| inf f (x) − inf g(x)| ≥ inf |f (x) − g(x)|?
x∈A
x∈A
x∈A
√
1
1
1
5
√7
Zadanie 4. Obliczyć arctg(−1), arccos(cos( 16π
5 )), cos( 2 arccos(− 8 )), sin(2 arcsin( 2 2 )), tg( 2 arcsin( 13 )).
Zadanie 5. Przedstawić funkcje, odwrotna, wzgledem
funkcji f (x) =
,
arcctg.
ctg(x− π2 )
2
dla x ∈ (− π2 , π2 ) za pomoca, funkcji
Zadanie 6. Wyrazić funkcjȩ odwrotna̧ wzglȩdem funkcji f (x) = 2 sin(3x − 4) obciȩtej do przedzialu [ 43 + π6 , 43 + π2 ]
poprzez funkcjȩ arcsin x.
Zadanie 7. Podać dziedziny i narysować wykresy funkcji f (x) =
π
2
− arctg(tgx), g(x) = tg(arctg x).
Zadanie 8. Bezpośrednio z definicji granicy ciagu
wykazać, że limn→∞
,
Zadanie 9. Obliczyć granice cia̧gów
√
√
(a) an = n2 + n − n2 − n,
√
√
(c) cn = 3 2n3 + 3n2 + n − 3 2n3 + n2 − 1,
√
(e) en = n 9n + 10n + 4,
p
√
(g) gn = 9n2 + n − 3n,
p
(i) in = n 23n+1 + 3n + 2 cos( n2 ),
(k) kn =
n sin(n!)
n2 +1 ,
(m) mn =
√ 1
n3 +1
(b) bn =
√ 1
n3 +2
(o) on = (0, 9999 + n1 )n ,
3 n5
(r) rn = nn+1
,
3
−14n
7n+6
(t) tn = 7n−1
,
+ ... +
√ 1
n3 +n
,
= 8.
1
,
n2 +n+7−n
√
3
8n3 − n − 2n ,
2n+1 √
(f ) fn = n−3
+ n 3n + 4n ,
n
√
√
(h) hn = n 3 2 − 3 2n3 + 5,
(d) dn = n
(j) jn =
(l) ln =
+
√
2n+3 +7
2n
7n +3n−1
3n+2 −5·7n ,
q
n
(n) xn =
1
2
+
1
3
√ 1
n4 +n
+
√ 2
n4 +2n
1+
+ . . . + n1 ,
(p) pn = (1, 0001 − n1 )n ,
n
3n+1
(s) sn = 7n−1
,
3−n
n
(u) un = n+1
.
1
+ ... +
√ n
,
n4 +nn
Zadania domowe z AM1 dla grup E1-E4 (semestr zimowy, 2016/2017)
Czȩść 1
Zadanie 10. Zbadać zbieżność cia̧gów określonych rekurencyjnie i obliczyć ich granice, jeśli istnieja̧:
a0
= √
1
b1
∈ (0, 1)
(a)
(b)
an+1 =
3an + 18, n ≥ 0,
bn+1 = sin bn , n ≥ 1,
(c)
c1
cn+1
=
=
1
6·
1+cn
7+cn ,
n ≥ 1.
Zadanie 11. Czy podane cia̧gi sa̧ zbieżne? Odpowiedź uzasadnić.
n
Y
b1
(a) an =
(1 − 4−k )
(b)
bn
= b∈R = 1 − 31n bn−1 , n ≥ 2
k=1
Zadanie 12. Udowodnić przez indukcjȩ, że n! >
√
pokazać, że limn→∞ n n! = ∞.
n n
3
dla n = 1, 2, . . .. Wykorzystuja̧c udowodniona̧ nierówność
Zadanie 13. Zbadać, dla jakich x ∈ R poniższa granica jest skończona
lim
n→∞
n Y
k
1 + x2
.
k=0
Zadanie 14. Obliczyć granice górne i dolne nastȩpuja̧cych cia̧gów
n
n2 (−1)(n+1)n/2
n
,
(b) bn = 1 + n−2
(a) an = 1 + (−1)
,
2n
(c) cn = cos(nπ) ·
(e) en =
n+1
n2
1+2+3+...+n
n2
+ sin nπ
2 ,
cos(2n2 + 3),
(d) dn =
(−1)n+1
√
n( n2 +1−n)
+
(−1)n
n2
Pn
1
i=1 i2 ,
(f ) fn = (3n + (−2)n )2/n .
Zadanie 15. Niech {an } oraz {bn } bȩda̧ cia̧gami ograniczonymi o wyrazach dodatnich. Czy jest prawda̧, że
lim sup(an · bn ) = lim sup an · lim sup bn ?
n→∞
n→∞
n→∞
ODPOWIEDZI:
1. WSKAZÓWKA: Można przeprowadzić dowód indukcyjny.
3. (c) NIE jest prawda.
, Kontrprzyklad: f, g : R → R, f (x) =
4. − π4 ,
4π
5 ,
√
7
4 ,
0
−1
dla x 6= 0
, g(x) =
dla x = 0
−1
0
dla x 6= 0
dla x = 0
√
7 1
4 , 5
5. f −1 (x) = arcctg(2x) −
π
2
6. f −1 (x) = (π + 4 − arcsin( x2 ))/3
7. Df = R \ { π2 + kπ, k ∈ Z}, Dg = R
2
1
9. (a) 1 (b) 2 (c) 3 √
(d) − 12
(e) 10 (f) e−6 + 4 (g) 0 (h) 0 (i) 8 (j) − 51 (k) 0 (l) 1 (m) 0 (n)
3
4
∞ (s) 0 (t) e−14 (u) e
1
2
(o) 0 (p) ∞ (r)
10. Podane cia̧gi sa̧ zbieżne, bo sa̧ monotoniczne i ograniczone. Szukane granice wynosza̧ (a) 6 (b) 0 (Wskazówka:
dla x > 0 prawdziwa jest nierówność: sin x < x.) (c) 2
11. Tak, sa̧ zbieżne.
13. Granica ta jest skończona jedynie dla x ∈ [−1, 1). (Dla x 6= 1 można pomnożyć wyrażenie przy granicy przez
1−x
1−x i uprościć.)
√
14. Granice dolne i górne wynosza̧ (a) √1e , e (b) 1e , e (c) − 23 , 12 (d) −2, 2 (e) 0, 0 (f) 9, 9
15. Badana równość nie jest prawdziwa (trzeba podać kontrprzyklad).
2