Zadania z Mechaniki klasycznej Zestaw 7 — Nawiasy Poissona

Zadania z Mechaniki klasycznej
Zestaw 7 — Nawiasy Poissona
(Wersja 18.01.2015)
1. Udowodnić następujące własności nawiasów Poissona (H jest hamiltonianem, natomiast wielkości oznaczone dużymi literami są funkcjami współrzędnych, pędów i czasu, ponadto ak , bk
zakładamy, że nie zależą od współrzędnych i pędów):
{F, qi } = −
∂F
,
∂pi
{F, G} = −{G, F },
(a)
{a1 F1 + a2 F2 , G} = a1 {F1 , G} + a2 {F2 , G},
(b)
{F, b1 G1 + b2 G2 } = b1 {F, G1 } + b2 {F, G2 },
(c)
{F, pi } =
∂F
,
∂qi
{qi , qj } = 0,
{pi , pj } = 0,
{qi , pj } = δij ,
{F1 F2 , G} = F1 {F2 , G} + F2 {F1 , G},
∂F
∂G
∂
{F, G} =
, G + F,
,
∂t
∂t
∂t
∂F
dF
=
+ {F, H},
dt
∂t
{F1 , {F2 , F3 }} + {F2 , {F3 , F1 }} + {F3 , {F1 , F2 }} = 0
(d)
(e)
(f)
(g)
(tożsamość Jacobiego).
(h)
2. Obliczyć nawias Poissona {Li , Lj }, gdzie Lk = εijk xi pj są składowymi kartezjańskimi wektora momentu pędu.
3. Korzystając z rezultatów poprzedniego zadania i tożsamości z zadania 1, obliczyć nawias
Poissona {L2 , L}, gdzie L jest całkowitym momentem pędu.
4. Obliczyć nawias Poissona z kartezjańskich składowych momentu pędu i pędu {Li , pj }.
5. Niech H jest hamiltonianem cząstki w polu centralnym. Obliczając nawias Poissona {Li , H}
udowodnić, że moment pędu cząstki w takim polu jest zachowany.
6. Funkcje f i g są całkami ruchu. Pokazać, że także ich nawias Poissona {f, g} jest całką ruchu.
7. Obliczyć nawiasy Poissona:
{a · r, b · p},
(a)
{a · L, b · L},
(b)
{L, r · p},
(c)
n
{r , p},
2
{(a · r) , p},
gdzie L jest momentem pędu, natomiast a i b to wektory stałe.
8. Obliczyć nawiasy Poissona {Ai , Aj }, gdzie
A1 =
1 2
(x + p2x − y 2 − p2y ),
4
1
(xy + px py ),
2
1
A3 = (xpy − ypx ),
2
A4 = x2 + y 2 + p2x + p2y .
A2 =
Końcowe wyniki wyrazić poprzez odpowiednie Ak (o ile to możliwe).
1
(d)
(e)