Trygonometria 2

Wprowadzenie do
analizy matematycznej i algebry
koordynator: dr A. Rychlewicz,
prowadzący: dr A. Rychlewicz
ARKUSZ 2
Trygonometria 2
Teorię, jak również przykłady pomagające rozwiązać zadania zamieszczone w tym arkuszu można znaleźć w
następujących książkach (dostępnych w czytelni biblioteki wydziałowej - zachęcamy do ich czytania):
1. R. J. Pawlak, H. Pawlak, A. Rychlewicz, A. Rychlewicz, K. Żylak, Matematyka krok po kroku - podręcznik
dla klasy drugiej liceum ogólnokształcącego. Zakres rozszerzony, Res Polona, dział "Funkcje trygonometryczne", rozdziały: 5.3, 5.6, 5.7.
2. M. Fabijańczyk, A. Fabijańczyk, Matematyka elementarna, kompendium wiedzy z wybranych działów,
Wydawnictwo UŁ, dział "Trygonometria", rozdziały: 13.3, 13.4, 13.5.
(3 pkt.)Zadanie 2.1 ([1]) Funkcja f : R → R jest funkcją okresową o okresie 3. Wiedząc, że f (0) = 0,
f (1) = 3, f (2) = 1, oblicz f (7), f (−12) i f (35).
(3 pkt.)Zadanie 2.2 ([1]) Funkcja f : R → R jest funkcją okresową o okresie zasadniczym równym 4. Fragment wykresu funkcji f dla x ∈ [0, 2] jest odcinkiem o końcach A(0, 0) i B(2, 2), a dla x ∈ [2, 4] odcinkiem o
końcach B(2, 2) i C(4, 0). Narysuj fragment wykresu funkcji f dla x ∈ [−8, 0]. Oblicz f (25).
(3 pkt.)Zadanie 2.3 ([1]) Funkcja g : R → R jest funkcją okresową o okresie 6. Dla x ∈ [−3, 3] odpowiednie
fragmenty wykresów funkcji g i x 7→ 9 − x2 pokrywają się.
a) Wskaż największą i najmniejszą liczbę należącą do zbioru {g(−20.5), g(−4), g(−7), g(12), g(77)}.
b) Sprawdź, czy funkcja g jest monotoniczna w przedziale (11, 14).
(3 pkt.)Zadanie 2.4 ([1]) Uzasadnij, korzystając z parzystości (nieparzystości) oraz okresowości odpowiedniej
funkcji, że:
a) cos(710◦ ) = cos(370◦ ),
c) tg(−100◦ ) = − tg(640◦ ),
b) sin 237◦ + sin 483◦ = 0,
d) ctg 320◦ + ctg 400◦ = 0.
(3 pkt.)Zadanie 2.5 ([1]) Wyznacz okres zasadniczy funkcji f , jeśli:
a) f (x) = cos x2 ,
b) f (x) = sin 3x,
c) f (x) = tg 4x.
(3 pkt.)Zadanie 2.6 ([1]) Oblicz:
a) sin 73 π,
c) tg 390◦ ,
e) sin 840◦ ,
g) tg 9 23 π,
b) cos 3 61 π,
d) ctg 510◦ ,
f ) cos 5 41 π,
h) ctg 3 14 π.
(3 pkt.)Zadanie 2.7 ([1]) Oblicz:
π
2
d) ctg (π + α), jeśli ctg π2 + α = −2, 5;
e) tg 2 21 π − α , jeśli ctg 3 12 π − α = 0, 8;
f ) sin π2 + α , jeśli cos 23 π + α = 0, 75.
+ α , jeśli cos α = 0, 35;
b) cos 23 π − α , jeśli cos π2 + α = −0, 2;
c) tg π2 + α , jeśli ctg (2π − α) = −3;
a) sin
1
(5 pkt.)Zadanie 2.8 (cf. [1]) Oblicz:
, jeśli sin α − 7 12 π = 0, 9 i α ∈ 32 π, 2π ;
b) sin α − 32 π , jeśli cos 3 21 π − α = 0, 2 i α ∈ π, 32 π ;
c) sin π2 + α , jeśli ctg 32 π − α = −4 i α ∈ π2 , π .
a) cos α −
π
2
(3 pkt.)Zadanie 2.9 (cf. [1]) Wiedząc, że tg α = 2, oblicz wartość wyrażenia: 1−2 cos2
π
2
− α +2 sin4 (π−α).
(3 pkt.)Zadanie 2.10 ([2]) Oblicz
π
2
a) sin α, jeśli sin(π − α) = 92 ;
√
b) sin α, jeśli cos π2 + α = 32 ;
d) cos α, jeśli sin
c) ctg α, jeśli ctg (π − α) = −3;
f ) tg α, jeśli tg (π − α) = 2.
π
2
e) tg α, jeśli ctg
+ α = 0, 7;
− α = 4;
(5 pkt.)Zadanie 2.11 ([2]) Oblicz:
a) tg(π − α), jeśli cos(2π − α) = 0, 2;
b) cos(π + α), jesli sin 32 π + α = 13 ;
c) ctg 32 π + α , jeśli sin(π + α) = 31 i α jest kątem III ćwiartki układu współrzędnych;
d) sin 32 π − α , jeśli tg(2π − α) = 3 i α jest kątem IV ćwiartki układu współrzędnych.
(3 pkt.)Zadanie 2.12 ([2]) Sprawdź, czy zachodzi tożsamość:
a) tg α + tg
b)
π
2
−α =
sin2 α+sin2 ( π
2 +α)
α·ctg α
3− sincos
α
1
sin α·cos α ;
d) cos α − cos
π
2
+α
2
π
2
= 1 + 2 sin
+ α sin α;
= cos π3 ;
c) tg α · ctg α − sin α · cos
π
2
e) tg α ctg
− α = cos2 α;
π
2
−α +1=
1
.
π
1+cos( π
2 +α) cos( 2 −α)
(3 pkt.)Zadanie 2.13 ([2]) Uzasadnij, że:
a) sin 11◦ = sin 169◦ ;
b) tg 25◦ + ctg 115◦ = 0;
c) cos 140◦ + cos 40◦ = 0.
(3 pkt.)Zadanie 2.14 ([1]) Naszkicuj wykres funkcji sinus w przedziale [−π, π].
a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji sinus należące do przedziału [−π, π].
b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji sinus zawarte w przedziale [−π, π].
c) Uzupełnij tabelę, jeśli x ∈ [−π, π].
√
d) Odczytaj z wykresu, dla jakich x ∈ [−π.π] zachodzą poszczególne nierówności: sin x >
√
− 21 ¬ sin x ¬ 23 .
2
2
2 ,
sin x ¬
1
2,
(3 pkt.)Zadanie 2.15 ([1]) Naszkicuj wykres funkcji kosinus w przedziale [π, 2π].
a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji kosinus należące do przedziału [π, 2π].
b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji kosinus zawarte w przedziale [π, 2π].
c) Uzupełnij tabelę, jeśli x ∈ [π, 2π].
d) Odczytaj z wykresu, dla jakich x ∈ [π, 2π] zachodzą poszczególne nierówności: cos x >
√
√
− 22 ¬ cos x ¬ 23 .
(3 pkt.)Zadanie 2.16 ([1]) Naszkicuj wykres funkcji tangens w przedziale 0, π2 ∪
π
2,π
1
2,
cos x ¬ 0,
.
a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji tangens należące do przedziału [0, π].
b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji tangens zawarte w przedziale [0, π].
c) Uzupełnij tabelę, jeśli x ∈ [0, π].
√
d) Odczytaj z wykresu, dla jakich x ∈ [0, π] zachodzą poszczególne nierówności: tg x ¬ 1, tg x ­
√
−1 ¬ tg x ¬ 3.
3
3 ,
(3 pkt.)Zadanie 2.17 ([1]) Naszkicuj wykres funkcji kotangens w przedziale (0, π) ∪ (π, 2π).
a) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji kotangens należące do przedziału [0, 2π].
b) Odczytaj z wykresu przedziały monotoniczności funkcji kotangens zawarte w przedziale [0, 2π].
c) Uzupełnij tabelę argumentami funkcji kotangens należącymi do przedziału x ∈ (0, π).
√
d) Odczytaj z wykresu, dla jakich x ∈ [0, 2π] zachodzą poszczególne nierówności: ctg x <
−1 ¬ ctg x ¬ 1.
3
3 ,
ctg x >
(3 pkt.)Zadanie 2.18 ([2]) Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem:
a) f (x) = sin x dla x ∈
3
2 π, 2π
d) f (x) = ctg x dla x ∈ −π, − π2 ;
e) f (x) = sin x dla x ∈ −π, − π2 ;
f ) f (x) = tg x dla x ∈ 54 π, 74 π \ { 32 π}.
;
b) f (x) = cos x dla x ∈ 2 12 π, 3 21 π ;
c) f (x) = tg x dla x ∈ π, 32 π ;
Zadanie 2.19 (cf. [2]) Podaj wzór funkcji f , której wykres jest obrazem wykresu funkcji sinus:
a) w przesunięciu o wektor o współrzędnych − π2 , 0 ;
3
√
3,
b) w przesunięciu o wektor o współrzędnych
π
;
2,0
c) w przesunięciu o wektor o współrzędnych [2π, 0];
d) w symetrii względem początku układu współrzędnych.
Czy funkcja f jest funkcją trygonometryczną? Narysuj wykres funkcji f .
Zadanie 2.20 (cf. [2]) Podaj wzór funkcji f , której wykres jest obrazem wykresu funkcji tangens:
a) w przesunięciu o wektor o współrzędnych − π2 , 0 ;
b) w przesunięciu o wektor o współrzędnych π2 , 0 ;
c) w przesunięciu o wektor o współrzędnych [π, 0];
d) w symetrii względem początku układu współrzędnych.
Czy funkcja f jest funkcją trygonometryczną? Narysuj wykres funkcji f .
(5 pkt.)Zadanie 2.21 ([2]) Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem:
π
2
a) f (x) = sin x −
;
c) f (x) = cos x +
π
3
;
d) f (x) = −2 + cos (x − π);
b) f (x) = 1 + sin x;
e) f (x) = ctg x +
π
4
;
f ) f (x) = − tg x.
(5 pkt.)Zadanie 2.22 ([1]) Naszkicuj wykres funkcji f , jeśli funkcja f określona jest wzorem:
a) f (x) = cos x2 , x ∈ [0, 4π];
π
2
b) f (x) = tg x3 , x ∈ − 32 π, 32 π ;
, x ∈ [0, π] \ { π2 };
e) f (x) = 2 cos 2x − π2 , x ∈ [0, 2π];
c) f (x) = sin 2x, x ∈ [0, 2π];
f ) f (x) = cos x + | cos x|, x ∈ [0, π].
d) f (x) = ctg x −
(3 pkt.)Zadanie 2.23 ([2]) Wyznacz dziedzinę funkcji f określonej wzorem:
a) f (x) = tg x −
π
3
b) f (x) = ctg x +
;
π
4
;
c) f (x) = tg x + ctg x;
d) f (x) = sin x + π7 ;
e) f (x) = cos x + tg x − 23 π ;
f ) f (x) = tg x − ctg x − π2 .
Literatura
[1] R. J. Pawlak, H. Pawlak, A. Rychlewicz, A. Rychlewicz, K. Żylak, Matematyka krok po kroku - podręcznik
dla klasy drugiej liceum ogólnokształcącego. Zakres rozszerzony, Res Polona
[2] R. J. Pawlak, H. Pawlak, A. Rychlewicz, A. Rychlewicz, K. Żylak, Zbiór zadań dla klasy drugiej liceum
ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum, Res Polona
4