Analiza Matematyczna dla Informatyków Lista 7 Zadanie 1 Zbadac

Analiza Matematyczna dla Informatyków
Lista 7
Zadanie 1 Zbadać przebieg zmienności nastepuj
acych
funkcji:
,
,
2x
2x
i
g(x) = arcsin
,
f (x) = arctg
1 + x2
1 + x2
a nastepnie
naszkicować ich wykresy.
,
Zadanie 2 Zbadać przebieg zmienności funkcji:
f (x) = (x − 2) · e
1
−x
i
1
g(x) := x · ln e +
x
i
h(x) =
|x − 1|
x2
a nastepnie
naszkicować ich wykresy.
,
Zadanie 3 Wyznaczyć najwieksz
a, i najmniejsza, wartość funkcji na danych przedzialach:
,
√
1−x
f1 (x) = arctg
f3 (x) = sin4 x + cos4 x, [0, π].
, [0, 1];
f2 (x) = x + 2 x, [0, 4];
1+x
Zadanie 4 Pokazać, że dla x > 1 spelniona jest nierówność
ln x >
Wskazówka: Zbadać monotoniczność funkcji f (x) := ln x −
2(x − 1)
.
x+1
2(x−1)
x+1
na przedziale [1, ∞).
Zadanie 5 Z kwadratowego kawalka kartonu wielkości 20 cm × 20 cm należy zbudować pudelko (bez przykrywki).
W tym celu w rogach kartonu zostana, wyciete
jednakowe kwadraty, których dlugość boku odpowiada wysokości pudelka.
,
Wyznaczyć dlugość boku tych kwadratów tak, aby otrzymane pudelko mialo maksymalna, objetość.
,
Obliczyć ta, objetość.
,
Zadanie 6 Obwód osiowego przekroju walca równy jest 6a. Jaka jest najwieksza
możliwa objetość
takiego walca?
,
,
Zadanie 7 Na paraboli y = x2 wyznaczyć punkt polożony najbliżej prostej y = 2x − 4.
Zadanie 8 Narysować wykres przykladowej funkcji f : R → R, która spelnia wszystkie podane warunki:
a) f 0 (x) > 0 dla każdego x ∈ R,
b) f 0 (x) < 0 dla każdego x < 1,
c)
lim f 0 (x) = −1,
x→0−
lim f 0 (x) = 0;
x→+∞
f 0 (x) > 0 dla każdego x > 1,
lim f 0 (x) = +∞,
x→0+
lim f 0 (x) = +∞;
x→+∞
d) f 0 (x) < 0 dla każdego x ∈ R \ {−2}, f 0 (−2) = 0.
f 0 (1) nie istnieje;