Proces Poissona, procesy urodzin Procesy Stochastyczne, wykład 2

Proces Poissona, procesy urodzin
Procesy Stochastyczne, wykład 2
Proces Poissona, procesy urodzin
Proces Poissona
Tw. 1. Infinitezymalna charakteryzacja procesu Poissona
Niech (X (t))t≥0 będzie procesem o przyrostach niezależnych i
jednorodnych, o wartościach całkowitych ≥ 0, X (0) = 0. Niech
Pn (t) = P(X (t) = n). Załóżmy, że dla h > 0
1 − P0 (h) = λ h + o(h),
1 − P0 (h) − P1 (h) = o(h).
Rodzina zmiennych losowych (X (t))t≥0 jest procesem Poissona.
Dowód. Pokażemy, że Pn (t) sa różniczkowalne wzgl. t i
znajdziemy układ równań różniczkowych opisujący Pn . Korzystając
z niezależności przyrostów i z jednorodności mamy:
P(X (t + h) = n) =
P(X (t + h) − X (t) = k, dla pewn.k, 0 ≤ k ≤ n, X (t) = n − k)
n
n
X
X
=
P(X (h) = k) P(X (t) = n − k) =
Pk (h) Pn−k (t).
k=0
k=0
Proces Poissona, procesy urodzin
Infinitezymalna charakteryzacja procesu Poissona
Otrzymaliśmy
Pn (t + h) =
n
X
Pk (h) Pn−k (t).
(1)
k=0
Dodatkowo, z warunku X (0) = 0 mamy P0 (0) = 1, Pn (0) = 0, dla
n > 0. Gdy n = 0 to z warunku (1) otrzymujemy
P0 (t + h) = P0 (t) P0 (h) = P0 (t)(1 − λ h) + o(h),
h > 0.
Gdy h → 0+ to powyższe równanie pociąga za sobą prawostronną
ciągłość P0 (t). Wstawiając t − h zamiast t i przechodząc z
h → 0+ otrzymujemy też lewostronną ciągłość P0 (t). Z
otrzymanego równania wynika
o(h)
P0 (t + h) − P0 (t)
= −λ P0 (t) +
,
h
h
h > 0.
Proces Poissona, procesy urodzin
Infinitezymalna charakteryzacja procesu Poissona
Gdy h → 0 otrzymujemy równanie rózniczkowe z warunkiem
początkowym:
P00 (t) = −λ P0 (t);
P0 (0) = 1 .
Zatem P0 (t) = e −λ t . Gdy n ≥ 1 to z równania (1) otrzymujemy
Pn (t + h) =
n
X
Pn (t) P0 (h) + Pn−1 (t) P1 (h) +
Pk (h) Pn−k (t) =
k≥2
Pn (t) (1 − λ h) + Pn−1 (t) λ h + o(h).
Tak jak poprzednio, otrzymujemy z powyższego równania ciągłość
Pn (t) oraz, po odpowiednim przekształceniu
o(h)
Pn (t + h) − Pn (t)
= −λ Pn (t) + λ Pn−1 (t) +
.
h
h
Przechodząc z h → 0 otrzymujemy dla n ≥ 1 równanie
różniczkowe z warunkiem początkowym
Proces Poissona, procesy urodzin
Procesy urodzin
Pn0 (t) = −λ Pn (t) + λ Pn−1 (t);
Pn (0) = 0 .
Dla n = 1 rozwiązanie ma postać P1 (t) = λ t e −λ t . Indukcyjnie,
otrzymujemy
(λ t)n −λ t
e
.
Pn (t) =
n!
Czysty proces urodzin
Modyfikacja procesu Poissona opisana postulatami:
X (0) = i, P(X (t + h) − X (t) = 1|X (t) = n + i) = λn h + o(h),
P
k≥2 P(X (t + h) − X (t) = k|X (t) = n + i) = o(h).
Oznaczając Pn (t) = P(X (t) = i + n) otrzymujemy, podobnie jak
w procesie Poissona, układ równań różniczkowych opisujący, wraz z
warunkami początkowymi, prawdopodobieństwa Pn :
P00 (t) = −λ0 P0 (t),
Pn0 (t) = −λn Pn (t) + λn−1 Pn−1 (t), n ≥ 1.
Proces Poissona, procesy urodzin
Czysty proces urodzin
W ogólnym przypadku trudno otrzymać jawną postać Pn (t).
Można jednak dostać pewne własności procesu opisanego za
pomocą pow. równań różniczkowych.
Tw. 2. Warunki na brak eksplozji
P
Dla każdego
t > 0 zachodzi ∞
n=1 Pn (t) = 1 wtedy i tylko wtedy,
P∞
gdy n=1 1/λn = ∞.
Dowód. Niech Sk (t) = P0 (t) + . . . + Pk (t). Różniczkując i
korzystając z podstawowego układu równań otrzymujemy
Sk0 (t) = −λ0 P0 (t) + (−λ1 P1 (t) + λ0 P0 (t))+
. . . + (−λk Pk (t) + λk−1 Pk−1 (t)) = −λk Pk (t)
Całkując, otrzymujemy
Z
1 − Sk (t) = −
0
t
Sk0 (u) du
Z
= λk
t
Pk (u) du
0
Proces Poissona, procesy urodzin
Warunek na eksplozję w procesie urodzin
Niech µ(t) = limk→∞ (1 − Sk (t)). Otrzymujemy
Z t
µ(t)/λk ≤
Pk (u) du.
0
Sumując, dostajemy
µ(t)
n
X
k=0
t
Z
1/λk ≤
Sn (u) du ≤ t.
0
P
Jeśli więc R ∞
t > 0.
k=0 1/λk = ∞ to µ(t) = 0, dla każdego
Rt
t
Jednak λk 0 Pk (u) du = 1 − Sk (t) ≤ 1, więc 0 Pk (u) du ≤ 1/λk
czyli
Z t
n
X
Sn (u) du ≤
1/λk .
0
Gdyby
P∞
k=0
P∞
(t) = 1, dla każdego t > 0, to
k=0 Pk (t) = limn→∞ SnP
∞
1/λ
≥
t,
co
oznacza,
że
k
k=0
k=0 1/λk = ∞.
Proces Poissona, procesy urodzin
Siméon Denis Poisson (1781-1840).
Rozkład Poissona pojawił się w artykule S. Poissona ”Recherches
sur la probabilité des jugements en matie‘re criminelle et matie‘re
civile” (1837)
Proces Poissona i pokrewne mu procesy pojawiły się na początku
XX wieku w związku z analizą prac central telefonicznych i
badaniem zmienności kapitału firm ubezpieczeniowych.
A. K. Erlang ”The theory of probabilities and telephone
conversations” (1909).
F. Lundberg ”Zur Theorie der Ruckversicherung” (1909).
Rok 1900 można uważać za moment powstania teorii procesów
stochastycznych. Wraz z aksjomatyką teorii prawdopodobieństwa w
1933, zasadniczym twierdzeniu o istnieniu procesu stochastycznego
i abstrakcyjnej definicji warunkowej wartości oczekiwanej, teoria
procesów stochastycznych stała się częścią matematyki.
A. Kołmogorow ”Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung”
(1933).
Źródła: J. Zabczyk ”Ważniejsze wydarzenia w teorii procesów stochastycznych”, oraz
MacTutor history of mathematics.
Proces Poissona, procesy urodzin