( )( ) ∫ −

LISTA 4. Całki nieoznaczone i oznaczone.
Zad.1: Korzystając z podstawowych własności i tabeli całek wyznaczyć:
(
x 2 + 1)(x 2 − 2 )
dx
b
dx ;
.
a. ∫ x + 1 x − x + 1 dx ;
c. ∫ 2
;
∫
2
3
x +7
x
(
)(
)
d.
∫ tg xdx. .
2
Zad.2: Wykorzystując wzór całkowania przez części wyznaczyć całki nieoznaczone:
a.
∫ x sin 2 xdx
b.
∫ ln xdx;
 ln x 
c. ∫ 
 dx ;
 x 
2
d.
∫e
−x
sin 3 xdx .
Zad.3: Wykorzystując wzór całkowania przez części wyznaczyć całki oznaczone:
a.
∫ x ln xdx ;
ln x
∫e x 2 dx ; c. ∫0 e 2 x cos xdx ;
π
2
e2
e
b.
1
∫x e
d.
∫ xarctgxdx .
π
4
1
3 −x
dx ; e.
0
0
Zad.4: Stosując całkowanie przez części wyprowadzić wzory iteracyjne dla całek:
dx
a. I n = ∫ x n e −x dx ; b. I n = ∫ sinn xdx; c. I n = ∫ n .
cos x
Zad.5. Stosując całkowanie przez podstawienie lub przez zamianę zmiennej obliczyć całki
oznaczone:
∫
2
a.
0
e
∫
1
2
2x
e +1
x
dx ; b.
(arcsin x)2 dx
1− x
0
f. ∫x
2
3
2
2
x − 9dx ;
x2 +1
dx
x
x −1
g. ∫ x
dx ;
x +1
2
5
5
10
; c. ∫
2 2
d. ∫
3
1
h. ∫
e
3
1
dx
x2 4 − x2
e.∫ x 2 + 9 dx ;
4
;
0
dx
.
x 1 + ln x
Zad.6: Obliczyć całki nieoznaczone z funkcji wymiernych stosując rozkład na ułamki
proste:
1
2x − 5
x
dx ; c. ∫ 2
a. ∫ 2
dx ; b. ∫
dx ;
(x + 1)(x + 2 )(x + 3)
x − 5x + 6
x + x−2
1
x2 +1
dx
x 2 − 5x + 9
dx ;
d. ∫
dx
e
.
f
.
dx ; g . ∫
;
;
2
2
2
2
∫
∫
( x + 1)(x + 1)
x − 5x + 6
(x + 1) (x − 1)
x ( x − 3)
3x + 5
dx
dx
dx
h. ∫
dx
k
.
i
.
j
.
;
;
;
∫ (x 4 − 1)2 .
∫ x 4 (x − 1)
∫ x 3 +1
(x 2 + 2)2
Zad. 7: Obliczyć całki oznaczone lub nieoznaczone z funkcji zawierających funkcje
trygonometryczne:
a.
2
3
∫ sin x cos xdx ;
b.
π
4
f.
j.
sin x cos x
∫ 1 + sin 4 x dx ;
4
∫ sin xdx ;
dx
;
∫
π sin x + cosx
π
6
π
3
g.
k.
dx
∫0 3 + 5cosx ;
sin x cos x
∫ sin x + cos x dx ;
∫ sin 3x cos5xdx ;
π
4
π
c.
6
h.
d.
dx
∫ (2 + cosx) sin x ;
l.
dx
∫ ;
π cos x
6
e.
dx
∫ 2sin x − cosx + 5 ;
1 + tgx
m. ∫
dx .
1 − tgx
Zad. 8: Obliczyć wartości średnie podanych funkcji we wskazanych przedziałach:
a. f ( x) = x sin x,
[0;π ] ;
 1
 
b. f ( x) = x 1 − x , 0;  .
2
2
dx
∫ ;
π sin x
3
i.
x
x
cos
cos
∫ 2 3 dx ;
π
2